麥克斯韋方程組電磁場(chǎng)

1、第十四章麥克斯韋方程組 電磁場(chǎng)第一節(jié)位移電流19世紀(jì)以前，人們?cè)J(rèn)為電和磁是互不相關(guān)聯(lián)的兩種東西。自從發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，人們開始注意到電流 （運(yùn)動(dòng)電荷）與磁場(chǎng)之間的相互關(guān)系，可是很長時(shí)間只能看到電流產(chǎn)生磁場(chǎng)，而不能做到磁場(chǎng)產(chǎn)生電流，更談不上揭示電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的關(guān)系。法拉第發(fā)現(xiàn)的電磁感應(yīng)定律，不僅實(shí)現(xiàn)了磁生電，還進(jìn)一步揭示了變化磁通與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系。麥克斯韋在前人實(shí)踐和理論的基礎(chǔ)上，對(duì)整個(gè)電磁現(xiàn)象做了系統(tǒng)的研究，提出了感生電動(dòng)勢(shì)來源于變化磁場(chǎng)所產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)， 指出了 “變化磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)”的磁場(chǎng)與電場(chǎng)之間的聯(lián)系。在研究安培環(huán)路定律用于時(shí)變電流電路的矛盾之后，他又提出了位移電流的假說， 不僅將

2、安培環(huán)路定律推廣到時(shí)變電路中，還進(jìn)一步指出了 “時(shí)變電場(chǎng)也產(chǎn)生磁場(chǎng)”的電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的聯(lián)系。 在此基礎(chǔ)上，麥克斯韋總結(jié)出將電磁場(chǎng)統(tǒng)為一體的一組方程式，即所稱的麥克斯韋方程組， 該方程組不僅可以描述時(shí)變的電磁場(chǎng)，而且覆蓋了靜態(tài)的電磁場(chǎng)。 麥克斯韋方程組表明， 不僅電荷會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)， 而且變化的磁場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)；不僅電流會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)， 而變化電場(chǎng)也同樣會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。由此麥克斯韋推斷， 一個(gè)電荷或電流的擾動(dòng)就會(huì)形成在空間傳播并相互激發(fā) 的電場(chǎng)、磁場(chǎng)的波動(dòng)即電磁波。麥克斯韋不僅預(yù)言了電磁波的存在（1865年）而且還計(jì)算出電磁波的傳播速度等于光速。由此，麥克斯韋將光和電磁波統(tǒng)一在一個(gè)理論框架下。1888年赫茲

3、首次用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的發(fā)生與存在。以后的大量實(shí)驗(yàn)充分證明了麥克斯韋理論的正確性。麥克斯韋關(guān)于電磁場(chǎng)的理論可以概述為“四個(gè)方程、三個(gè)關(guān)系（電介質(zhì)、磁介質(zhì)及導(dǎo) 體中的場(chǎng)量關(guān)系）、兩個(gè)假說、一個(gè)預(yù)言”，它們是宏觀電動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。1 .位移電流、全電流麥克斯韋將安培環(huán)路定理運(yùn)用于含電容的交變電路中時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)突出的矛盾，為了解決這個(gè)矛盾，麥克斯韋提出了位移電流的假說。穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理具有如下形式：H dl =1 = Sj ds式中j為傳導(dǎo)電流密度，I是穿過以閉合曲線 L為邊線的任意曲面的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度（電流密度通量）。例如在圖 8-1a的穩(wěn)恒電路中，穿過L為邊線的曲面S1、S2的電流I

4、是相同的。在圖8-1b所示電含電存 C的交殳電流電路中，如果將安培環(huán)路定理應(yīng)用于閉合曲線L,于是對(duì)S1面有& H dl =j ds=iL而對(duì) S2有：H dl = J j ds =0 LS2，上面兩式是互相矛盾的。這表明，在穩(wěn)恒情況下得到的磁場(chǎng)環(huán)路定理式（8.1 ）, 一般地不能應(yīng)用到可變電流（非穩(wěn)恒）的情況。那么，在非穩(wěn)恒情況下磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流應(yīng)該是一個(gè)什么樣的表達(dá)式？既然矛盾由含電容的交變電路所引出，因此我們從交變電路中與電容有關(guān)的物理過程開始討論，以期獲得某種結(jié)果。當(dāng)有電流通過電容時(shí)，電容器每一極板的電量q隨時(shí)間發(fā)生變化，同時(shí)電場(chǎng) E和D也隨時(shí)間發(fā)生變化。考慮到在靜電場(chǎng)中，q與E

