信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

1、X信號與系統(tǒng) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)X系統(tǒng)在單位沖激信號系統(tǒng)在單位沖激信號 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。表示。 一沖激響應(yīng)1定義 2一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng))(t 3n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)H t thX例2-5-1 一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng))()(d)(dttvttvRCCC 列系統(tǒng)微分方程列系統(tǒng)微分方程：)(t C )(tvC)(tiCR求下圖求下圖RC電路的沖激響應(yīng)電路的沖激響應(yīng)。 （條件：（條件： ）00Cv0)(d)(d tvttvRCCC沖激沖激 在在 時轉(zhuǎn)為系統(tǒng)的儲能（由時轉(zhuǎn)為

2、系統(tǒng)的儲能（由 體現(xiàn)），體現(xiàn)），t 0時，在非零初始條件下齊次方程的解，即為原系統(tǒng)時，在非零初始條件下齊次方程的解，即為原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。的沖激響應(yīng)。 t 0 t)0( Cv 0, 0 tt 齊次方程齊次方程X特征方程特征方程01 RC特征根特征根RC1 時的解時的解 0 )(e)( ttuAtvRCtC求解下面的問題是確定系數(shù)下面的問題是確定系數(shù)A, ,求求A有兩種方法：有兩種方法：方法方法2 2：奇異函數(shù)項相平衡法，定系數(shù)奇異函數(shù)項相平衡法，定系數(shù)A。 方法方法1 1：沖激函數(shù)匹配法求出沖激函數(shù)匹配法求出 ，定系數(shù)，定系數(shù)A。)0( Cv)(e1)(1tuRCtvtRCC )(e1)(1t

3、uRCthtRC 即即:波形波形RCA1 X方法1：沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法求據(jù)據(jù)方程方程可設(shè)可設(shè)代入方程得代入方程得 ttuatuRCbtRCa 得出得出RCaRCa1 1 即即所以所以 RCAAttRCCC1e01 得得代代入入把把 tuRCttRCC1e1 tuattubtattCC dd 0Cv RCRCCC1100 X方法2：奇異函數(shù)項相平衡原理)()(d)(dttvttvRCCC )(e)(tuAtvRCtC )(e)(d)(d1tuRCAtAttvtRCC 代入原方程代入原方程)()(e)()(e1ttuAtRCAtuARCRCRCtRCt )()(ttRCA 整理，方程左右

4、奇異函數(shù)項系數(shù)相平衡整理，方程左右奇異函數(shù)項系數(shù)相平衡 已知方程已知方程沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)求導(dǎo)求導(dǎo)RCARCA1 1 X波形 )(e1)(1tuRCtvthtRCC )(1)(e1d)(d)(12tRtuCRttvCtitRCCC )()(thtvC tRC1Ot R1CR21 )(tiCO電容器的電流在電容器的電流在 t =0時有一沖激，時有一沖激，這就是電容電壓突這就是電容電壓突變的原因變的原因 。注意！注意！X響應(yīng)及其各響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)(最最高階為高階為n次次)3n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)(1)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110te

5、EtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 對于線性時不變系統(tǒng)對于線性時不變系統(tǒng), ,可以用一高階微分方程表示可以用一高階微分方程表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnnn 激勵及其各激勵及其各階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)(最最高階為高階為m次次)令令 e(t)= (t) 則則 r(t)=h(t)X(2)h(t)解答的形式設(shè)特征根為簡單根（無重根的單根）設(shè)特征根為簡單根（無重根的單根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其導(dǎo)數(shù)在及其導(dǎo)數(shù)在 時都為零，因而方程式右時都為零，因而方程式右端的自由

6、項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。解的形式相同。 t 0t 及其各階導(dǎo)數(shù)。及其各階導(dǎo)數(shù)。應(yīng)包含應(yīng)包含時，時，當(dāng)當(dāng)；中應(yīng)包含中應(yīng)包含時，時，當(dāng)當(dāng)及其各階導(dǎo)數(shù)；及其各階導(dǎo)數(shù)；不含不含時，時，當(dāng)當(dāng)tthmntthmntthmn 與與n, m相對大小有關(guān)相對大小有關(guān) 與特征根有關(guān)與特征根有關(guān)X例2-5-2解：解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 求特征根求特征根3, 1034212 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng))()ee()(321tuAAthtt 求系統(tǒng)求系統(tǒng) 的沖激響應(yīng)。的沖激響應(yīng)。 )(2d)(d)(3d

