必修4__三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、.三角函數(shù)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)用弧長(zhǎng)公式同角三角函數(shù)誘導(dǎo)應(yīng)用計(jì)算與化簡(jiǎn)的基本關(guān)系式公式證明恒等式應(yīng)用任意角的概念角度制與任意角的三角函數(shù)的應(yīng)用已知三角函圖像和性質(zhì)數(shù)值求角弧度制三角函數(shù)和角公式應(yīng)用倍角公式應(yīng)用差角公式應(yīng)用一、任意角的概念與弧度制1、將沿 x 軸正向的射線，圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為 正角 ，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為 負(fù)角 ，不旋轉(zhuǎn)為零角2、同終邊的角可表示為k 360kZx 軸上角：k 180 kZy 軸上角：90k 180k Z3、第一象限角：0 k 36090k 360kZ第二象限角：90k 360180k 360kZ第三象限角：180k 360270k 360kZ第四象限

2、角：270k 360360k 360kZ4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于90 的角第一象限角：0 k 36090k 360kZ銳角：090小于 90 的角：90;.5、若為第二象限角，那么為第幾象限角？222k2k4kk22k 0,k1, 53 ,4242所以在第一、三象限211rad .6、弧度制：弧長(zhǎng)等于半徑時(shí)，所對(duì)的圓心角為弧度的圓心角，記作7、角度與弧度的轉(zhuǎn)化：10.01745118057.3057 188、角度與弧度對(duì)應(yīng)表：180角度030456090120135150180360弧度0235264323469、弧長(zhǎng)與面積計(jì)算公式弧長(zhǎng)： lR ；面積： S1 l R1R2 ，注意：這

3、里的均為弧度制 .22二、任意角的三角函數(shù)P(x, y)1、正弦： sinyxy；余弦 cos；正切 tanxrrr其中 x, y為角終邊上任意點(diǎn)坐標(biāo)，rx2y2.2、三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)表：度030456090120135150180270360弧度02353264323462sin01231321010222222cos13210123101222222tan0313無(wú)3130無(wú)0333、三角函數(shù)在各象限中的符號(hào);.口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦. （簡(jiǎn)記為“全s t c”）sintancos第一象限： .x0, y0 sin0,cos0,tan0,第二象限： .x0, y0sin0,co

4、s0,tan0,第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,4、三角函數(shù)線設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn) O ，始邊與 x 軸非負(fù)半軸重合， 終邊與單位圓相交與 P ( x, y) ，過(guò) P 作 x 軸的垂線，垂足為M ；過(guò)點(diǎn) A(1,0) 作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn) T.yyTPPM oAAxoMxT（）（）yTyMoAMAxoxPPT（）（）由四個(gè)圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段OMx, MP y ，于是有sinyyMP ，c o sxxx OMryr11，tanyMPATxAT OM OA我們就分別

5、稱有向線段MP , OM , AT 為正弦線、余弦線、正切線。5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式;.sin 2cos21tansintancot1cos(sincos)212 sincos(sincos) 212sincos( sincos， sincos， sincos ，三式之間可以互相表示 )6、誘導(dǎo)公式n口訣：奇變偶不變 , 符號(hào)看象限 ( 所謂奇偶指的是2中整數(shù) n 的奇偶性，把 看作銳角 )nnsin( n)(1) 2 sin, n為偶數(shù)( 1)2 co s, n為偶數(shù)n1； cos( n)n1.22(1) 2co s, n為奇數(shù)( 1)2sin, n為奇數(shù). 公式（一）：與2k ,kZs

6、in(2k)sin； cos(2k) cos； tan(2k ) tan. 公式（二）：與sinsin； coscos； tantan. 公式（三）：與sinsin； coscos； tantan. 公式（四）：與sinsin； coscos； tantan. 公式（五）：與2sincos； cossin；22. 公式（六）：與2sincos； cossin；22. 公式（七）：與 32;.sin3cos； cos3sin；22. 公式（八）：與 32sin3cos； cos3sin；22三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1 、將函數(shù)ysin x 的圖象上所有的點(diǎn)，向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ys

7、in x的圖象；再將函數(shù)ysin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的 1 倍（縱坐標(biāo)不變） ，得到函數(shù) ysinx的圖象； 再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的 A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)yA sinx的圖象。2、函數(shù) y A sinxA0,0 的性質(zhì)：振幅： A ；周期：21；相位： x；初相：。T；頻率： fT23、周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)fx ，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T ，使得定義域內(nèi)的每一個(gè) x 值，都滿足 fxTfx ，那么函數(shù) f x就叫做周期函數(shù)， T 叫做該函數(shù)的周期 .4、 yAsin(x)k2對(duì)稱軸：令xk，得 xk2對(duì)稱中心：xk， (

8、k,0)(kZ) ；，得 x yA cos(x)對(duì)稱軸：令xk，得 xk；k2k2對(duì)稱中心： xk，得 x， (,0)( k Z ) ；2周期公式 :函數(shù) y A sin( x ) 及 y Acos( x2)的周期 T(A 、為常數(shù)，且A 0).函數(shù) yA tanx的周期 T(A 、 、為常數(shù)，且A0).;.5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格函性數(shù)ysin x質(zhì)圖像定義R域值1,1域當(dāng) x2kkZ時(shí)，2最ymax1；值2kkZ時(shí)，當(dāng) x2ymin1 周期2性奇偶奇函數(shù)性在2k,2k2 2單k Z 上是增函數(shù)；調(diào)性2k , 32k在22k Z 上是減函數(shù)對(duì)對(duì)稱中心 k ,0 k Z稱性對(duì)稱軸 x kk

