信號(hào)與系統(tǒng)第6章 系統(tǒng)的頻域分析(6學(xué)時(shí))

1、-(j )e( )djHh(j )Hzs(j )(j ) (j )YXH( )(t)(t)y txhj ()zs(j )(j )=(j ) e(j )YHHX 若若h(t)是實(shí)信號(hào)時(shí)，則是實(shí)信號(hào)時(shí)，則|H(j )|是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，j j( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 已知某的為 h(t) = (e-te-2t) u(t)，求系統(tǒng)的。解：解： 利用H(j)與h(t)的關(guān)系)()j (thFH2j11j12)j (3)j (12 已知某的輸入信號(hào)為f(t) = e-t u(t) ，輸出信號(hào)為y(t) = (e-te-2t) u(t) ，求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和h(t)。解：解： 利用H(j

2、)與F(j) 、Y(j)的關(guān)系 112j3(j )+=j1j2j1j2Y1(j )j1F(j )2j31(j )=2-(j )j2j2YHF2( )2 (t)e(t)th tun階連續(xù)階連續(xù)LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用微分方程描述如下：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用微分方程描述如下： ( )(1)( )(1)1010( )( )( )( )( )( )nnmmnnmmayta ytaytb xtb xtbxt01110111zs)j ()j ()j ()j ()j ()j ()j ()j ()j (aaaabbbbXYHnnnnmmmm利用時(shí)域微分特性可得利用時(shí)域微分特性可得1110zs10 (j )(j ) (

3、j ) (j )(j )(j )nnmmnnmmaaa Ybbb X解：解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為)j ()j (2)j (j3)()j (zszszs2XYYjY由定義可求得)j ()j ()j (zsXYH2)j (3)j (12例例3 3 已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = x(t)， 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)。例例3 3 已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3x (t)+4x(t)，系統(tǒng)的輸入激勵(lì) x(t) = e3t u(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs (t)。解

4、：解： 由于輸入激勵(lì)x(t)的頻譜函數(shù)為3j1)j (X系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得)2j)(1j (4)j (32)j (3)j (4)j (3)j (2H故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs (t)的頻譜函數(shù)Yzs (j)為)3j)(2j)(1j (4)j (3)j ()j ()j (zsHXY)(e25e2e21)j ()(32zs1zstuYFtyttt例4 圖示RC電路系統(tǒng)，激勵(lì)電壓源為x(t)，輸出電壓 y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)和沖激響應(yīng)h(t)。由由Fourier反變換，得系統(tǒng)的反變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)為為( )( )(

5、 )dy tRCy tx tdt由電路的基本原理有(j )11 /(j )=(j )（j ）+1j1 /YRCHXRCRC)(e1)()/1 (tuRCthtRC1/RC0j2/RC3/RC4/RC0 隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j )|不斷減小，說(shuō)明不斷減小，說(shuō)明信號(hào)的頻率越高，信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)的損耗也就越大。信號(hào)的頻率越高，信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把，所以把 c=1/RC稱為該系統(tǒng)的稱為該系統(tǒng)的3db截頻截頻。低通濾波器低通濾波器()(t)R(t)()R()()RRRRRRRV jviV jIjZRI

6、j建立基本元件的頻域模型，得到基本元件的廣義阻抗，建立基本元件的頻域模型，得到基本元件的廣義阻抗，利用電路基本原理求解頻域響應(yīng)。利用電路基本原理求解頻域響應(yīng)。(t)()(t)()()()LLLLLLLdiV jvLV jjLI jZjLdtI j(t)()1(t)()()()CCCCCCCdvV jiCIjj CV jZdtIjj C例3 圖示RC電路系統(tǒng)，激勵(lì)電壓源為x(t)，輸出電壓 y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)和沖激響應(yīng)h(t)。RC電路的頻域(相量)模型如圖，)j ()j ()j (XYHCRCj1j1RCRC/1j/1由Fourie

