兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差

1、12.3 乘法公式1兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差課前知識(shí)管理1、 兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩個(gè)數(shù)的 平方差：(a+b)(a-b)=a 2-b2所以，我們把這個(gè)公式 叫作平方差公式平方差公式可以形象記憶為：(口 + )( )= ? 2.2 幾何背景：如圖，陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積，即a-b2.若把小長(zhǎng)方形川旋轉(zhuǎn)到小長(zhǎng)方形W的位置，則此時(shí)的陰影部分的面積又可以看成Si +S= Si+Siv=( a+b) ( a b),從而驗(yàn)證了平方差公式(a+b) ( a b) = a2- b2.2、 平方差公式的特征：(1)公式左邊的兩個(gè)因式都是二項(xiàng)式，必須是相同的兩數(shù)的和與差.或者說(shuō)

2、兩個(gè)二項(xiàng)式必須有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)只有符號(hào)不同.(2)公式中的a與b可以是數(shù)，也可以換成一個(gè)代數(shù)式.名師導(dǎo)學(xué)互動(dòng)典例精析：知識(shí)點(diǎn)1:直接應(yīng)用平方差公式2 1 1 2例 1、計(jì)算：(4x)( 4x ).2 2【解題思路】此題是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中各有一完全相同的項(xiàng)4x2，另外一1 1項(xiàng)一-與-互為相反數(shù)，符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此，可直接套用平方差公式.2 2【解】(4x2 -gx1 4x2) = (4x2)2 -g)2 =16x4 -1 .2 1 1【方法歸納】將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的相同項(xiàng) 4x2看作，符號(hào)相反的項(xiàng)一 一與一看作，就可以直2 2接運(yùn)用平方差公式.對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算(y 2

3、x)( 2x y).知識(shí)點(diǎn)2：連用平方差公式化簡(jiǎn)例 2、化簡(jiǎn)：x - y x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 .【解題思路】本題的前兩項(xiàng)能利用平方差公式得到x2 -y2，它與第三項(xiàng) x2 y2又能構(gòu)成平方差公式，依次類推，較輕松地得到結(jié)果.【解】原式=x2-y2x2y2x4y4x8y8 =x4- y4 x4y4x8y8【方法歸納】連用平方差公式使運(yùn)算量大大減小，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算目的對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算：(a -b)(a b)(a2 b2)(a4 b4)(a8b8)知識(shí)點(diǎn)3:分組后運(yùn)用平方差公式例 3、計(jì)算：(2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解題思路】若直接運(yùn)算，則計(jì)算比較繁瑣，如果

4、運(yùn)用乘法的交換律將第一、三結(jié)合，第二、 四結(jié)合分組，就可以利用乘法公式計(jì)算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a - 3)(2a- 5)=(2a+3)(2a - 3)(3a+5)(3a - 5)=(4a2-9)(9a2 - 25)=36a4 - 181a2+225.【方法歸納】根據(jù)算式中各因式的特征，恰當(dāng)分組后利用乘法公式可以簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算量對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算：(x+2)(x 2+4)(x 2).知識(shí)點(diǎn)4:添項(xiàng)后運(yùn)用平方差公式例 4計(jì)算；(21)(221)(241)(281)1.【解題思路】本題若添上一個(gè)因式“2 1”后，則可以連續(xù)四次運(yùn)用平方差公式計(jì)算.【解】原式=(2 -1)(2 1)(2

5、2 1)(24 1)(28 1) 1 =(22 - 1)(22 1)(241)(28 1) 1【方法歸納】本題的解題關(guān)鍵是在不改變?cè)降闹档那疤嵯?，將原式添上一個(gè)因式，使得它能運(yùn)用乘法公式計(jì)算.2對(duì)應(yīng)練習(xí)：某同學(xué)在計(jì)算3(41)(41)時(shí)，把3寫成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算：2 2 2 2 2 2 23(4 1)(41) =(4-1)(4 1)(41)=(4 -1)(41)=(4) -1=16 -1=255.11111請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：(1 -)(v 尹)(1 歹)(1 歹)尹.知識(shí)點(diǎn)5:逆用平方差公式例 5計(jì)算:(2a b)2 -(- -4a)233【解題思

