平面向量的基本概念精品名師資料

1、平面向量的實(shí)際背景及基本概念1. 向量的概念： 我們把既有 大小又有方向的量叫向量。2. 數(shù)量的概念：只有大小 沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小.3.有向線段 ：帶有方向 的線段叫做有向線段。4.有向線段的三要素：起點(diǎn)，大小，方向aB（終點(diǎn)）A(起點(diǎn) )5.有向線段與向量的區(qū)別；（ 1）相同點(diǎn)： 都有大小和方向（ 2）不同點(diǎn) ：有向線段有起點(diǎn)，方向和長(zhǎng)度，只要起點(diǎn)不同就是不同的有向線段比如：上面兩個(gè)有向線段是不同的有向線段。向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的兩個(gè)有向線段表示相同

2、（等）的向量。向量是用有向線段來(lái)表示的，可以認(rèn)為向量是由多個(gè)有向線段連接而成6. 向量的表示方法：用有向線段表示；用字母 、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母： AB ；7.向量的模： 向量 AB 的大小（長(zhǎng)度）稱為向量的模，記作 | AB |.8.零向量、單位向量概念 ：長(zhǎng)度為零的向量稱為零向量 ，記為： 0。長(zhǎng)度為 1 的向量稱為 單位向量 。9. 平行向量定義 ：方向相同 或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0 與任一向量平行. 即： 0 。說(shuō)明：（ 1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量 、平行，記作 .10. 相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫 相等向量 .說(shuō)明

3、：（ 1）向量 與相等，記作 ；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān) .11. 共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量 ，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）AB說(shuō)明：（ 1）平行向量是可以在同一直線上的。（2）共線向量是可以相互平行的。OFC例 1.判斷下列說(shuō)法是否正確，為什么？（1）平行向量是否一定方向相同？DE（ 2）不相等的向量是否一定不平行？（ 3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（ 4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（ 5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向

4、量？（ 6）兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？（ 7）共線向量一定在同一直線上嗎？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定義得出。（2）不是，當(dāng)兩個(gè)向量方向相同的時(shí)候，只要長(zhǎng)度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（ 4）零向量（ 5）共線向量（平行向量（6）長(zhǎng)度相等且方向相同（ 7）不一定，可以平行。例 2. 下列命題正確的是（A. 與共線， 與共線，則 與 cB.C.向量與不共線，則 與D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A 不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形

5、的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B 不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應(yīng)選C.例 3. 如右圖所示，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中與向量OA, OB, OC 相等的向量。解：按照向量相等的定義可知：OACBDOOBDCEOOCABEDFO向量的加法運(yùn)算及其幾何意義向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.三角形法則（記憶口訣： “首尾相接，從頭指尾”）3.三角形法

6、則的來(lái)由如圖，已知向量a、 . 在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A ，作ABa，BC，則向量AC叫做a 與的和，記作a，即aABBCAC，規(guī)定：a + 0-= 0 + aaaaCbba+ba+ ba+ bAab4.向 量加 法的B字母公式：ABBCAC5.平行四邊形法則圖 1如圖1,以同一點(diǎn)O 為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、 b 為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè) 為起點(diǎn)的對(duì)角線OC 就是a與 b 的和 . 我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.6.平行四邊形法則與三角形法則的區(qū)別：（ 1）平行四邊形法則是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起做出平行四邊形，最終和向量的結(jié)果的起點(diǎn)和兩個(gè)分向量的起點(diǎn)是同一起點(diǎn)。（ 2

7、）三角形法則要求第一個(gè)向量終點(diǎn)和第二個(gè)向量的起點(diǎn)連接在一起， 然后連接第一個(gè)向量的起點(diǎn)和第二個(gè)向量的終點(diǎn)組成三角形，最終和向量的結(jié)果是：由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)。7. 一般結(jié)論當(dāng) a, b 不共線時(shí) ,| a+b|<| a|+| b|( 即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng) a, b 共線且方向相同時(shí),| a+b|=| a|+| b|;當(dāng)a, b 共 線 且 方 向 相 反 時(shí) ,| a+b|=| a|-|b|(或 | b|-|a|).其 中 當(dāng) 向 量時(shí),| a+b|=| a|-|b|; 當(dāng)向量 a 的長(zhǎng)度小于向量b 的長(zhǎng)度時(shí) ,| a+b|=| b|-|a|.一般地 , 我

8、們有 | a+b| | a|+| b|.a 的 長(zhǎng) 度 大 于 向 量b 的 長(zhǎng) 度二例題講解例 1、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,= a,=b,=c, 則 |a+b+c| 等于（）A 0B 3C2D 22.解：DCA作出正方形ABCD 的圖形如上圖所示，那么：a+b=c, 所以 a+b+c=2c, 所以 |a +b+c|=|2c|=2|c|=22 , 所以選 D.例 2. 化簡(jiǎn):(1) BC + AB ;(2) DB + CD + BC ;(3) AB +DF + CD + BC + FA .例 3.如圖所示 ,已知矩形ABCD 中 ,| AD |=43 , 設(shè) AB =a, BC = b,

9、 BD =c,試求向量 a+b+ c 的模 .解: 過(guò) D 作 AC 的平行線 ,交 BC 的延長(zhǎng)線于E, DE AC,AD BE.四邊形 ADEC 為平行四邊形 .DE =AC ,CE= AD .于是 a+b+c= AB + BC + BD = DE + BD = BE = AD + AD =2 AD ,|a+ b+c|=2| AD |=83 .1判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。向量AB 與 CD 是共線向量，則A 、B 、 C、 D 四點(diǎn)必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。2.（

10、1）判斷下列式子是否正確，若不正確請(qǐng)指出錯(cuò)誤原因.0 =0. b - b =0（2）若將所有單位向量的起點(diǎn)歸結(jié)在同一起點(diǎn)，則其終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是_.（3）將所有共線向量移至同一起點(diǎn)，終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么圖形？_3下列說(shuō)法正確的是（）A.平行向量是方向相同的向量B. 長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量C. 零向量的長(zhǎng)度為 0D. 共線向量是在同一條直線上的向量4若非零向量a 與 b 共線，則以下說(shuō)法下確的是（）A.a 與 b 必須在同一直線上B.a 與 b 平行，且方向必須相同C.a 與 b 平行，且方向必須相反D.a 與 b 平行1 、在四邊形 ABCD 中，若 ACABAD ，則四邊形 ABCD 的形狀一定是 ( )(A)平行四邊形(B) 菱形(C