剛體力學(xué)(113)

1、 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體發(fā)生變化的物體( (任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組) )剛體的運(yùn)動(dòng)形式：剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的說(shuō)明：說(shuō)明： 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)：平動(dòng)：剛體中所剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同持完全相同 特點(diǎn)：特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、v轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：分分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和和非

2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的剛體的平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作：剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作：隨質(zhì)心的平動(dòng)隨質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+的合成的合成沿沿逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)椒较蜣D(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng))()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)沿沿順時(shí)針順時(shí)針?lè)椒较蜣D(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng)tdd角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.d 一一 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度角加速度角加速度t dd 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)( (一維轉(zhuǎn)動(dòng)一維轉(zhuǎn)動(dòng)) )的的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)方向方向可以用可以用角速度角速度的正、負(fù)的正、負(fù)來(lái)表示來(lái)表示. .00zz( (1)

3、) 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面； ( (2) ) 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但均相同，但 不同；不同；,a, v定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)特點(diǎn) 簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面z r任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線量和角量的關(guān)系量和角量的關(guān)系rarartn2轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面平面oFz rP 一、一、外力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的力矩外力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的力矩力矩力矩 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 sinrFM Fr FrM 大?。捍笮。?r 方向：方向： 垂直于垂直于 和和 組組成的平面，并由成的平面，并由 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向 的右手螺旋。的右手螺旋。rFrFM注意：

4、注意：0F 或或0sin （有心力的作用）（有心力的作用）0M 則：則：zOkFr討論討論FFF/FrMsin rFMz若力若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 F 其中其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩軸的力矩/FF/FFprL sinprL 說(shuō)一個(gè)角動(dòng)量時(shí)，必須指說(shuō)一個(gè)角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪個(gè)固定點(diǎn)而言的。明是對(duì)哪個(gè)固定點(diǎn)而言的。二、質(zhì)點(diǎn)二、質(zhì)點(diǎn)m m對(duì)對(duì)O O點(diǎn)點(diǎn)的角動(dòng)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）：量（動(dòng)量矩）：，vmp 描述描述質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)ipjp0, 0p0, 0p描述剛體運(yùn)動(dòng)

5、不能用動(dòng)量而要用角動(dòng)量。prL 【例】【例】圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于圓心圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于圓心O O的角動(dòng)量的角動(dòng)量SI：kgm2/s , 或或 J s 2mrmrvrpL 微觀體系的角動(dòng)量是明顯量子化的，其取值微觀體系的角動(dòng)量是明顯量子化的，其取值只能是普朗克常數(shù)只能是普朗克常數(shù) 的整數(shù)或半奇數(shù)倍。的整數(shù)或半奇數(shù)倍。sJ10051234 ./h 但因宏觀物體的角動(dòng)量比但因宏觀物體的角動(dòng)量比 大得多，所以宏大得多，所以宏觀物體的角動(dòng)量可以看作是連續(xù)變化的。觀物體的角動(dòng)量可以看作是連續(xù)變化的。orL vm 力力的時(shí)間累積效應(yīng)：的時(shí)間累積效應(yīng)： 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理 力矩力矩的時(shí)間累

6、積效應(yīng)：的時(shí)間累積效應(yīng)： 沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理?)(prttL d dd dd dd dptrtpr d dd dd dd d0 ptrd dd dFtp d dd dMFrtL d dd d（共線）（共線）prL 由：由： 質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩，等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩，等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率間的變化率三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：FrM 合外力矩：合外力矩：prL ，角動(dòng)量：角動(dòng)量：M M 和和L L都是相對(duì)都是相對(duì)慣性系中同一固定點(diǎn)慣性系中同一固定點(diǎn)定義的。定義的。 tt0tMd d力矩的時(shí)間積累（力矩的時(shí)間積累（沖量矩沖量矩

7、）。）。tLMd dd d 積分形式：積分形式：0ttLLtM0 d ddtpdF 對(duì)比對(duì)比0ttpptF0 d d對(duì)比對(duì)比mm1r2r四、四、 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律【例例】證明開普勒第二定律：證明開普勒第二定律：行星相對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等行星相對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。 質(zhì)點(diǎn)所受的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)某固定點(diǎn)的合外力對(duì)某固定點(diǎn)的力矩為零，力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變，即角動(dòng)量的大小和方向都保持不變。即角動(dòng)量的大小和方向都保持不變。0M 若：若：常矢量 vmrL則：則：( (一一) )茹可夫

8、斯基凳茹可夫斯基凳（二）花樣滑冰（二）花樣滑冰 L常數(shù)常數(shù) sintrrmL ,sintrrm tSm2常數(shù)常數(shù) sin21rrS 行星相對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相行星相對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。等的面積。mvr r S sinr L太陽(yáng)太陽(yáng)行星行星在近日點(diǎn)轉(zhuǎn)得快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)轉(zhuǎn)得慢。在近日點(diǎn)轉(zhuǎn)得快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)轉(zhuǎn)得慢。角動(dòng)量為常矢量角動(dòng)量為常矢量 tS 常數(shù)。常數(shù)。所以，面速度所以，面速度角動(dòng)量方向不變：角動(dòng)量方向不變：行星軌道平面方位不變行星軌道平面方位不變角動(dòng)量大小不變：角動(dòng)量大小不變：力矩為零力矩為零有心力有心力rrff )( 例例1 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于

