平行四邊形的性質及判定典型題精選

1、平行四邊形的性質及判定第15頁共17頁知識點睛1 平行四邊形的性質平行四邊形的邊：平行四邊形的對邊平行且對邊相等. 平行四邊形的角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補. 平行四邊形的對角線：平行四邊形的對角線互相平分. 平行四邊形的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形. 平行四邊形的周長：一組鄰邊之和的2倍.平行四邊形的面積：底乘以高.2.平行四邊形的判定兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形. 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.例題精講、平行四邊形的性質【例2】如圖，點E，F(xiàn)是平行

2、四邊形ABCD對角線上的兩點,且BE =DF，那么AF和CE相等嗎？請說【例1】如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形，即 AB / CD , AD / BC .通過證明三角形全等來說明: AB CD , AD =BC .（對邊相等）A0二CO , B0二DO .（對角線互相平分）明理由A【例3】如圖所示，已知四邊形ABC D，從AB II DC :AB =DC :AD II BC ； (4) AD =BC ；NA =C ；6) ZB =ND中取兩個條件加以組合，能推出四邊形 ABCD是平行四邊形的有哪幾 種情形？請寫出具體組合?！纠?】如圖，在平行四邊形 平行四邊形AB CD中,E F II B

3、 C , G H IIAB，EF 與 GH相交于點【例引如圖，在平行四邊形EC的長度分別為(A. 2 和 3 B .ABCD) 3和2中,O，圖中共有AD =5 , AB =3 , AE平分£ BAD交BC邊于點E，則線段BE ,C. 4 和 1【例6】 以三角形的三個頂點作平行四邊形，最多可以作()A . 2個B . 3個C. 4個D . 5個【例7】 如圖，平行四邊形 ABCD中，AB _AC .對角線AC , BD相交于點0，將直線AC繞點0順時 針旋轉，分別交 BC , AD于點E , F . 證明：當旋轉角為90時，四邊形ABEF是平行四邊形；試說明在旋轉過程中，線段 AF

4、與EC總保持相等.【例8】 在平行四邊形ABCD中，點Ai、A?、A3、A。和Ci、C2、C3、C4分別為AB和CD的五等分點，點Bi、B2和Di、2分別是BC和DA的三等分點，已知四邊形A4B2C4D2的面積為1，則平行四邊形 ABCD 面積為（）A A i幻如R【例9】如圖，在平行四邊 ABCD中，AC 面積為（）A 3B 6C. 12BD為對角線，BC =6 , BC邊上的高為4，則陰影部分的D . 2435A. 2B .C.D .1553【例10】現(xiàn)有如圖2的鐵片，其形狀是一個大的平行四邊形在一角剪去一個小的平行四邊形，工人師傅想 用一條直線將其分割成面積相等的兩部分，請你幫助師傅設計

5、三種不同的分割方案.【例11】如圖3，一個平行四邊形被分成面積為S1、S2、S3、S4四個小平行四邊形，當 CD沿AB自左向右在平行四邊形內平行滑動時. S1S4與S2S3的大小關系為 已知點C與點A、B不重合時，圖中共有 個平行四邊形，A【例12】如圖1 , °! ,。2 ,。3 ,。4為四個等圓的圓心， A , B , C , D為切點，請你在圖中畫出一條直 線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經過的兩個點是 ；如圖2,°!，°2，°3，°4，°5為五個等圓的圓心，A，B，c, D，E為切點，請你在圖中畫出一條直線，

6、將這五個圓 分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經過的兩個點是 .C°4°3DBA°2°5°1【例13】如圖，E, F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE=CF. 求證：(1). -AD F 也. 'CBE ；(2) EB / D F .【例14】如圖，已知：在平行四邊形 ABCD中，.BC D的平分線CE交邊AD于E , ABC的平分線BG交CE于F，交AD于G .求證：AE =DG .【例15】已知：如圖，平行四邊形ABCD內有一點E滿足ED _ AD于點D，/ EBC - . EDC，/ ECB =45 請找出與BE相等

