柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下拉普拉斯算符表達(dá)式的簡單推導(dǎo)(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下拉普拉斯算符表達(dá)式的簡單推導(dǎo) 摘 要：本文采用多元微積分，利用球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)、柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)變量轉(zhuǎn)換的相同關(guān)系，以拉普拉斯算符為例，簡化了在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下拉普拉斯算符表達(dá)式的推導(dǎo)。本文提出了此法在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下梯度、旋度、散度算符表達(dá)式的推導(dǎo)中的適用性，適合廣大非數(shù)學(xué)專業(yè)本科生學(xué)習(xí)與掌握。關(guān)鍵詞：拉普拉斯算符；球坐標(biāo)；柱坐標(biāo)；多元微積分中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào): 1672-1452(2015)*-*-041 引 言在材料科學(xué)基礎(chǔ)、近代物理、量子力學(xué)等課程的內(nèi)容中，菲克第二定律和薛定諤方程中的拉普拉斯算符在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)

2、系中的表達(dá)式十分重要。在近代物理的課本1和材料科學(xué)基礎(chǔ)的課本2上，提到了拉普拉斯算符在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式，但沒有給出具體的推導(dǎo)過程。在電動(dòng)力學(xué)課本3中,這方面的內(nèi)容是通過引入“正交曲線坐標(biāo)系”得出關(guān)于拉普拉斯算符的一般結(jié)論，再推導(dǎo)出球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)下的表達(dá)式。但是利用正交曲線坐標(biāo)系的一般結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)比較抽象，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)來說，理解一般性的結(jié)論需要較高的數(shù)學(xué)水平?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)45中，有采用多元復(fù)合函數(shù)微商法則完成推導(dǎo)的，雖然此法在對(duì)學(xué)生的微積分要求較低，但是所給出的證明計(jì)算繁瑣，無助于學(xué)生直接理解公式的正確性和自主完成推導(dǎo)。本文給出了用多元微積分導(dǎo)出拉普拉斯算符在柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)

3、系中表達(dá)式的簡單方法。此法僅要求學(xué)生掌握基本的多元微積分知識(shí)，計(jì)算過程簡潔美觀，便于廣大的非數(shù)學(xué)系專業(yè)的學(xué)生掌握和理解。建議在近代物理、量子力學(xué)、材料科學(xué)基礎(chǔ)等課程教材和教學(xué)中應(yīng)用。2 柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下拉普拉斯算符的推導(dǎo)2.1 柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯算符表達(dá)式的推導(dǎo)首先，直角坐標(biāo)系的分量與柱坐標(biāo)系的分量有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系：（1）（2）（3）（4）（1）式兩端分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)，得（5）（6）（2）兩端對(duì)x求偏導(dǎo)，并將（5）式代入，得（7）同理可知，（8）假設(shè)所研究的函數(shù)為由于z關(guān)于x，y是獨(dú)立的變量，故（9）同理（10）利用公式（5）（7）（9），對(duì)f求x的二次偏導(dǎo)（11）類似地，計(jì)算f關(guān)于y的二

4、階偏導(dǎo)數(shù)。計(jì)算過程與上面相同，將x換為y，換為，換為即可。于是（12）結(jié)合（11）（12）式，合并同類項(xiàng)后可以得到（13）式（13）最后，拉普拉斯算子的柱坐標(biāo)可表示如下 （14-a）或者 （14-b）2.2 球坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子的推導(dǎo)上述柱坐標(biāo)系下拉普拉斯算符表達(dá)式的推導(dǎo)方法較為常用，運(yùn)算量不大，也是大多數(shù)理工類本科生可以獨(dú)立完成的。采用多元復(fù)合函數(shù)微商法則進(jìn)行證明的現(xiàn)有文獻(xiàn)中，推導(dǎo)路徑是從直角坐標(biāo)公式分別推導(dǎo)出柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的算符表達(dá)式。但是從直角坐標(biāo)系出發(fā)推導(dǎo)球坐標(biāo)系下的拉普拉斯算符表達(dá)式較為繁瑣，運(yùn)算量過大，不利于學(xué)生理解整個(gè)證明過程，許多同學(xué)難以完成。本文采取從（14）式出發(fā)，

5、利用與 的關(guān)系式和與的關(guān)系式（1）（2）（3）（4）間的相似性，給出利用柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯算符的表達(dá)式導(dǎo)出球坐標(biāo)系下拉普拉斯算符表達(dá)式的方法。此法亦適用于旋度、梯度、散度算符在球坐標(biāo)系下表達(dá)式的推導(dǎo)。球坐標(biāo)系下的變量和柱坐標(biāo)系下的變量間的關(guān)系如下：（15）（16）（17）（18）對(duì)比（14）（15）（16）（17）式與（1）（2）（3）（4）式，可以發(fā)現(xiàn)球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系的變量關(guān)系與柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的變量關(guān)系相同。于是在利用（13）式推導(dǎo)球坐標(biāo)系的拉普拉斯算符表達(dá)式時(shí)，可以將上一節(jié)的推導(dǎo)過程中得到的公式套用過來。將（10）（13）式中的分別換為可得，（19）（20）將（19）（20）式代

6、入（14-a）式，并注意到，有最后整理得，（21）（21）式即為球坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子。3 結(jié) 論本文利用多元微積分，從直角坐標(biāo)系出發(fā)導(dǎo)出柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯算符表達(dá)式，利用球坐標(biāo)系變量與柱坐標(biāo)系變量的關(guān)系式與柱坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系變量的關(guān)系式相同的特點(diǎn)，從柱坐標(biāo)系的算符表達(dá)式出發(fā)導(dǎo)出球坐標(biāo)系下的算符表達(dá)式，證明簡潔易懂。此外，此法在證明梯度、旋度、散度算符的柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)的表達(dá)式時(shí)同樣能簡化計(jì)算，適合理工類本科生學(xué)習(xí)和掌握。參 考 文 獻(xiàn)1 Beiser, A. Concepts of modern physicsM.New York: McGraw-Hill Education, 20

7、03.2 潘金生，田民波，仝健民. 材料科學(xué)基礎(chǔ)M.北京：清華大學(xué)出版社，2011.3 郭碩鴻，電動(dòng)力學(xué)M.北京：高等教育出版社，2008.4 江俊勤.柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系中的拉普拉斯算符J.廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2003，2：32-34.5 姚久民，石鳳良.球坐標(biāo)系中拉普拉斯算符表達(dá)式的推導(dǎo)J.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2005，5：67-71.A Concise Derivation of the Expressions of Laplacian Operator inCylindrical and Spherical Coordinate SystemsZhang JinyuSchool of

8、 Material Science and Engineering, Tsinghua University，Beijing , China;Abstract: In this paper, the expressions of Laplacian operator in cylindrical and spherical coordinate system are derived by using the knowledge of multivariable calculus. The relationship between variables in spherical coordinat

9、e system and those in spherical coordinate system is similar to that between variables in cylindrical coordinate system and those in Cartesian coordinate, which simplifies the derivation greatly. It is proposed that this method can also predigest the derivation of the expressions of the curl, gradient, divergence operator in the two curvilinear coordinate systems mentioned above. In sum, this method is suitable for undergraduates of engineering to grasp. It is suggested that this method could be involved in the relative t