空間力系概要

1、第三章作業(yè)第三章作業(yè)l習(xí)題P105l3-3；3-6；3-7；期中考試大致時間期中考試大致時間10周周五周周五考試范圍：第考試范圍：第1章章第第3章章 工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。 (a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；迎 面風(fēng) 力側(cè) 面風(fēng) 力b第三章第三章 空間一般力系空間一般力系一、定義一、定義為了度量力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，引用力對軸的矩。圖示門，求力 對z（矩軸）的矩。zFF將力分解：3-1 3-1 力對軸的矩力對軸的矩AxyFzFOd z 軸z 軸ZFxyF于是：于是：的面積2)()(BOAdFFmFmxyxyOz

2、即力即力 與軸共面時，力對軸之矩為零。與軸共面時，力對軸之矩為零。結(jié)論結(jié)論：力對軸的矩等于該力在垂直于此軸的平面上的投影對此軸與這個平面交點的矩。（1）力對軸的矩是代數(shù)量。正負號規(guī)定：右手螺旋法則。（2）若力與軸空間垂直，則無須投影。（3）若 / z 軸與z軸相交FFF（4）力沿作用線移動，力對軸的矩不變。結(jié)論：力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該軸的矩為零。 思考題思考題 計算以下計算以下a a、b b、c c三圖中力三圖中力F F對對Z Z軸之矩。軸之矩。即：)(cos)(FmFmzO)()(FmFmzzO二、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關(guān)系二、力對點的矩與力對通過該點

3、的軸之矩的關(guān)系面積由于AOBFmO2)(2)()(BOAFmFmxyOz通過O點作任一軸Z，則：cosBOAOAB由幾何關(guān)系：2cos2BOAOAB所以： 結(jié)論結(jié)論：力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對于該軸的矩。對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關(guān)系，簡稱力矩關(guān)系式。 kFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(由于又由第一章知：)F(mOZYXzyxkjikyXxYjxZzXizYyZ)()()(yXxY)F(m,xZzX)F(m,zYyZ)F(mzyx這就是力對直角坐

4、標(biāo)軸的矩的解析表達式。力對軸的矩的計算方法：（1）定義法；（2）解析式；（4）合力矩定理。（3）力矩關(guān)系式；例例1已知P=20N，求 對z軸的矩。解解：方法一：定義法dP)P(m)P(mxyxyOz205. 05 . 020d60cosP0mN22P方法二：解析式X=Pcos600sin450=5Y=Pcos600cos450 = 5Z= Psin600= 10 x= 0.4my=0.2+0.3=0.5mz=0.3mN2N2N3yXxY)P(mzmN 25 . 0255 . 0)25(4 . 0方法三：力矩關(guān)系式)(PmOZYXzyxkji31025253 . 05 . 04 . 0kjik2

5、5 . 0j )3425 . 1(i )3525 . 1()P(mx)P(my)P(mz方法四：合力矩定理)P(m)P(mxzz)P(m)P(mzzyz=05 . 045sin60cosP004 . 045cos60cosP00mN25 . 03-2 3-2 空間一般力系的簡化與平衡空間一般力系的簡化與平衡一、空間匯交力系的合成一、空間匯交力系的合成同平面匯交力系一樣，作力多邊形（此時是空間的），得：空間匯交力系合成的結(jié)果是一個合力，合力的大小和方向等空間匯交力系合成的結(jié)果是一個合力，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和，即于力系中各力的矢量和，即in21FF.FFR二、空間力偶系的合成二、

6、空間力偶系的合成空間力偶是自由矢量，所以可以將空間力偶系中各力偶矩矢搬移到某一點，得到一組空間匯交的力偶矩矢。應(yīng)用空間匯交力系的合成方法，得空間力偶系合成的結(jié)果是一個合力偶，合力偶矩矢等于各空間力偶系合成的結(jié)果是一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即分力偶矩矢的矢量和，即in21mm.mmm 把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標(biāo)系擴充為空間坐標(biāo)系。 nFFFF321, 設(shè)作用在剛體上有空間一般力系任選任選O點點簡化中心簡化中心三、空間一般力系向一點的簡化三、空間一般力系向一點的簡化根據(jù)力的平移定理，將各力向O點平移，1F1m2F2mnFnm=得

