幾何畫板在《圓錐曲線》中的應(yīng)用舉例

1、幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用舉例高二數(shù)學(xué)組 劉中維在圓錐曲線方程這一章中，一些曲線的圖像、性質(zhì)都比較抽象，學(xué)生難以理解和接受，如雙曲線的漸進(jìn)線、圓錐曲線的離心率與開都的關(guān)系、一些數(shù)形結(jié)合的題目等，只憑學(xué)生的想象力是很難理解掌握有關(guān)圖像的性質(zhì)和圖像之間的相互關(guān)系的，若我們只借助尺規(guī)作圖的方法畫圖，一般難以達(dá)到滿意的效果，還容易把圖像畫錯(cuò)。但若我們能利用幾何畫板精確的畫圖功能、動(dòng)畫功能加以演示，將能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生的理解，提高學(xué)生對(duì)平面圖形的想象思維能力，起到事半功倍的作用。下面舉幾個(gè)用幾何畫板解決圓錐曲線問題的例子。一、在“幾何畫板”中作直線與圓錐曲線的交點(diǎn)在“幾何畫板”中可以直接作出

2、直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓的交點(diǎn)以及圓與圓的交點(diǎn)但不能直接作出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)本文介紹直線與圓錐曲線的交點(diǎn)制作、制作原理，該制作過程適合三種圓錐曲線首先是三個(gè)工具的制作：工具一 已知直線，在圓錐曲線上，求作直線與圓錐曲線的另一個(gè)交點(diǎn)(以橢圓為例)作圖過程 在橢圓上任取4個(gè)點(diǎn)，作與交于點(diǎn)，作與交于點(diǎn)，作與的交點(diǎn)，作與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)就是直線與橢圓的交點(diǎn)（如圖1）圖1 圖2制作成工具（命名為工具一）就可以直接使用，先決條件是圓錐曲線、點(diǎn)、點(diǎn)，不需要其它的，適合橢圓、雙曲線、拋物線制作原理 任意圓錐曲線的內(nèi)接六邊形的三組對(duì)邊的交點(diǎn)、共線（以橢圓為例，如圖2）（帕斯卡定理）工具二 過圓錐曲線外一點(diǎn)

3、作兩條切線圖4圖5圖6圖6 作圖過程2.1 若為橢圓外任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作輔助圓，以為圓心，為半徑作圓與輔助圓交于點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)，則為所求的切線，與的交點(diǎn)、與的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖4）作圖過程2.2 若為雙曲線外任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作輔助圓，以為圓心，為半徑作圓與輔助圓交于點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)，為所求的切線 與的交點(diǎn)、與的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖5） 作圖過程2.3 若為拋物線外任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，為所求的切線過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與的交點(diǎn)、過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖6）把過圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條切線的過程制作成工具，需要說明的是要分成兩

4、個(gè)工具：（1）對(duì)于橢圓雙曲線，工具先決條件是兩個(gè)焦點(diǎn)、長度的線段、點(diǎn)；（2）對(duì)于拋物線，工具的先決條件是焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，點(diǎn)；為了敘述方便，統(tǒng)一稱之為工具二工具三 已知點(diǎn)不在圓錐曲線上，求作點(diǎn)的極線(有關(guān)極點(diǎn)、極線問題在高等幾何中有詳細(xì)地說明，此處利用的是它們的性質(zhì))作圖過程 在圓錐曲線上任取兩點(diǎn)，利用工具一作直線與圓錐曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，連結(jié)交于，交于，就得到了點(diǎn)的極線（如圖7）；如果點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)也按此法，因?yàn)閳A錐曲線內(nèi)接四邊形中，點(diǎn)的極線是，點(diǎn)的極線是，點(diǎn)的極線是制作成工具(命名為工具三) ，先決條件是圓錐曲線、點(diǎn)圖8圖7圖9 作圖問題 已知兩點(diǎn)不在圓錐曲線上，求作與圓錐曲線的交點(diǎn)（1）利用工具