6、路】若直接運(yùn)用完全平方公式展開(kāi)再相減，運(yùn)算量大，若把式中的“2 - ”與3“ b4a ”分別視為平方差公式中的a、b,逆用平方差公式，則運(yùn)算簡(jiǎn)便.3解：【方法歸納】本題正向思考解題較為麻煩，若抓住題目的特征，逆用公式解題，往往顯得簡(jiǎn)單.對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算:知識(shí)點(diǎn)6：變形后運(yùn)用平方差公式例6.計(jì)算932.【解題思路】注意到93接近整百數(shù)100,二者相差7,若使用數(shù)字93、7巧構(gòu)平方差公式便 可實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算.【解】932 =(93 +7【93 -7 )+72 =8600 +49 =8649 .【方法歸納】公式a b a - b = a2 -b2可以變形為a2二a b a-b b2.對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算：982

7、知識(shí)點(diǎn)7:拆項(xiàng)變形后使用例 7、計(jì)算(x-y+1)(x+y-5).【解題思路】觀察式子的特點(diǎn)，可以將兩個(gè)多項(xiàng)式拆成兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的形式.然后利用平分差公式計(jì)算.解：2 2 2 2 2 (x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=(x-2)-(y-3)(x-2)+(y-3)=(x-2)-(y-3) =x -4x+4-y +6y-9=x -y -4x+6y-5.【方法歸納】拆項(xiàng)的關(guān)鍵在于將兩個(gè)因式中的相同項(xiàng)、相反項(xiàng)正確分析出來(lái)，并恰當(dāng)分組， 使之符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.對(duì)應(yīng)練習(xí)：2a - b 3 2a b - 3易錯(cuò)警示例 & 計(jì)算：(2x+3)(2y-

8、3).錯(cuò)解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9.錯(cuò)解分析：(2x+3)(2y-3)中的兩個(gè)因式不符合兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積”，因此不能用平方差公式做，只能按多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算.正解：(2x+3)(2 y-3)=4xy-6x+6y-9.例 9、(2x+9)(2x-9).錯(cuò)解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9.錯(cuò)解分析：(2x+9)(2x-9)應(yīng)等于2x與9的平方差，即(2x)2-92,錯(cuò)解中沒(méi)有把第二項(xiàng)9平方，當(dāng)?shù)诙?xiàng)是完全平方數(shù)時(shí)，很容易犯這樣的錯(cuò)誤.正解：(2x+9)(2 x-9)=(2x)2-92=4x2-81.例 10、(a3-8)(a3+8).錯(cuò)解：(a3-8)

9、(a3+8)=a9-64.錯(cuò)解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6,而(a3)2旳9.正解：(a3-8)(a3+8)=( a3)2-82=a6-64.例 11、(-2a-7)(2a-7).錯(cuò)解：(-2 a-7)(2a-7) = 4a2-49.錯(cuò)解分析：(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪個(gè)數(shù)的平方減去哪個(gè)數(shù)的平方呢？錯(cuò)解中認(rèn)為就是前面一個(gè)數(shù)的平方減去后面一個(gè)數(shù)的平方，但(-2a-7)(2a-7) M(a)2-72,應(yīng)該是兩式中符號(hào)相同的數(shù)的平方減去符號(hào)相反的那個(gè)數(shù)的平方，即：(-2a-7)(2a-7)=(-7-2 a)(-7+2 a) =(-7)2-(2a)2

10、 或(-2a-7)(2a-7)= - (2a+7)(2 a-7) = - (2a)2-72. 正解：(-2 a-7)(2 a-7) = (-7-2a)(-7+2 a) =(-7)-(2 a) =49-4 a .課堂練習(xí)評(píng)測(cè)知識(shí)點(diǎn)1 ：平方差公式1、 在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>b)(如圖1),把余下的部分沿虛線剪開(kāi)，拼成一個(gè)矩形(如圖2),分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是 (用字母表示).2 22、已知a，b=2，貝y a -b 4b的值是3、 下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的有()®( 3a+4) (3a 4) =9a? 4;笑(2a? b