7、到一空間匯交力系：, , 321nFFFF和一附加空間力偶系：nmmm,21注意 分別是各力對O點的矩。nmmm,21, , , 321nFFFFRiiFFRnmmm,21OM)F(mmMiOiO合成 ，得主矢原力系各力的矢量和，過簡化中心O，且與O點的選擇無關(guān)。合成 ，得主矩主矩一般與簡化中心O有關(guān)。結(jié)論結(jié)論：空間一般力系向一點簡化，一般可得一個力和一個力偶，這個力作用在簡化中心，大小和方向等于原力系的主矢，即等于原力系各力的矢量和；這個力偶的矩矢等于原力系對簡化中心的主矩，即等于原力系各力對簡化中心矩的矢量和。若取簡化中心簡化中心O點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則： 主矢大小主矢大小 主矢方

8、向主矢方向 根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)系: 則主矩大小主矩大小為： 主矩方向主矩方向：222222)()()(iiizyxZYXRRRRcos,cos,cosRZRYRXiii)( ; )( ; )( )(izOziyOyixxiOOxFmMFmMFmFmM222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cos222)()( )(iziyixFmFmFm 空間一般力系向一點簡化的最后結(jié)果有以下幾種情況：2 2、 則原力系簡化為一個合力偶合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO。此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。0, 0OMR1 1、 則原力系簡化為一個合力合力，主

9、矢 等于原力系合力矢 ，合力 通過簡化中心O點。 （換個簡化中心，主矩不為零）0, 0OMRRRR四、四、簡化結(jié)果的討論簡化結(jié)果的討論0M,0 RO3 3、R ROM ，此時可以進一步簡化為一個合力 。將 用 代替OMRR RRR RMd,Rdd RMOO根據(jù) 、 的轉(zhuǎn)向與 一致的原則確定 在O點的那一側(cè)。RROMR)()(iOOFmRm)()(izzFmRm)(RmMOO由此知又)(iOOFmM即：如果空間一般力系簡化為一合力，則合力對任一點的矩等于力系中各力對同一點矩的矢量和這就是空間一空間一般力系的合力矩定理般力系的合力矩定理。將上式向過O點的任一軸z軸投影，得即合力對任一軸的矩等于各分

10、力對同一軸的矩的代數(shù)和。 ，力螺旋力螺旋例例 擰螺絲 炮彈出膛時炮彈螺旋線OMR / 與 成任意角（不平行也不垂直） 把 分解為平行于 的 和垂直于 的 。 分別按、處理。 ROMOM R1M2M R若力與力偶矩矢同向，稱為右手螺旋；反之，稱為左手螺旋。即原力系簡化的結(jié)果為O點的一個力螺旋力螺旋。 （自由矢量）平移到O點 RsinM RMdO2 使主矢 搬家，搬家的矩離：2M R1M4 4、 , 則原力系平衡平衡。0, 0OMR 1 1、空間任意力系的平衡方程、空間任意力系的平衡方程2i2i2i)Z()Y()X( R2iz2iy2ixO) )F(m() )F(m() )F(m(M五、五、空間一

11、般力系的平衡方程空間一般力系的平衡方程空間一般力系平衡的充分必要條件是：0M,0 RO0)F(m,0Z0)F(m,0Y0)F(m,0Xiziiyiixi空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程為：還有四矩式，五矩式和六矩式，同時各有一定限制條件。0Z,0Y,0Xiii2、空間匯交力系的平衡方程、空間匯交力系的平衡方程以匯交點為簡化中心，則3、空間平行力系的平衡方程、空間平行力系的平衡方程取z軸平行于各力，則0)F(m,0Y,0Xizii0)F(m,0)F(m,0Ziyixi于是由空間一般力系的平衡方程得：4、空間力偶系的平衡方程、空間力偶系的平衡方程0)F(m,0)F(m,0)F(mizi