9、 Z2ycosxR1,1當(dāng) x 2k k Z 時(shí)，ymax1；當(dāng) x2kkZ 時(shí)， ymin12偶函數(shù)在2k,2 kkZ上是增函數(shù)；在 2k ,2 kkZ上是減函數(shù)對(duì)稱中心k,0 k Z 2.ytan xx xk ,k Z 2R既無(wú)最大值也無(wú)最小值奇函數(shù)在k, k22k Z 上是增函數(shù)對(duì)稱中心k,0kZ2無(wú)對(duì)稱軸;.對(duì)稱軸 xkk Z6. 五點(diǎn)法作 y Asin( x) 的簡(jiǎn)圖 ，設(shè) tx，取0、 3、 2來(lái)求相22應(yīng) x 的值以及對(duì)應(yīng)的y 值再描點(diǎn)作圖。7.yAsin(x) 的的圖像8. 函數(shù)的變換：（1）函數(shù)的平移變換 yf ( x)yf (xa)(a0) 將 yf (x) 圖像沿 x 軸

10、向左（右）平移a 個(gè)單位（左加右減） yf (x)yf ( x)b(b0) 將 yf (x) 圖像沿 y 軸向上（下）平移b 個(gè)單位（上加下減）（2）函數(shù)的伸縮變換：1 yf (x)yf ( wx)(w0) 將 yf ( x) 圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來(lái)的倍（ w1縮短，0w1伸長(zhǎng)）w yf (x)yAf ( x)( A0) 將 yf ( x) 圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 A倍（ A 1伸長(zhǎng)， 0 A 1縮短）（3）函數(shù)的對(duì)稱變換：yf ( x)yf ( x) )將 yf (x) 圖像繞 y 軸翻折 180°（整體翻折）;.（對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于x 軸對(duì)稱）yf (

11、x)yf (x) 將 yf (x) 圖像繞 x 軸翻折 180°（整體翻折）（對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱） yf (x)yf ( x ) 將 yf ( x) 圖像在 y 軸右側(cè)保留， 并把右側(cè)圖像繞y 軸翻折到左側(cè)（偶函數(shù)局部翻折） yf (x)yf ( x) 保留 yf (x) 在 x 軸上方圖像， x 軸下方圖像繞x 軸翻折上去（局部翻動(dòng)）四、三角恒等變換1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：(1 ） sin()sincossincos(2 ） sin()sincossincos(3 ） cos()coscossinsin(4 ） cos()coscossinsin(5

12、 ） tan()tantant ant ant an1t ant a n1tantan(6 ） tan()tantant ant ant a n1t ant an1tantan(7)a sinb cos=a2b2 sin()(其中, 輔助角所在象限由點(diǎn)(a, b) 所在的象限決定 , sinb,cosa, tanb，該法也叫合一變形).a2b2a2b2a(8)1tantan(4)1tantan()1tan1tan42.二倍角公式（1） sin 2a2 sin a cosa（2） cos 2acos2 asin 2 a1 2sin 2 a 2 cos2 a 1tan 2a2 tan a（ 3）1

13、 tan 2 a;.3. 降冪公式：cos2 a1 cos2a（ 2） sin2 a1 cos2a（ 1）224. 升冪公式（1） 1cos2 cos2（2）1cos2sin 222（3） 1sin(sincos)2（ 4）1sin 2cos222（5） sin2 sincos225.半角公式 （符號(hào)的選擇由所在的象限確定）2sin a1cosa ，a1 cosacos，（1）22（2）22a1cosasin a1 cos atan（3）21cosa1 cos asin a6. 萬(wàn)能公式 :2 tan1tan2（1） sin2 ,（ 2） cos2,1tan21tan2222 tan（3） t

14、an2 .1tan227. 三角變換：三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)過(guò)程中運(yùn)用較多的變換， 提高三角變換能力， 要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件， 靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算、化簡(jiǎn)的方法技能。（ 1） 角的變換：角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系對(duì)角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形（ 2） 函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式：a sinbcosa2b2sin() 其中 cosa,sinba 2b2a2b2，比y sin x3 cos x12( 3)2(1sin x3cos x)如：12( 3)212( 3)2;.2(1 sin x3 cos x)2(sin xcoscos x sin)2 s

15、in( x)22333（ 3）注意“湊角”運(yùn)用：，12例如：已知 、(3 ,) , sin()3，sin()12，則 cos() ?454134（ 4）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中有時(shí)候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“ 1”可轉(zhuǎn)化為“ sin 2cos2”（ 5）冪的變換：對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降冪處理，有時(shí)需要升冪例如：1 cosa 常用升冪化為有理式。（ 6）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形。（ 7）結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變乘為除， 或求差等等。 在形式上有時(shí)需要和差與積的互化、

16、分解因式、 配方等。（ 8）消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某些變量，可用此法（ 9）思路變換：如果一種思路無(wú)法再走下去，試著改變自己的思路，通過(guò)分析比較去選擇更合適、簡(jiǎn)捷的方法去解題目。（ 10）利用方程思想解三角函數(shù)。如對(duì)于以下三個(gè)式子：sin acosa ， sin acosasin acosa ，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式均可求出，且必要時(shí)可以換元。8. 函數(shù)的最值 （幾種常見(jiàn)的函數(shù)及其最值的求法） ： ya sin xb （或 a cos x b) 型：利用三角函數(shù)的值域，須注意對(duì)字母的討論 ya sin xb cosx 型：引進(jìn)輔助角化成 ya2b2 sin(x) 再利用有界性 ya sin 2 xbsin xc 型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意sin x1的約束 ya sin xb 型：