截長補(bǔ)短專題

1、截長補(bǔ)短法人教八年級上冊課本中， 在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)， 這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用 . 而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進(jìn)行直接證明的情形下，利用此種方法常可使思路豁然開朗. 請看幾例 .A例 1.已知，如圖 1-1 ，在四邊形ABCD中，BC AB，AD=DC，BD平分 ABC.D求證： BAD+BCD=180° .分析： 因?yàn)槠浇堑扔?180°，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角， 圖中缺少全等的三角形， 因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn) .B C 圖 1-1證明： 過點(diǎn) D作

2、 DE垂直 BA的延長線于點(diǎn)E，作 DFBC于點(diǎn) F，如圖 1-2 BD平分 ABC， DE=DF，在 Rt ADE與 Rt CDF中，EADDEDFADCDBFC RtADE Rt CDF(HL), DAE= DCF.圖1-2又 BAD+ DAE=180°， BAD+DCF=180°，D即+=180°ABADBCD例 2.如圖 2-1 ， AD BC，點(diǎn) E 在線段 AB上， ADE= CDE， DCE=ECB.E求證：=+ .CD AD BC分析： 結(jié)論是 CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截CB取 CF=CB，只要再證 DF=D

3、A即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化圖 2-1D問題的目的 .A證明： 在 CD上截取 CF=BC，如圖 2-2在與中，4 3FFCEBCEE 21CFCBCFCEBCEB圖 2-2CECE FCE BCE（ SAS） , 2=1.精品文庫又 AD BC， ADC+BCD=180°， DCE+ CDE=90°， 2+ 3=90°， 1+4=90°， 3= 4.在 FDE與 ADE中，F(xiàn)DEADEDEDE34 FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC.例 3.已知，如圖 3-1 ， 1= 2， P為

4、BN上一點(diǎn)，且 PD BC于點(diǎn) D， AB+BC=2BD. 求證： BAP+BCP=180°.分析： 與例 1 相類似，證兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP= EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明： 過點(diǎn) P 作 PE 垂直 BA 的延長線于點(diǎn)E，如圖 3-2 1= 2，且 PD BC， PE=PD，在 Rt BPE與 Rt BPD中，ANP12BDCPEPD圖 3-1BPBP RtBPE Rt BPD(HL), BE=BD.EAN+=2，+=+，+=即=-=.PAB BC BD AB BD DCBD BEAB DC BE

5、 DCBE AB AE在 Rt APE與 Rt CPD中,12BDCPEPD圖 3-2PEAPDCAEDC RtAPE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=180° , BAP+ BCP=180°例 4.已知：如圖4-1 ，在 ABC中， C 2 B， 1 2.A1 2求證： AB=AC+CD.歡迎下載2BDC圖 4-1精品文庫分析：從結(jié)論分析，“截長” 或“補(bǔ)短” 都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長 AC至 E使 CE=CD，或在 AB上截取 AF=AC.證明：方法一（補(bǔ)短法）延長 AC到 E，使 DC=CE，則 CDE CED，如圖 4-2 ACB 2 E，A12 ACB 2 B， B E，在與中 ,ABDAEDCBD12圖 4-2BEEADAD ABD AED（ AAS） , AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.方法二（截長法）在 AB上截取 AF=AC，如圖 4-3A在 AFD與 ACD中 ,1 2FAFAC1 2 AD ADBDC圖 4-3 AFD ACD（ SAS） , DF=DC， AFD ACD.又 ACB 2B， FDB B， FD=FB. AB=AF+FB=AC+FD， AB