12、yix于是由空間一般力系的平衡方程得：0Z,0Y,0Xiii于是由空間一般力系的平衡方程得：0, 0, 0iziyixmmm(1)球鉸（球形鉸鏈）球鉸（球形鉸鏈）5、空間約束、空間約束 觀察物體在空間的六種（沿三軸移動和繞三軸轉(zhuǎn)動）可能的運動中，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動為反力，阻礙轉(zhuǎn)動為反力偶。例球形鉸鏈球形鉸鏈（2）軸承）軸承(滾珠軸承滾珠軸承)，蝶鉸鏈，蝶鉸鏈軸承蝶鉸AXAZ（3）止推軸承）止推軸承 （4）空間固定端）空間固定端 例例2 圖示起重機自重不計，已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=200kN，起重臂AC位于拉索BE、BF的對稱平面內(nèi)。求:索B

13、E、BF的拉力和桿AB的內(nèi)力。解（1）以C點為研究對象 （平面匯交力系）)kN(546, 045sin15sin, 011TQTYi53 sin ,54434 cos22(2)以B點為研究對象（空間匯交力系）：3232045sin cos45sin cos , 0TTTTXi )kN( 419 045cos cos45cos cos60sin , 032321TTTTTYi)kN( 2300 sin sin60cos - , 0321BABAiSTTTSZ注意：注意：力偶不出現(xiàn)在投影式中力偶在力矩方程中出現(xiàn)是把力偶當(dāng)成矢量后，將該矢量向該軸投影（類似力在軸上的投影）例例3 曲桿曲桿ABCD,

14、ABC=BCD=900,已知已知, m2, m3 求：支座反求：支座反力及力及m1=?解解：32321)()(macmabamcambcYbZmDD0 , 0DiXXamZaZmmAAy22 , 0 , 0amYaYmmAAz33 , 0 , 0amYYYYYADDAi3 , 0 , 0amZZZZZADDAi2 , 0 , 00 , 011DDxYcbZmm例例4 已知：AB桿, AD,CB為繩, A、C在同一垂線上，AB重80N，A、B光滑接觸，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC鉛直。求平衡時，繩AD、BCD的拉力及支座A、B的反力。解：解：0N 80, 0PNPNZBBi由由02

15、160cos, 0CEPACTmBDDN)( 1 .23806333260ctg260cos60ctg2160cos PPTACPACTBBCEAC 60cos60ctg又)N( 5 .1121806360cosTT060cosTT ,0XBABAi)N( 20238063N060sinTN ,0YABAi例例5絞車的軸安裝于水平位置。已知絞車筒半徑r1=10cm，膠帶輪半徑r2=40cm，a=c=80cm，b=120cm，重物重P=10kN。設(shè)膠帶在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)與水平成=300角，且T1=3.5T2，求均速吊起重物時軸承A、B處的約束力及T1、T2的大小。 解：解：以絞車為研究對象AX

16、AZBX聯(lián)立T1=3.5T2，得XB=1.56kN 得ZB=5.1kN BZ得T1=1kN，T2=3.5kN , 0)(izFm0sinsin)(, 0)(21PaaTaTZcbFmBixxzy0, 0)(22211rTrTrPFmiy0coscos)(21aTaTXcbBAXAZBXBZxzy得XA=-5.46kN 得ZA=7.15kN 絞車在AB方向沒有約束，可以運動，稱為不完全約束系統(tǒng)。但仍然是平衡的（Yi=0）。若在B端換成止推軸承，則系統(tǒng)是完全約束系統(tǒng)。0coscos, 011TTXXXBAi0sinsin, 021PTTZZZBAi例例6均質(zhì)薄板，單位面積重 =0.5kN/m2，在

17、薄板平面內(nèi)作用一力偶，其矩M=100kN.m。在過邊DE的鉛直平面內(nèi)的D點作用F=10kN的力，與邊DE成300角。試求球鉸A及三根連桿的約束力。 解：以板為研究對象將板視為正方形ABCD減去三角形CDE。正方形ABCD重P0=62 =18kN，三角形CDE重P1=63 /2=4.5kN（應(yīng)為負值，即P1向上），作用在各自的重心。 ,0)F(miz0645cosSM645sin30cosFBCkN9 .14SBC,0)F(mixkN25. 0SDD06630sin5310 DDSFPP,0)F(miy0645sin63310 BCBBSSPPkN79. 3SBBkN12. 6AX045sin3