7、r反變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為)(e1)()/1 (tuRCthtRC由電路的基本原理有其對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)如下：其對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)如下：j( )e(j )ty tHjj（ - ）j-jj-( )e( )=e( ) de( ) ede(j)tttty ththhHj當(dāng)輸入信號(hào)為虛指數(shù)信號(hào) ( )e 時(shí)tf t0系統(tǒng)輸入信號(hào)為( )sin,LTIx ttt 由Euler公式可得)ee (j21)()( j)( j00tttx利用利用虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ej t響應(yīng)的特點(diǎn)及系統(tǒng)的響應(yīng)的特點(diǎn)及系統(tǒng)的線性特性線性特性，得，得000000(j)(j)00j () (j)-j ()(j)000001零狀態(tài)

8、響應(yīng) ( )(j) e( j) e2j1= (j) ee( j) ee2j(j) sin()tttty tHHHHHtj j j )(sin()j ()sin(0000tHtT同理可得同理可得)(cos()j ()cos(0000tHtT結(jié)論：結(jié)論：（1）正、余弦信號(hào)作用于）正、余弦信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)時(shí)，其輸出的零系統(tǒng)時(shí)，其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng)y(t)仍為同頻率的正、余弦信號(hào)。仍為同頻率的正、余弦信號(hào)。（2）輸出信號(hào)的幅度）輸出信號(hào)的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度響應(yīng)由系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j 0)|確定確定（3）輸出信號(hào)的相位相對(duì)于輸入信號(hào)偏移了）輸出信號(hào)的相位相對(duì)于輸入信號(hào)偏移了 ( 例例1

9、 1 已知一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖所示， 輸入信號(hào)時(shí)， 試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(t)。 系統(tǒng)頻率響應(yīng)是正的實(shí)函數(shù)，所以1033)j (H利用余弦信號(hào)作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)，即 )(cos()j ()cos(0000tHtT可以求出信號(hào)x(t)作用在系統(tǒng)上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 tHtHHtxT4cos)4 j (2cos)2 j (3)0 j (5)(t 2cos5 ttttx4cos2cos35)(t0()0j 01(j)-+13H)/2(e)(00j0TCtxtnnn利用利用虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ej t作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點(diǎn)及作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點(diǎn)及線性特性線性特性可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

10、可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為ntnnenHC0 j0)j (e)(0jtnnnTCty將周期為將周期為T(mén)0的周期信號(hào)的周期信號(hào) 用用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù)展開(kāi)為)(tx例例2 2 求圖示周期方波信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)H(j) = 1/(a+j) 的響應(yīng)y(t)。解：解： 對(duì)于周期方波信號(hào)，其Fourier系數(shù)為2Sa00nTACn可得系統(tǒng)響應(yīng)00jj-100-100ee( )Sa+Sa2j2jn tn tnnnnAAAytTTnTnaaa ntnnnHCty0 j0e )j ()( 求解方法：求解方法：1、由描述、由描述LTI系統(tǒng)的微分方程直接計(jì)算；系統(tǒng)的微分方程直接計(jì)算；2、由、由LTI系統(tǒng)的沖

11、激響應(yīng)的傅里葉變換計(jì)算；系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的傅里葉變換計(jì)算；3、對(duì)電路系統(tǒng)，可由電路的零狀態(tài)頻域等效電路模型計(jì)算。、對(duì)電路系統(tǒng)，可由電路的零狀態(tài)頻域等效電路模型計(jì)算。 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以直觀地體現(xiàn)信號(hào)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以直觀地體現(xiàn)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變，解釋激勵(lì)與響應(yīng)時(shí)域波形通過(guò)系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變，解釋激勵(lì)與響應(yīng)時(shí)域波形的差異，物理概念清楚。的差異，物理概念清楚。 不足：不足： （1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 仍需按時(shí)域方法求解。仍需按時(shí)域方法求解。 （2）若激勵(lì)信號(hào)不存在傅里葉變換，則無(wú)法利用頻域