7、)(d4d)(d22tettetrttrttr mnmn , 1, 2 中中不不包包含含沖沖激激項項th將將e(t) (t)，r(t)h(t)帶帶u(t)求待定系數(shù)求待定系數(shù) ，沖擊匹配法求，沖擊匹配法求0 0+ +法法, ,奇異函數(shù)項相平衡奇異函數(shù)項相平衡X沖擊匹配法求0+定系數(shù) 20,10 hh代入代入h(t),得得 212123010212121AAAAhAAh )(21)( 3tueethtt tuatrtubtattrtuctbtattrdddd 22設(shè)X用奇異函數(shù)項相平衡法求待定系數(shù) )(ee)(321tuAAthtt )(e3e)()(e3e)(ee)( 32121321321t

8、uAAtAAtuAAtAAthtttttt tuAAtAAtAAthtt e9e33212121 )(),(),(代代入入原原方方程程將將ththth )(2)()(0)(3)(2121tttutAAtAA 2121231212121AAAAAA )( ee21)(3tuthtt 根據(jù)系數(shù)平衡，得根據(jù)系數(shù)平衡，得X二階躍響應(yīng) 系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入 ，其響應(yīng)為，其響應(yīng)為 。系統(tǒng)。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)方程的右端將包含階躍函數(shù) ，所以除了齊次解外，所以除了齊次解外，還有還有特解項特解項。 tute tgtr tu我們也可以根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性，利用我們也可以根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性，利用關(guān)系

9、關(guān)系求階躍響應(yīng)。求階躍響應(yīng)。 系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)，稱為單稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。1定義 H te trH tu tgX2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系 tt0,對因果系統(tǒng)：對因果系統(tǒng)：積分，注意積分限：積分，注意積分限：階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分特性線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分特性 ttttud)()( ttthtgd)()(X三齊次解法求沖激響應(yīng)（補(bǔ)充）左端最高階微分中含有左端最高階微分中含有 (t)項項(n-1)階微分中含有階微分中含有u(t)項。項?？梢杂纱硕ǔ跏紬l件可

10、以由此定初始條件 )()(d)(dd)(d0111tthatthatthnnnnn 0)0()0()0()0(, 1)0()2()1( nnhhhhh令方程左端系數(shù)為令方程左端系數(shù)為1，右端只有一項，右端只有一項 (t)時，沖激響應(yīng)為時，沖激響應(yīng)為 th此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡單。對于高階系統(tǒng)更此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡單。對于高階系統(tǒng)更有優(yōu)越性。有優(yōu)越性。X例2-5-3 )(ee)(321tuAAthtt 00 10 hh 2121013212121AAAAAA )(ee)(e21e21)(e23e21333tuttuthtttttt )(ee213tutt 已知系統(tǒng)已知系統(tǒng) ，求，求

11、h(t) 。)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr 將邊界條件代入將邊界條件代入 式式 th)(2d)(d)(thtthth 則由系統(tǒng)的線性時不變特性則由系統(tǒng)的線性時不變特性 )(ee21)(3tuthtt X系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr tdd 2 22ddttr ttrdd te tr43tdd 2 22ddttr ttrdd te tr43 tdd 2 22ddttr ttrdd te tr 43 tr兩個加法器兩個加法器子系統(tǒng)交換子系統(tǒng)交換XX求沖激響應(yīng)的幾種方法方法方法1：沖激函數(shù)匹配法求出：沖激函數(shù)匹配法求出 躍變值，定系數(shù)躍變值，定系數(shù)A。方法方法2：奇異函數(shù)項相平衡法，定系數(shù)：奇異函數(shù)項相平衡法，定系數(shù)A。 00方法方法3：齊次解法求沖激響應(yīng)。：齊次解法求沖激響應(yīng)。 X總結(jié)沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)的求解求解至關(guān)重要。至關(guān)重要。沖激響應(yīng)的定義沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)；零狀態(tài)；單位沖激信號單位沖激信號作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)說明：沖激響應(yīng)說明：在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況在時域，對于不同系統(tǒng)，零