11、) (2a?+b) =4a? b?；A . 1個(gè) B . 2個(gè) C. 3個(gè) D . 4個(gè)知識(shí)點(diǎn)2 :平方差公式的實(shí)際應(yīng)用24、一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是(x 9)平方米，其長(zhǎng)為(x + 3)米，用含有 x的整式表示它的寬為米.知識(shí)點(diǎn)3 :平方差公式的運(yùn)用5、計(jì)算:-2m 1 n2 丄 2_?m；3443；2 26、計(jì)算：(3x-2y)(9x+4y )(-2y-3x)7、平方差公式的常見(jiàn)變形(1) 位置變化：(a+b)(-b+a)=;(2) 符號(hào)變化:(-a-b)(a-b)=.(3) 系數(shù)變化:(2a+3b)(2a-3b)=.指數(shù)變化:(a 2+b3)(a 2-b 3)=.(5) 項(xiàng)數(shù)變化:(a+2b-

12、c)(a-2b-c)=;(6) 連用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)=課后作業(yè)練習(xí)基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、填空題1、(-2+y)(-2 -y) =.2、(2x + y)(2x y) =.1111 2 23、(a t-bH-a _b) =.4、 (a _x )(_a_x )=23232 25、(a-b)(a+b)(a +b ) =.6、-(x + y)(x-y)=.7、(x y)(x - y) -( -x - y)( -x - y.2 218、(xv +) (xy) = x y -81二、選擇題9、下列各式中，能直接用平方差公式計(jì)算的是()A (a-2b)(-2a 2b); B (a-2b)(b

13、2a);C (a - 2b)( -a 2b) ; D ( -2b a)(a 2b).2 210、 下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是36y -25x的是()A (_6y 5x)(-6y _5x) ; B (5x _6y)(6y 5x);C (-6y 5x)(6y 5x) ; D (5x-6y)(-5x 6y).F列變形正確的是()11、為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算(x+2y-1)(x-2y+1),2A.x-(2y+1)B.x-(2y-1)x+(2y-1)C.(x-2y)+1(x-2y)-1D.x+(2y+1)三、解答題12、計(jì)算(m -n)(m n)(m 2n)(m -2n).13、 先化簡(jiǎn)后求值(x2 2)(

14、x2 一2)(x 2)(x 一2), x = 一2 .提高訓(xùn)練214、解方程(x 1)(x-1)-(x -2x)=4.15、 已知代數(shù)式(-4x+3y)(-3y-4x) 與多項(xiàng)式 M的差是(2x+3y)(8x-9y),求多項(xiàng)式 M.16、 一個(gè)長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)為(2a+3)cm,寬為(2a-3)cm,那么這塊菜地的面積是多少？17、 一個(gè)長(zhǎng)方體的游泳池的長(zhǎng)為(4a 2+9b2)米，寬為(2a+3b)米，高為(2a-3b)米，那么這個(gè)游泳 池的容積是多少？12.3.1對(duì)應(yīng)練習(xí)答案：2 2 2 21. 解：原式=(2x)+y( 2x) y=( 2x) y =4x y .2. 解：原式=(a2 -b2

15、)(a2 b2)(a4 b4)(a8 - b8) = (a4 -b4)(a4 b4)(a8 - b8)=(a8 -b8)(a8b8) =a16-b16厶22243.解：原式=(x+2)(x 2)(x +4)=(x 4)(x +4)=x 16.4答案：25.解：原式=冋卜"說(shuō)蠶4丿1+丄丫1一1】4丿6.解：982 =(98 +2 98 2 )+22 = 9600 + 4 = 9604 .7.答案：4a2 -b2 6b -9 .6、解:原式=(3x-2y)(-3x-2y)(9x2 2 2 27、(1)a -b (2)b -a (3)4a (6)a 4-b4課后作業(yè)練習(xí)參考答案：2+4y

16、2) =(4y2-9b2-9x 2)(9x(4)a2+4y2)=16y 4-81x4-b6(a-c)2 2 2 2 2-4b =a -2ac+c -4b4 _ y2 ； 4x2 _ y2 ；a2 _b2 ； x4 _a2； a4 -b4 ；49y -x ；9'9課堂作業(yè)練習(xí)參考答案:1、答案：2 2a b a-b =a -b2、答案：43、答案：D4、答案：(x -3)5、解:原式=丨一升=韋一丄(.I 3 丿 14 丿 9169、D; 10、A; 11、D 12、 3n2；4213、化簡(jiǎn)結(jié)果為x -x ,求值結(jié)果為12;14、x = 2.515、 解： 由 題 意 得2 2 2 2=(-4x) -(3y) -(16x -18xy+24xy-2