12、）若激勵(lì)信號(hào)不存在傅里葉變換，則無(wú)法利用頻域 分析法。分析法。 （3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復(fù)雜。）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復(fù)雜。 解決方法：解決方法：采用采用拉普拉斯變換拉普拉斯變換 若輸入信號(hào)為若輸入信號(hào)為x(t)，則無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出，則無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號(hào)信號(hào)y(t)應(yīng)為應(yīng)為)()(dttxKtyK為為正常數(shù)正常數(shù)td是延遲時(shí)間是延遲時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：)()(dttKth系統(tǒng)的頻域響應(yīng)為：系統(tǒng)的頻域響應(yīng)為：dje)j (tKH幅度響應(yīng)| (j )|HKd相位響應(yīng) ( )tj 1、定義、定義dt)(|H(j)|應(yīng)滿足兩個(gè)條件：應(yīng)滿足兩個(gè)條件： 系

13、統(tǒng)的幅度響應(yīng)系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j )|在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)K，即系統(tǒng)的帶寬為無(wú)窮大；即系統(tǒng)的帶寬為無(wú)窮大； 系統(tǒng)的相位響應(yīng)系統(tǒng)的相位響應(yīng) ( )在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與 成成正比正比。KH | )j (|d )(t例例1 1 已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為j1j1)j (H(1) 求系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|和相位響應(yīng)()， 并判斷系統(tǒng)是否為無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。解：解：(1) 因?yàn)樗韵到y(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為)arctan(2)(1)j (H 系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|為常數(shù)，但相位響應(yīng)()不是的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。22221j（

14、1j ）1-2(j )=-1j（1j ）（1j ） 1+1+Hj系統(tǒng)的幅度響應(yīng)系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j )|不為常數(shù)，稱為幅度失真；不為常數(shù)，稱為幅度失真；系統(tǒng)的相位響應(yīng)系統(tǒng)的相位響應(yīng) ( )不是不是 的線性函數(shù)，稱為相位失真；的線性函數(shù)，稱為相位失真；|HLP(j)|cc|HHP(j)|cc|HBP(j)|1212|HBS(j)|1212 濾波器是指能使信號(hào)的一部分頻率通過(guò)，而使濾波器是指能使信號(hào)的一部分頻率通過(guò)，而使另一部分頻率通過(guò)很少的系統(tǒng)。另一部分頻率通過(guò)很少的系統(tǒng)。 理想低通 理想高通 理想帶通 理想帶阻ddttepHj2ccj)(|0|e)j (c|H(j)|1cc0截止角頻率 幅度

15、響應(yīng)幅度響應(yīng)|H(j )|在通帶內(nèi)恒為在通帶內(nèi)恒為1，在通帶之外為，在通帶之外為0。 相位響應(yīng)相位響應(yīng) ( )在通帶內(nèi)與在通帶內(nèi)與 成線性關(guān)系。成線性關(guān)系。tHthtde )j (21)(jtttddee21jjcc)(Sa)(ccdttth1) ) h(t)的波形是一個(gè)抽樣函數(shù)，不同于輸入信號(hào)的波形是一個(gè)抽樣函數(shù)，不同于輸入信號(hào) (t)的波形，有失真且主瓣寬度越大，失真越大。的波形，有失真且主瓣寬度越大，失真越大。 原因：原因：理想低通濾波器理想低通濾波器是一個(gè)帶限系統(tǒng)，而沖激信是一個(gè)帶限系統(tǒng)，而沖激信號(hào)號(hào) (t)的頻帶寬度為無(wú)窮大。的頻帶寬度為無(wú)窮大。 減小失真方法：減小失真方法：增大理想

16、低通截頻增大理想低通截頻 c，此時(shí)，主，此時(shí)，主瓣寬度（瓣寬度（2p p/ c）減小，失真減小。當(dāng)）減小，失真減小。當(dāng) c 時(shí)，理時(shí)，理想低通變?yōu)橄氲屯ㄗ優(yōu)闊o(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)， h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。也變?yōu)闆_激函數(shù)。2) ) h(t)主峰出現(xiàn)時(shí)刻主峰出現(xiàn)時(shí)刻 t = td 比輸入信號(hào)比輸入信號(hào) t 作用作用時(shí)刻時(shí)刻t = 0延遲了一段時(shí)間延遲了一段時(shí)間td 。td是理想低通是理想低通濾波器相位響應(yīng)的斜率。濾波器相位響應(yīng)的斜率。3) ) h(t)在在 t0 的區(qū)間也存在輸出，可見(jiàn)理想低的區(qū)間也存在輸出，可見(jiàn)理想低通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)，通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)，因而它是一個(gè)因而它是

