圓與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、.圓夢(mèng)教育中心圓與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 以點(diǎn) C(a, b) 為圓心， r 為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( x a) 2 ( y b) 2 r 2 .特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r 的圓的方程是： x 2y 2 r 2 .2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：(1).設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r ：a.點(diǎn)在圓內(nèi)d r ；b.點(diǎn)在圓上d=r ；c.點(diǎn)在圓外d r(2). 給定點(diǎn) M (x 0 , y0 )及圓 C : ( xa) 2 ( y b)2 r 2 .M在圓C內(nèi)( x0a) 2( y0b )2r 2M在圓C上（ x 0 a) 2 ( y 0 b) 2 r 2M在圓C外( x0a) 2( y

2、0b )2r 2（ 3）涉及最值： 圓外一點(diǎn) B ，圓上一動(dòng)點(diǎn) P ，討論 PB 的最值PB minBNBCrPB maxBMBCr圓內(nèi)一點(diǎn) A ，圓上一動(dòng)點(diǎn)P ，討論 PA 的最值PA minANrACPA maxAMrAC思考：過此A 點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey F0 .(1)當(dāng) D 2E24F0 時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心CD ,E，半徑 rD2 E2 4F.222(2)當(dāng) D 2E 24F0 時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)D ,E .2 2(3) 當(dāng) D 2 E2 4F 0 時(shí)，方程不表示任何圖形 .;.注：方程Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表

3、示圓的充要條件是：B0 且 AC0 且 D 2 E 2 4 AF0 .4. 直線與圓的位置關(guān)系：直線 AxBy C0 與圓 (xa) 2( y b)2r 2圓心到直線的距離dAaBb CA2B 21） dr直線與圓相離無交點(diǎn) ；2） dr直線與圓相切只有一個(gè)交點(diǎn) ；3） dr直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn) ；弦長 |AB| =2 r 2d 2rdd=rrdAxByC0還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組y2求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：x2DxEy F 0（ 1）當(dāng)0時(shí)，直線與圓有2 個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相交；（ 2）當(dāng)0時(shí)，直線與圓只有1 個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切；（ 3）當(dāng)0 時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓

4、相離；5. 兩圓的位置關(guān)系（ 1）設(shè)兩圓 C : (xa ) 2( y b )2r2與圓 C: ( xa)2( y b )2r 2，11112222圓心距 d(a1a2 )2(b1b2 )2dr1r2外離4條公切線 ；d1r2外切3條公切線；rr1r2dr1r2相交2條公切線 ；dr1r2內(nèi)切1條公切線 ；0dr1r2內(nèi)含無公切線 ；外離外切相交內(nèi)切（ 2）兩圓公共弦所在直線方程;.圓 C1 ： x2y2D1 x E1 y F10 ，圓 C2 ： x2y2D 2 x E2 y F20 ，則D1 D2xE1 E2 y F1F2 0 為兩相交圓公共弦方程 .補(bǔ)充說明：若 C1 與 C2 相切，則表

5、示其中一條公切線方程； 若1與 C2 相離，則表示連心線的中垂線方程 .C（ 3）圓系問題過 兩 圓22221 ： xyD1x E1 y F1 0 和 C2： xy D2 x E2 y F2 0 交 點(diǎn) 的 圓 系 方 程 為Cx2y2D1 x E1 y F1x2y2D2 x E2 y F20 （1）補(bǔ)充：上述圓系不包括C2 ；2）當(dāng)1時(shí)，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）過 直 線 A xB y0 與C圓 x2y2Dx Ey F0交點(diǎn)的圓系方程為x2y2DxEy FAxBy C06. 過一點(diǎn)作圓的切線的方程：(1) 過圓外一點(diǎn)的切線 ： k 不存在，驗(yàn)證是否成立 k 存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓

6、心到該直線距離=半徑，即y1 y 0k(x1 x0 )by1 k(a x1 )RR2 1求解 k，得到切線方程【一定兩解】例 1.經(jīng)過點(diǎn) P(1 ， 2) 點(diǎn)作圓 ( x+1) 2+( y2) 2=4 的切線，則切線方程為。(2) 過圓上一點(diǎn)的切線 方程：圓 ( xa) 2+( yb) 2=r 2，圓上一點(diǎn)為 ( x0，y0) ，則過此點(diǎn)的切線方程為 ( x0a)( xa) +( y0b)( yb) = r 2特別地，過圓x2y 2r 2 上一點(diǎn) P (x 0 , y 0 ) 的切線方程為x0 xy 0 yr 2 .例 2. 經(jīng)過點(diǎn) P( 4， 8) 點(diǎn)作圓 ( x+7) 2+( y+8) 2=9 的切線，則切線方程為。;.7切點(diǎn)弦(1) 過 C： ( xa) 2( y b)2r 2 外一點(diǎn) P(x0 , y0 ) 作 C 的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B ，則切點(diǎn)弦 AB 所在直線方程為： ( x0a)( xa)( y0b)( y b) r 28. 切線長：若圓的方程為 ( x a)222，則過圓外一點(diǎn)P( x , y ) 的切線長為 d=( x0 a )2+ ( y0 b)2r2( y b)= r009. 圓心的三個(gè)重要幾何性質(zhì)： 圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上； 圓心在某一條弦的中垂線上； 兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線。10. 兩個(gè)圓相交的公共弦長及公