18、0cos, 0 FXXAi045cosS45cos30cosFY,0YBCAi kN7 .16AYkN5 . 1AZ本題也可以不將板處理成P0、P1而是用求板ABCDE的重心來計算。 045sin30sin, 00001DDBBBCAiSSSFPPZZ例例7圖示結(jié)構(gòu)，P和M在yOz平面內(nèi)，力F和AG桿平行于x軸。已知：F=100N，P=200N，M=150N.m，L1=1m，L2=1.5m。求所有的約束力。 解（1）取DE為研究對象：0260sin, 022 MLNLPmED（2）取OAD為研究對象 129LBH 力 在三個坐標(biāo)軸上分力的大?。築HSBHBHBHySBHLSS29331BHBH

19、BHzSBHLSS29441BHBHBHxSBHLSS29221N6 .36060sin0DDEiZZNPZ得，N100060cos0DDiYPYY得，0, 011LSFLmBHxzNSBH3 .269004, 01OOyXLXm0, 0AGBHxAGOSSFSXXNNLYLSLSLZLNmCDBHzBHyDCx2 .54504432, 011111NYSYYYOBHyDO2500, 0NZSZNZZOBHzDCO8 .3810, 0 空間平行力系，當(dāng)它有合力時，合力的作用點C 就是此空間平行力系的中心空間平行力系的中心。而物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。 3-4 3-4 物

20、體的重心和形心物體的重心和形心一、空間平行力系的中心、物體的重心一、空間平行力系的中心、物體的重心1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理：)()(iOOFmRmnnCFrFrFrRr2211iiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , :投影式如果把物體的重力都看成為平行力系，則求重心問題就是求平行力系的中心問題。 由合力矩定理： iiCxPxP二、重心坐標(biāo)公式二、重心坐標(biāo)公式：y軸：x軸：iiCyPyPP=Pi物體的重量 根據(jù)平行力系中心位置與各平行力系的方向無關(guān)的性質(zhì)，將力線轉(zhuǎn)成與y軸平行，再應(yīng)用合力矩定理對x 軸取矩得：iiCz

21、PPz綜合上述得重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式為：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得質(zhì)心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,設(shè) i表示第i個小部分每單位體積的重量，Vi第i個小體積。對于均質(zhì)物體均質(zhì)物體， =恒量恒量，則：VzVz ,VyVy,VxVxiiCiiCiiC三、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式三、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式：Pi= Vi， P= Pi= Vi= Vi= V于是得：均質(zhì)物體的重心與其重量無關(guān)，只與物體的體積（幾何形狀）有關(guān)，這個只由物體的幾何形狀決定的點稱為物體的形心只由物體的幾何形狀決定的點稱為物體的形心。上式又稱為

22、物體的形心公式形心公式。注意：（1）形心與重心是兩個不同的概念。對于均質(zhì)物體，重心和形心是重合的。（2）有對稱面（軸、點）的均質(zhì)物體，其重心必在對稱面（軸、點）上。令Vi0，則上式可寫成積分形式積分形式：VxdVxCVVydVyCVVzdVzCVA面積AzAz ,AyAy,AxAxiiCiiCiiClzlz ,lyly,lxlxiiCiiCiiC同理可得均質(zhì)薄殼（板）的重心公式：均質(zhì)空間曲線的重心公式：l長度同樣可得它們的積分形式。解解：由于對稱關(guān)系，該圓弧重心必在Ox軸，即yC=0。取微段dRdLRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC積分法積分法（簡單形體）例例8 求半徑為R，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。四、確定均質(zhì)物體重心的方法四、確定均質(zhì)物體重心的方法 cos Rx 分割法分割法（由簡單形體組成的復(fù)雜形體）解法一：例例9求圖示均質(zhì)薄板的重心，尺寸如圖，長度單位：cm。（1）建坐標(biāo)系（盡量利用對稱性）（2）將圖形分成、三個部分，則21cm2520012