17、一個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。g(t)ttdcdtcdt10.5ththtgd)()()() 1(d)(Sadccttxxtgtt)d(Sa121)()(0dc階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)g(t)比輸入階躍信號(hào)比輸入階躍信號(hào)u(t)延遲一段時(shí)間。延遲一段時(shí)間。 td=td 時(shí)時(shí)，g(t)=0.5, td是理想低通濾波器相位響應(yīng)的斜率是理想低通濾波器相位響應(yīng)的斜率。2) ) 階躍響應(yīng)的建立需要一段時(shí)間。從最小值上升階躍響應(yīng)的建立需要一段時(shí)間。從最小值上升到最大值的時(shí)間稱為階躍響應(yīng)的到最大值的時(shí)間稱為階躍響應(yīng)的上升時(shí)間上升時(shí)間tr =2p p/ c 。 c越大，上升時(shí)間就越短，當(dāng)越大，上升時(shí)間就

18、越短，當(dāng) c 時(shí)，時(shí)，tr 0。3) ) Gibbs現(xiàn)象在頻域也存在現(xiàn)象在頻域也存在即在間斷點(diǎn)的前后出現(xiàn)了振蕩，其振蕩的最大峰值即在間斷點(diǎn)的前后出現(xiàn)了振蕩，其振蕩的最大峰值約為階躍突變值的約為階躍突變值的9%左右，且不隨濾波器帶寬左右，且不隨濾波器帶寬的增加而減小。的增加而減小。g(t)ttdcdtcdt10.51. 輸出響應(yīng)的輸出響應(yīng)的延遲時(shí)間延遲時(shí)間取決于取決于理想低通濾波器理想低通濾波器的相位響應(yīng)的斜率。的相位響應(yīng)的斜率。3. 理想低通濾波器理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號(hào)的帶的通帶寬度與輸入信號(hào)的帶寬不相匹配時(shí)，輸出就會(huì)失真。系統(tǒng)的通帶寬度寬不相匹配時(shí)，輸出就會(huì)失真。系統(tǒng)的通帶寬度越

19、大于信號(hào)的帶寬，則失真越小，反之，則失真越大于信號(hào)的帶寬，則失真越小，反之，則失真越大。越大。2. 輸入信號(hào)在通過(guò)輸入信號(hào)在通過(guò)理想低通濾波器理想低通濾波器后，輸出響后，輸出響應(yīng)在輸入信號(hào)不連續(xù)點(diǎn)處產(chǎn)生逐漸上升或下降的應(yīng)在輸入信號(hào)不連續(xù)點(diǎn)處產(chǎn)生逐漸上升或下降的波形，上升或下降的時(shí)間與理想低通濾波器的通波形，上升或下降的時(shí)間與理想低通濾波器的通頻帶寬度成反比。頻帶寬度成反比。例例2 2 求帶通信號(hào)x(t)=Sa(t)cos2t， t ，通過(guò)線性相位理想低通濾波器 的響應(yīng)。dcj2)()j (tepH解：解： 因?yàn)?()(Sa2ptF利用Fourier變換的頻移特性，可得)2()2(2)j (22ppX|H(j)|cc)2()2(2e )()j ()j ()j (22j2dcpppXHYt)2()2(2)j (22jdppeYty(t)= x(t td) = Sa(t td)cos2( t td) ， t 當(dāng)當(dāng) c 1時(shí)時(shí)，輸入信號(hào)的所有頻率分量都不能通過(guò)輸入信號(hào)的所有頻率分量都不能通過(guò)系統(tǒng)，即系統(tǒng)，即0)j (Yy(t)=0， t m各處為零；各處為零；( (2) ) 抽樣間隔抽樣間隔T需滿足需滿足 ，)2/(1/mmf