5、（或D）之間的關(guān)系由高斯定理描述，于是麥克斯韋就假設(shè)在一般（例如非穩(wěn)恒）情形下高斯定理仍然成立，即有:SD ds =qq為閉合曲面S所包圍的自由電荷。將上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù),:D . dq、ds =S ft dt式中 四為閉合面內(nèi)自由電荷的增加率。由電荷守恒定律，應(yīng)有dt四=一苗j ds ,所以咨EDs = -苗j ds ,移項(xiàng)得：dt SS ;tS*（當(dāng) + j） ds = 0S找:D :D右將j全= + j稱為全電流笞度，并稱 為位移電流笞度，用;:t;t即得D jd表小，即 jd =，:t:D ,，,、一，,|d = S稱為位移電流。（對(duì)位移電流密度和位移電流的解釋見書上P398）ft那么

6、我們將得到： 沖j全ds = 0 ,這就證明了全電流是恒連續(xù)的。L為邊線的任意曲面的全電流強(qiáng)度相等，即dD -iiqiB,dD -+Jdt dtn2.安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒情況下的推廣由全電流的連續(xù)性可知，通過閉合曲線dSS式中S1, S2是以L為邊線的兩個(gè)曲面。正是利用這種全電流的通量，使安培環(huán)路定理在含 電容交變電路中得以推廣。麥克斯韋提出：在非穩(wěn)恒情況下，磁場(chǎng)強(qiáng)度H沿任意閉合曲線L的線積分（環(huán)量）滿足下式：況 H dl=£ （I +Id）=jjj dS+HwdS La上式稱為全電流定律，一是著名的麥克斯韋方程組的方程之一。它揭示了一個(gè)新的物理規(guī) ：:D律，即位移電流jd=D與傳導(dǎo)

7、電流j都可以激發(fā)磁場(chǎng)，或者說位移電流與傳導(dǎo)電流在激；：t :D發(fā)磁場(chǎng)萬面具有等效性。一巳與j以同等的地位居于式 14-4中就是很好地說明。式 14-4；：t的正確性已為麥克斯韋電磁理論所得出的一切結(jié)論與實(shí)驗(yàn)事實(shí)（例如電磁波的傳播） 所驗(yàn)證。但是需要注意的是，傳導(dǎo)電流和位移電流是兩個(gè)截然不同的概念，它們只在激發(fā)磁場(chǎng)方面具有等效性，在其他方面存在根本的區(qū)別。-.D : E : P ，因?yàn)镈 =%E +P，貝U jd =如"E +，P ,式中第二項(xiàng)來自交變電路中電介質(zhì)的反復(fù)；:tftft ： E 極化，在真空中這部分等于零，因而就有jd= ；0_5,這是位移電流最基本的組成部分，即；:t真

8、空中的位移電流一一“純粹”的位移電流，它與電荷的運(yùn)動(dòng)無關(guān)， 它本質(zhì)上是變化著的電場(chǎng)。所以麥克斯韋用位移電流假說將安培環(huán)路定理推廣到非穩(wěn)恒情況后，方程所表達(dá)得的中心思想是 變化著的電場(chǎng)激發(fā)渦旋磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向滿足右手螺旋法則。由于全電流的連續(xù)性以及在一般情況下磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流由式14-4決定，因而由圖14-2b所引出的“矛盾”也就得以解決，是麥克斯韋的位移電流假說很好地解決了它，這是 一個(gè)用科學(xué)假說解決理論矛盾的典型事例。位移電流和傳導(dǎo)電流是兩個(gè)不同的物理概念，其共同性質(zhì)是它們都能夠激發(fā)磁場(chǎng)，而其它方面則截然不同。真空中的位移電流只相當(dāng)于電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的變化，而不伴有電荷或任何別的物體的任何運(yùn)動(dòng)；其次