7、的一條線段，并給予證明.【例16】如圖，EF是平行四邊形 ABCD對角線AC上兩點，BE II DF ,求證:AF =CE .【例17】如圖，平行四邊形 AB CD 中，AE_BD于E， CF_BD于F .求證：AE =CF .【例18】如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，過A，C兩點分別作AE _ BD ,CF_BD，E，F(xiàn)為垂足，求證：四邊形 AECF是平行四邊形【例19】如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，DE 證：S .A* =S efc .AB的延長線交于點F ,連接AE、CF .求【例20】如圖，已知等邊三角形的邊長為 1 0 , P是.ABC內一點，PD / A

8、C , PE II A B , P F / BC，點D，E , F 分另IJ在 AB , BC , AC 上，貝PD PE PF =A【例21】如圖1，在平行四邊ABCD中，.A =120，則.D二AA圖1【例22】如圖2，在平行四邊形 ABCD中，DB=DC， / A =65 ， CE _ BD于E，則.BCE 口D圖2【例23】已知四邊形的四條邊長分別是a , b，c，d ，其中a，b為對邊，并且滿足a 2 b2 - c2 d2 =2ab - 2cd則這個四邊形是（）A 任意四邊形B.平行四邊形C.對角線相等的四邊形D.對角線垂直的四邊形【例24】（2009東營）如圖3,在平行四邊ABCD

9、中，已知AD =8 cm ,A B = 6 cm , D E 平分乙 ADC交BC邊于點E，貝U BE等于cm .圖3【例25】已知平行四邊形ABCD的周長為60 cm ,對角線AC、BD相交于0點，;AOB的周長比BOC的 周長多8cm，貝U AB的長度為cm .【例26】一個平行四邊形的兩條對角線的長分別為5和7，則它的一條邊長a的取值范圍是【例27】如圖，是某區(qū)部分街道示意圖，其中CE垂直平分AF , AB / DC , BC II D F，從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達的公交車，路線1是B _D _A _E，路線2是B _C _F _E，請比較兩條路線路程的長短，并給出證明.【

10、例28】如圖是某市一公園的路面示意圖，其中，ABC D是平行四邊形，BE_AC , D F _ AC , E、F是垂足，G、H分別是BC、AD的中點，連接EG , GF , FH . HE為公園中小路，問小明從 B 地經E地，H地到F地，與小強從D地經F地，G地到E地，誰的路程遠.【例29】在平行四邊形A BCD中，過A任作一直線AM，過B、C、D作AM的垂線BE、CF、DG , 垂足分別是E、F、G，求證：BE =DG _CF .【例30】AC是平行四邊形OF _ AD 于點 F ,ABCD較長的一條對角線，點0G _ AC于點G，求證:AE .AB - AFO 是 ABC D內部一點， 0

11、 E _ A B于點 E.AD =AG AC .FAGE 0B二、平行四邊形性質和判定的綜合應用【例31】點A、B、C、D在同一平面內，從 AB II CD，AB =CD，BC II AD，BC = AD .這 四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有（）種A . 3B . 4C. 5D. 6【例32】如圖，已知：AD是.-;ABC的角平分線,證：四邊形BD EF是平行四邊形D E II AB ,在AB上截取B F二A E，連接DE , EF，求【例33】已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中，E , F分別是AB,CD的中點求證：.'AF D B.lCEB ; 四邊形

12、AECF是平行四邊形.【例34】如圖所示，P為平行四邊形ABCD內一點，求證：以 AP、BP、CP、D P為邊可以構成一個四 邊形，并且所構成的四邊形的對角線的長度恰好分別等于AB和BC .【例35】如圖，四邊形ABC D中，AB II CD ,. B =./D , B C =6 , AB =3，求四邊形ABC D的周長.【例36】如圖所示，在平行四邊形AB CD中，、F是對角線 AC上兩點，且AF =CE ,求證：四邊形 BED F是平行四邊形.【例37】已知：如圖,AD II BC、ED II BF，且AF =CE .求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【例38】如圖，在平行四邊形 ABCD