9、豎直平的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)面內(nèi). 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小的小球穿在圓環(huán)上球穿在圓環(huán)上, 并可在并可在圓環(huán)上滑動(dòng)圓環(huán)上滑動(dòng). 小球開始小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心 O 的的水平面上水平面上)，然后從，然后從 A點(diǎn)開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略點(diǎn)開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計(jì)求小球滑到點(diǎn)去不計(jì)求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對(duì)環(huán)心時(shí)對(duì)環(huán)心 O 的角的角動(dòng)量和角速度動(dòng)量和角速度 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩為的力矩為零，重力矩垂直紙面向里零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理cosmgRM tLmgRdd

10、costmgRLdcosdNFPNF考慮到考慮到2,ddmRmRLtvgRmLLdcosd32得得由題設(shè)條件積分上式由題設(shè)條件積分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 角動(dòng)量定理微分形式角動(dòng)量定理微分形式：tLMdd定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)tLMdd所以，可直所以，可直接寫分量式接寫分量式zim iri五、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理五、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理z MMz z LLz ?LLz iiiizmrL因?yàn)楦髻|(zhì)元角動(dòng)量因?yàn)楦髻|(zhì)元角動(dòng)量方向相同方向相同，所以合矢，所以合矢量的大小就是分矢量量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加iiLLi

11、iiimr任一質(zhì)量元的任一質(zhì)量元的角動(dòng)量大小為角動(dòng)量大小為iir因?yàn)橐驗(yàn)閕iirmL)(2所以所以zim iri2iiirmJ 定義定義剛體對(duì)定剛體對(duì)定軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JL JL imz irLiiirmL)(2進(jìn)一步進(jìn)一步化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)則剛體對(duì)定則剛體對(duì)定軸的軸的角動(dòng)量角動(dòng)量或?qū)憺榛驅(qū)憺関mP 312iiiirmJ1m2m3m1r2r3r例：如圖質(zhì)點(diǎn)系例：如圖質(zhì)點(diǎn)系233222211rmrmrm 單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：?jiǎn)蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)：2mrJ 質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系：2iiirmJ mrJmd 2質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：六六 、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 J 的的意義：意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣

12、性的量度 .剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān)（1）與剛體的體密度與剛體的體密度 有關(guān)有關(guān)（2）與剛體的幾何形狀及體密度與剛體的幾何形狀及體密度 的分的分布有關(guān)布有關(guān)說(shuō)說(shuō) 明明oo2121mlJ J J和轉(zhuǎn)軸有關(guān)和轉(zhuǎn)軸有關(guān) 同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。 解（解（1）xxdx棒的線密度：棒的線密度：lm dxdm 則：則：dxx2 222lldxxdJJ 2ml121 （2） ldxxdJJ02 2ml31 oo231mlJ dmxdJ2 2mdJJCO 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛

13、體的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為慣量為 ，則對(duì)任一與則對(duì)任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為 的的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CJmddCOm平行軸定理平行軸定理哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)角時(shí)的角加速度和角速度的角加速度和角速度一長(zhǎng)為一長(zhǎng)

14、為 l 、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈O相接，相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)由于此豎由于此豎直放置的細(xì)桿處于非直放置的細(xì)桿處于非m,lOmg例例1 1 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmgttdddddd由角加速度的定義由角加速度的定義lgdsin23d代入初始條件積分得代入初始條件積分得)cos1 (3lgddNFm,lOmg 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿，可的均勻細(xì)桿，可

15、繞過(guò)其中心繞過(guò)其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背處，并背離點(diǎn)離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0vl/4O例例2220)4(1214lmmllmvl0712 v解解蟲與桿的蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒l0712 v由角動(dòng)量

16、定理由角動(dòng)量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgtJtLMdddd JM amF定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的地位定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的地位相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的牛頓第二定律相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的牛頓第二定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題步驟與牛頓第題步驟與牛頓第二定律時(shí)完全相二定律時(shí)完全相同同.七、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律七、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律imz irL1 1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能222121 JmEiiiK 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能KEAA內(nèi)外質(zhì)點(diǎn)

17、系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理八、八、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2 2、力矩的功、力矩的功 dddMrFA 3 3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理動(dòng)能定理21222121 JJA 重力場(chǎng)中機(jī)能守恒定律重力場(chǎng)中機(jī)能守恒定律系統(tǒng)系統(tǒng)- - 剛體剛體+ +地球地球221 JmghEc 21MA d d 例例2 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)一自由轉(zhuǎn)動(dòng)一質(zhì)量為質(zhì)量為m、速率為、速率為v 的子彈射的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使竿的處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為偏轉(zhuǎn)角為30o . 問(wèn)子彈的初速問(wèn)子彈的初速率為多少率為多少? ?解解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒)31(22malmamvoamv302233mamlamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2olgm)30cos1 (omga 射入竿后，以子彈、細(xì)射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，E E =常量常量對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量的角動(dòng)量L= J221 J例：例： l mOMs解：(1)棒由水平位置下落到豎直位置時(shí)機(jī)械能守恒。2212 Jmg (2)棒與物塊碰撞時(shí),角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒vMJJ 221221221vMJ