9、，位移電流不產(chǎn)生焦耳熱，P這對(duì)于真空情況是很明顯的。在電介質(zhì)中，特別是對(duì)于有極分子組成的電介質(zhì)，由于 項(xiàng);:t的存在，位移電流會(huì)產(chǎn)生熱效應(yīng)， 在高頻時(shí)更是如此， 電介質(zhì)將由于極化振動(dòng)而放出很大的 熱量，例如微波爐，然而這和傳導(dǎo)電流通過導(dǎo)體放出焦?fàn)枱岣静煌?，它遵從完全不同的?guī)律。（例題14-1 ）第二節(jié)麥克斯韋方程組麥克斯韋將電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律主要概括為四個(gè)方程式，通常稱之為麥克斯韋方程組， 它有積分和微分兩種形式。一般在電磁學(xué)范圍只討論積分形式，但電動(dòng)力學(xué)中則需要研究場(chǎng)點(diǎn)的電磁場(chǎng)量的變化規(guī)律，因而還要大量使用它的微分形式。麥克斯維方程實(shí)際就是推廣和擴(kuò)展了的高斯定理和環(huán)路定理。(1) .第一方

10、程：D的高斯定理通過任意閉合面的電位移 D的通量，等于該曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和，即酉S D d s = q上式是建立在靜止電荷相互作用的實(shí)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上的。現(xiàn)在把它推廣到一般情況， 即假定這一方程在電荷與場(chǎng)都隨時(shí)間而變化時(shí)仍然成立。這意味著，盡萱這時(shí)場(chǎng)與電荷之間的關(guān)系不像靜電場(chǎng)那樣由庫侖平方反比定律所決定，但任一閉合面的D通量與閉合面內(nèi)自由電荷電量的關(guān)系仍然遵從高斯定理。(2) .第二方程：一 E的環(huán)路定理電場(chǎng)強(qiáng)度E沿任意閉合曲線的線積分，等于以該曲線為邊線的曲面的磁通量的變化率 的負(fù)值，即-一 一 RdS這里的E可以此自由電荷和變化磁場(chǎng)共同激發(fā)，E便是它們的合場(chǎng)強(qiáng)。(3) .第三方程：

11、H的環(huán)路定理磁場(chǎng)強(qiáng)度H沿任意閉合曲線的線積分，等于穿過以該曲線為邊線的全電流，即- DH： H dl =' (I Id) = j dSdSLt(4).第四方程：B的高斯定理通過任意閉合曲面的磁通量恒等于零，即溥 dS =0上述四個(gè)方程就是麥克斯韋電磁場(chǎng)方程組的積分形式。從上面論述我們看到，麥克斯韋理論不但提出了渦旋電場(chǎng)、位移電流這樣的概念，還 包含了從特殊情況向一般情況的假設(shè)性推廣。麥克斯韋理論的正確性由它所得到的一系列推論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地符合而得到證實(shí)。在有介質(zhì)存在時(shí)，E和B都和介質(zhì)的特性有關(guān)，因此上述麥克斯韋方程組是不完備 的，還需再補(bǔ)充描述介質(zhì)性質(zhì)的下述三個(gè)方程fD =房3 =J = aEk式中的£、和b分別為介質(zhì)的絕對(duì)介電常數(shù)、絕對(duì)磁導(dǎo)率和導(dǎo)體的電導(dǎo)率。麥克斯韋根據(jù)電磁場(chǎng)方程推斷，電荷激發(fā)的變化電場(chǎng)，將進(jìn)一步激發(fā)變化的磁場(chǎng)，而變化磁場(chǎng)又激發(fā)變化的磁場(chǎng)，； 反之，變化電流激發(fā)的變化磁場(chǎng)也