四邊形輔助線專題訓(xùn)練

1、精品文檔一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1 利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例 1 如圖 1，已知點 O 是平行四邊形 ABCD 的對角線 AC 的中點， 四邊形 OCDE 是平行四邊形 .求證 :OE 與 AD 互相平分 .說明： 當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.2 利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例 2 如圖 2 ，在ABC 中， E、F 為 AB 上兩點， AE=BF ，ED/AC ，F(xiàn)G/AC交 BC 分別為D ，G.求證 :ED+FG=AC.隨意編輯精品文檔說明： 當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構(gòu)造另一

2、組對邊平行，得到平行四邊形解決問題 .3 利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例 3 如圖 3，已知 AD 是ABC 的中線，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF. 求證 BF=AC.圖3圖4說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形 .當(dāng)已知中點或中線應(yīng)思考這種方法.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題 .例 4 如圖 5，在ABC 中，ACB=90 °，BAC 的平分線交BC 于點 D ，E 是 AB 上一點，且 AE=AC ， EF/BC 交 A

3、D 于點 F，求證：四邊形CDEF 是菱形 .例 5如圖 6 ，四邊形ABCD 是菱形， E 為邊 AB 上一個定點，F(xiàn) 是 AC 上一個動點，求證隨意編輯精品文檔EF+BF 的最小值等于DE 長 .圖 6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（ 1）作菱形的高； （ 2 ）連結(jié)菱形的對角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（ 1 ）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2 ）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線 借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題 .和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例

4、 6 如圖 7 ，已知矩形 ABCD 內(nèi)一點， PA=3 ， PB=4 ，PC=5. 求 PD 的長 .圖 7四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多 .解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線 是解決正方形問題的常用輔助線 .1例 7 如圖 8 ，過正方形 ABCD 的頂點 B 作 BE/AC ，且 AE=AC ，又 CF/AE. 求證：BCF= 2AEB.隨意編輯精品文檔說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBO ，進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決

5、問題.與中點有關(guān)的輔助線作法一、有中線時可倍長中線，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形例 1 已知：如圖，AD 為ABC 中線，求證：ABAC2AD .ABDC類題 1 已知：如圖，AD 為ABC 的中線， AE=EF. 求證： BF=AC.B二、有以線段中點為端點的線段時，常加倍此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形例 2 已知：如圖，在ABC 中，C90 ， M 為 AB 中點， P、 Q 分別在且 PMQM 于 M. 求證： PQ2AP2BQ 2.隨意編輯CPQAEFCD.AC、BC 上，精品文檔類題 2 已知：ABC 的邊 BC 的中點為 N ，過 A 的任一直線ADBD 于 D ， CEAD于

6、E.求證： NE=ND.三、有中點時，可連結(jié)中位線例 3如圖，ABC 中， D 、E 分別為 AB 、AC 上點，且 BD=CE ，M 、N 為 BE、CD 中點，連 MN 交 AB 、AC 于 P、Q，求證： AP=AQ AEDPMNQBC類題 3 已知：如圖， E、F 分別為四邊形ABCD 的對角線中點， AB>CD. 求證：EF1AB CD.2ADFEB隨意編輯C精品文檔類題 4 如圖，ABC 中， AD 是高， CE 為中線， DGCE ， G 為垂足， DC=BE. 求證：（1 ）G 是 CE 的中點；（ 2）B2BCE .AEGBCD四、有底邊中點，連中線，利用等腰三角形“三

7、線合一”性質(zhì)證題例 4 已知：如圖，在Rt ABC 中，BAC90 ，AB=AC ， D 為 BC 邊中點， P 為 BC上一點， PFAB于 F， PEAC 于 E.求證： DF=DE.AFEBDPC類題 5 已知：如圖，矩形ABCD ， E 為 CB 延長線上一點，且AC=CE ， F 為 AE 中點，求證：BF FD.AFDEBC隨意編輯精品文檔六、與梯形中點有關(guān)的輔助線：有腰中點時，常見以下三種引輔助線法ADADGADEEEEFB（ 1）CB（ 2）CB（ 3）C例 5 已知：如圖，在直角梯形ABCD 中， AD BC， ABBC ， M 為 CD 的中點 .求證：AM=MB.DMBC

8、類題 6 已知：梯形ABCD 中， AB CD， E 為 BC 中點， EFAD 于 F.求證：S梯形 ABCDEFAD .【作業(yè)】1、 已知ABC 和DBE 為等腰直角三角形，ABC= DBE=90 °，A 、 B、 D 在同一直線上，M 、 N 、 P 分別是 AD 、 AC 、 DE 邊上的中點，試說明MP 與 MN 的關(guān)系并證明。CENP隨意編輯AMBD精品文檔2 、如果上題中A 、 B、 D 不在同一直線上，其余條件不變，上述結(jié)論是否發(fā)生變化？證明結(jié)論。CNEBPAMD3 、平行四邊形ABCD ，對角線相交于點O ，P、E、F 分別是 AD 、OB、OC 的中點， AC=2