13、的各邊AB , BC , C D , DA上，分別取E , F , G , H，使AE =CG ,BF =DH，求證：四邊形 EFGH為平行四邊形【例39】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E，交BC于點F .若FE 圧，且 AF - AE =CP - CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【例40】如圖，在平行四邊形 ABCD中，點E , F在AD , BC上, 與D F交于點N ,求證：四邊形EM FN是平行四邊形且AE=CF , AF與BE交于點MCE【例41】如圖，在平行四邊形ABCD中，點M、四邊形MFNE是平行四邊形.N是對角線AC上的點，且A

14、M = C N , DE=BF，求證:【例42】如圖，E、F分別是平行四邊形 ABCD的AD、BC邊上的點，且 AE =CF .求證："BE也CDF ；若M ,N、分別是BE、D F的中點，連接MF、EN，試判斷四邊形 MFNE是怎樣的四邊形, 并證明你的結論.【例43】如圖，過四邊形AB CD對角線的交點0作直線E F交AD、 OB、0D的中點，求證：四邊形 EH FG為平行四邊形.B C分別于E、F，又G、H分別為【例44】.'A CD、UABE 、.汨 CF如圖，為平行四邊形.均為直線BC同側的等邊三角形.當AB = AC時，證明四邊形AD FE【例45】如圖，點E ,

15、 F , G , H , M , N分別在.-.ABC的BC , AC , A B邊上，且NH / M G / BC , M E / NF / AC , GF II EH II AB，有黑、白兩只螞蟻，它們同時同速從 F點 出發(fā)，黑螞蟻沿路線 F > N > H > E > M > G > F爬行，白螞蟻沿路線 F > B > A > C > F 爬行，那么（）A .黑螞蟻先回到F點B. 白螞蟻先回到F點C. 兩只螞蟻同時回到F點D .哪只螞蟻先回到F點視各點的位置而定【例46】以ABCD的對邊AB、CD為邊分別在外作等邊.ABE、等

16、邊.C D F .求證： 四邊形AECF是 平行四邊形.【例47】等邊.'ABC 中，點D在BC上，點 E在AB上，且CD =B E，所以 AD為邊作等邊 四邊形CDFE是平行四邊形.'AD F .求證:【例48】如圖，已知AC是平行四邊形 ABCD的對角線，.:ACP和AACQ都是等邊三角形，求證：四邊形BPDQ是平行四邊形.PDBAQ【例49】如圖，JABC中，D是AB的中點，E是AC上任意一點，EF / AB , D F / BE .求證：DF與AE互相平分.AF【例50】已知BD為平行四邊形 AB CD的對角線，過C作CE II BD，連接AE交BD的延長線于F , 求

17、證：AF =FE .A【例51】如圖，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角 A，B，C，D處均種有一顆大核桃樹，田村準備 開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴大一倍，又想讓核桃樹不動，并要求擴建后的池塘成平行四 邊形的形狀，請問田村能否實現(xiàn)這一設想？若能，請你設計并畫出圖形，若不能，請說明理由，在D E【例52】如圖，在."ABC中，.ACB =90，點E為AB中點，連結CE ,過點E作ED _ BC于點 的延長線上取一點F，使AF =CE .求證：四邊形 ACE F是平行四邊形.【例53】如圖，在平行四邊形 ABC D中，DE_AB于E , BM =MC=DC，那么.EMC與.BEM

18、的大小 關系怎樣？第15頁共17頁【例54】已知平行四邊形 ABCD， BC =2AB， M為AD的中點，CE_AB .求證：.EMD=：3. AEM【例55】已知：如圖，平行四邊形AB CD中，AE、BE、C F、D F 分別平分.BAD、. ABC、. BCD、. CDA ,BE、DF的延長線分別交AD、B C 于點 M、N .連接EF，若AD=7 , AB =4 .求 EF 的長.D【例56】G、H四點，若Sahpe=3SpfCG-5，求 S PBD如圖，P為平行四邊形ABCD內一點，過點P分別作AB、AD的平行線，交平行四邊形于【例57】已知五邊形ABCD E中，AC II E D，交 BE 于點 P , AD II BC , ?交 B E 于點