數(shù)三線性代數(shù)必考知識點

1、線性代數(shù)必考知識點1、行列式1.行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和 的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：4.設(shè)行列式：將 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則 ；將 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則 ；將 主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置） ，所得行列式為，則 ；將 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則 ；5.行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；、副對角行列式：副對角元素的乘積；、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；、 和 ：副對角元

2、素的乘積；、拉普拉斯展開式：、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；6.對于階行列式，恒有：，其中為 階主子式；7.證明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0 是其特征值；2、矩陣1.是 階可逆矩陣：（是非奇異矩陣） ；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組有非零解；， 總有唯一解；與 等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是 中某兩組基的過渡矩陣；2.對于階矩陣：無條件恒成立；3.4.矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，

3、其中均、 可逆：若 ，則：、；、；、；（主對角分塊）、；（副對角分塊）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：；等價類：所有與 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；2.行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0 元素必須為1；、每行首個非0 元素所在列的其他元素必須為0；3.初等行變換的應用： （初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）、若 ，則 可逆，且 ；、對矩陣做初等行變化，當變?yōu)?時， 就變成 ，即： ；、求解線形方程組：對于個未知數(shù)

4、個方程 ，如果 ，則 可逆，且；4.初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定： 左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣， 乘 的各行元素；右乘，乘 的各列元素；、對調(diào)兩行或兩列，符號，且，例如：；、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；、倍加某行或某列，符號,且 ，如：；5.矩陣秩的基本性質(zhì)：、；、；、若，則；、若、 可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、；（）、；（）、；（）、如果是 矩陣，是 矩陣，且，則：（）、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；、若、 均為階方陣，則；6.三種特殊矩陣的方冪：、秩為1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩

5、陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；、型如的矩陣：利用二項展開式；二項展開式：；注：、展開后有項；、組合的性質(zhì)：；、利用特征值和相似對角化：7.伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、8.關(guān)于矩陣秩的描述：、， 中有階子式不為0， 階子式全部為0；（兩句話）、， 中有階子式全部為0；、， 中有階子式不為0；線性方程組：，其中為 矩陣，則：、與方程的個數(shù)相同，即方程組有 個方程；、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為 元方程；10. 線性方程組 的求解：、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由 個未知數(shù) 個方程

6、的方程組構(gòu)成 元線性方程：、 ；、（向量方程，為 矩陣，個方程，個未知數(shù)）、（全部按列分塊，其中）；、（線性表出）、有解的充要條件：（ 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.個 維列向量所組成的向量組： 構(gòu)成矩陣；個 維行向量所組成的向量組： 構(gòu)成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)有、無非零解； （齊次線性方程組）、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）3.矩陣與 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；( 例14)4.； (例 15)5.維向量線性相關(guān)的幾何意義：、 線性相關(guān)；、 線性相關(guān)

7、坐標成比例或共線（平行） ；、 線性相關(guān)共面；6.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若 線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若 線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若 維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成 維向量組 ：若 線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7.向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則；向量組能由向量組線性表示，則；向量組能由向量組線性表示有解；向量組能由向量組等價8.方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；、矩陣行等價：（左乘，可逆）與 同解、矩陣列等價：（右乘，可逆）；、矩陣等

8、價：（ 、 可逆）；9.對于矩陣與 ：、若與 行等價，則與 的行秩相等；、若與 行等價，則與 同解，且與 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩；10. 若 ，則：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組 的解一定是 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 設(shè)向量組 可由向量組 線性表示為：（ ）其中為 ，且 線性無關(guān)， 則 組線性無關(guān)；（ 與 的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證

9、法）注：當時，為方陣，可當作定理使用；13.、對矩陣，存在，、 的列向量線性無關(guān)；、對矩陣，存在，、 的行向量線性無關(guān)；線性相關(guān)存在一組不全為0 的數(shù) ，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15.設(shè) 的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；16. 若 為 的一個解， 為 的一個基礎(chǔ)解系，則 線性無關(guān)；5、相似矩陣和二次型1.正交矩陣或 （定義），性質(zhì)：、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；、若、 正交陣，則也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2.施密特正交化：；;3.對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交；4.、與 等價經(jīng)過初等變換得到；，、可逆；，、同型；、與 合同，其中可逆；與