9、AB 。求證： PE=EFAPDOEF4 、等腰梯形 ABCD 中， DCAB ，AOB=60°，E、 F、 M 分別是 OD 、 OA 、BC 的中點。BC求證：EFM 是等邊三角形。DCEOMFAB隨意編輯精品文檔5 、如圖，在四邊形ABCD 中， AB=CD ，M 、N 、P、Q 分別是 AD 、BC、BD 、AC 的中點。求證： MN 與 PQ 互相垂直平分。MDAQPCNB6 、如圖，在 ABC 中， E 是 AB 的中點， CD 平分ACB ， AD CD，垂足為點D ，求證：2DE=BC-AC7、 BD 、CE 分別為ABC 外角平分線， AM BD 于 M ， AN

10、CE 于 N ，探究 MN 與 AB 、 DAEBC、 AC 的關(guān)系。MNBC附加題：（1 ）若將上題中BD 改為ABC 的平分線，其它條件不變，則上題結(jié)論是否成立。隨意編輯精品文檔（2 ）若 BD 、CE 分別為 ABC 和ACB 的平分線，其它條件不變，以上結(jié)論是否成立？(畫圖、證明 )AABCBC8 、ABC 中， AB=AC ，BAC=，在 AB 、 AC 上截取 AD 、AE，且 AD=AE ，連結(jié) DE 。如圖 1 所示，則易證BD=CE ，如圖 2 所示，將 ADE 逆時針針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)BD 、 CE。（1 ）判斷 BD 與 CE 的數(shù)量關(guān)系及BD 、 CE 延長線所

11、夾銳角的度數(shù)。AAAEDEEDBCDCCBB（2 ）點 G、 F 分別是等腰 ABC 、等腰ADE 底邊的中點， BAC= DAE=，點 P 是線段CD 的中點，試探索 GPF 與的關(guān)系，并加以證明。AFEDPCBG隨意編輯精品文檔9 、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請解答下列問題：（ 1 ）寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；（ 2 ）如圖 1 ，在ABC 中， AB=AC ，點 D 在 BC 上，且 CD=CA ，點 E、 F 分別為 BC 、AD 的中點，連接EF 并延長交AB 于點 G求證：四邊形AGEC 是等鄰角四邊形；（3 ）如圖

12、 2 ，若點 D 在ABC 的內(nèi)部，（2 ）中的其他條件不變，EF 與 CD 交于點 H 圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在， 指出是哪個四邊形，不必證明； 若不存在， 請說明理由隨意編輯精品文檔1 、在四邊形ABCD 中， E,F,G,H 分別是AB ， BC， CD ，DA 的中點，順次連結(jié)EF， FG，GH，HE。（1 ）請判斷四邊形EFGH 的形狀，并給予證明；（2 ）試添加一個條件，使四邊形EFGH 是菱形，并說明理由。2 、如圖 ,在四邊形ABC 中 ,AB=AD,CB=CD,點 M,N,P ,Q 分別是 AB,BC,CD,DA的中點，求證 :四邊形 MNPQ是矩形 .QDPACMN

13、B小結(jié)：中點四邊形：對角線的四邊形的中點四邊形是菱形對角線的四邊形的中點四邊形是矩形對角線的四邊形的中點四邊形是正方形對角線的四邊形的中點四邊形是平行四邊形(1) 順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是.隨意編輯精品文檔(2)順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是.(3)順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是.(4)順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是.(5) 順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是練習(xí)題：1 、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是（）A 矩形B直角梯形C菱形D正方形2 、如圖，小區(qū)的一角有一塊形狀為等梯形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會計劃在空地上建一個四邊形的水

14、池，使水池的四個頂點恰好在梯形各邊的中點上，則水池的形狀一定是A 、等腰梯形B、矩形C、菱形D 、正方形3 、.順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形， 則下列四邊形滿足條件的是（）平行四邊形菱形等腰梯形對角線互相垂直的四邊形A. B. C. D. 4、順次連接四邊形ABCD 各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD 一定是A. 菱形B.對角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對角線相等的四邊形5如圖，在梯形 ABCD 中， AB CD，AD=BC ，點 E,F,G,H 分別是 AB,BC ，CD，DA 的中點，則下列結(jié)論一定正確的是().A. HGF= GHEB. GHE= HEFC.

15、HEF= EFGD. HGF= HEF6 、如圖，依次連結(jié)第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個矩形的面積為1，則第n 個矩形的面積為。隨意編輯精品文檔7 、我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形若一個四邊形ABCD 的中點四邊形是一個矩形，則四邊形ABCD 可以是8 、如圖，點 E、F、G、H 分別是任意四邊形ABCD 中 AD 、 BD 、BC、 CA 的中點，當(dāng)四邊形 ABCD 的邊至少滿足條件時，四邊形 EFGH 是菱形AEDFHBGC9 、如圖 ,四邊形 ABCD 中 ,AC=a,BD=b,且 AC BD, 順次連接四邊形 ABCD 各邊中點 ,得到四邊形 A 1B1C1D 1,再順次連接四邊形 A 1B1C1D 1AA 2B2C2D2 , 如此進行各邊中點 ,得到四邊形A 1D2D 1下去 ,得到四邊形 A nBnCn Dn .D3C3A 2C2（