5、三作出點(diǎn)的極線，（如圖8、圖9兩種情況）；（2）同理利用工具三作出點(diǎn)的極線，兩條極線相交于點(diǎn)； 圖10 圖11（3）利用工具二，過點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線（如圖10、圖11）；（4）兩切線與直線相交得到交點(diǎn)即為所求交點(diǎn)以上過程亦可制作成工具制作原理 要想得到直線與圓錐曲線相交的交點(diǎn)，只要能預(yù)先作出以交點(diǎn)為切點(diǎn)的兩條切線就可以了，設(shè)兩切線相交于點(diǎn)，而過點(diǎn)作圓錐曲線的切線問題已經(jīng)由作圖問題二解決；這個(gè)點(diǎn)其實(shí)是直線的極點(diǎn)，根據(jù)極線和極點(diǎn)的“點(diǎn)在點(diǎn)的極線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的極線也繞點(diǎn)而轉(zhuǎn)動(dòng)”這一性質(zhì)，我們知道點(diǎn)也是由兩點(diǎn)的極線的交點(diǎn)來確定二、和兩圓都相切的圓心的軌跡（一）、制作結(jié)果如圖：單擊“動(dòng)畫”按鈕，D點(diǎn)

6、在圓周上運(yùn)動(dòng)，從而圓（C，D）的大小和位置不斷發(fā)生改變，但始終和圓C1和圓C2相切，圓心C的軌跡是雙曲線。圓C1和圓C2的圓心和半徑都能改變，軌跡也會(huì)改變，甚至不是雙曲線，您想試試？（二）、思路分析如果按尺規(guī)作圖的思路，和已知兩圓相切要分為同時(shí)外切、內(nèi)切、一內(nèi)一外。幾何畫板號(hào)稱動(dòng)態(tài)幾何，其構(gòu)造的思路會(huì)復(fù)雜嗎？我們先來看其中一種情況：已知兩圓和圓C2上任一點(diǎn)D，求作一圓和兩已知圓都外切。看看下圖，是如何確定圓心C的？分析作圖步驟：（三）、操作步驟1、  構(gòu)造兩已知圓的半徑  畫一條水平直線AB，在直線上畫三點(diǎn)C、D、E；隱藏點(diǎn)A、B。畫線段（D，C）(D，E),并把線段DC和

7、線段DE的標(biāo)簽分別改為R、r（想一想為什么在直線上畫點(diǎn)，而不直接畫線段）           2、  構(gòu)造圓心  畫一條水平直線FG，隱藏點(diǎn)F、G在直線上畫點(diǎn)H、I（這兩點(diǎn)就是已知圓的圓心）3、  構(gòu)造已知圓  畫圓（H，線段R）畫圓（I，線段r）4、  構(gòu)造輔助圓  畫直線（I，J），其中J為圓I上任一點(diǎn)J畫圓（J，線段R）畫圓J和直線IJ的交點(diǎn)為L。5、  構(gòu)造所求圓 作線段（H，L）作線段HL的中垂線作直線IJ和中垂線的

8、交點(diǎn)K作圓（K，J）6、  作軌跡（K，J）7、  作J點(diǎn)的動(dòng)畫8、  隱藏輔助線，修飾課件。（四）、拓展研究通過移動(dòng)點(diǎn)C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發(fā)現(xiàn)，這種構(gòu)造方法，竟是一箭三雕同外切；同內(nèi)切；一外一內(nèi)，盡在其中四、拓展研究通過移動(dòng)點(diǎn)C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發(fā)現(xiàn)，這種構(gòu)造方法，竟是一箭三雕同外切；同內(nèi)切；一外一內(nèi)，盡在其中。Ellipticity of elbow pipes with diameters less than or equal to 150 mm must be not greater than

9、 8% diameter of 200 mm or less shall not be greater than 6%. Wall thickness of the pipe wall thinning rate must not exceed the original 15%. Crease roughness: diameter 125 mm or less, shall not exceed 3 mm diameter less than or equal to 200 mm, not more than 4 mm. 7.3.9 simmering bending production

10、of square steel tube extension, to use the whole tube bending. Interface if necessary, the welding position should be located in the middle of the vertical arm. 7.3.10 install expansion joints should be done. If design is not required, pipe compensator lengthen should conform to the requirements in

11、the following table: square scale length x is equal to 1/2. Pre stretch tolerance: casing + 5 mm, +10 mm. 7.3.11 pipe form, location, spacing shall meet the design and specifications. 7.3.12 piping on back or return pipe at higher levels of the upper to automatic valve to install a drain valve below

12、 the horizontal parts. 7.3.13 supports and hangers of checks and the number 1) hanger installed must be checked before installation of supports and hangers part models, specifications of springs setting values, whether the materials meet the requirements of drawings and documents; 2) supports and hangers of material, size and accuracy shall conform to the provisions of the design drawings, material technical requirements should be consistent with national standards, industry standards and technical requirements related to the alloy spectrum review should be carr