軸向拉伸與壓縮(3)

1、 安全功能是否完全保證？安全功能是否完全保證？ 有時(shí)候雖然沒(méi)有破壞，可是有時(shí)候雖然沒(méi)有破壞，可是變形變形大，也不行大，也不行 還要保證不過(guò)度變形還要保證不過(guò)度變形, ,即解決即解決剛度問(wèn)題剛度問(wèn)題 于是提出于是提出變形計(jì)算變形計(jì)算問(wèn)題問(wèn)題5.3 5.3 拉壓桿變形拉壓桿變形 （Tensile or Compressive DeformationTensile or Compressive Deformation） 前面從前面從應(yīng)力應(yīng)力方面實(shí)現(xiàn)了方面實(shí)現(xiàn)了安全功能安全功能 如何計(jì)算？因線應(yīng)變是單位長(zhǎng)度的線變形如何計(jì)算？因線應(yīng)變是單位長(zhǎng)度的線變形思路：思路：線應(yīng)變線應(yīng)變 線變形線變形 變形變形不超

2、過(guò)限度不超過(guò)限度 安全功能安全功能的第二個(gè)保證的第二個(gè)保證即解決了即解決了強(qiáng)度問(wèn)題強(qiáng)度問(wèn)題（不破壞）（不破壞） 待求待求 桿的軸向總變形桿的軸向總變形 伸長(zhǎng)（伸長(zhǎng)（ElongationElongation） 拉應(yīng)力為主導(dǎo)拉應(yīng)力為主導(dǎo) 縮短（縮短（CompressionCompression） 壓應(yīng)力為主導(dǎo)壓應(yīng)力為主導(dǎo)1 1、縱向、縱向( (軸向軸向) )變形和虎克定律變形和虎克定律LLL1LLLL1ANLL EAPLL 試驗(yàn)觀察：試驗(yàn)觀察： 虎克定律虎克定律抗拉壓剛度抗拉壓剛度任意任意 x 點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變dxdx )(EAxNE )(另一方面，由本構(gòu)關(guān)系另一方面，由本構(gòu)關(guān)系

3、于是于是 x 點(diǎn)處的微小變形為點(diǎn)處的微小變形為EAdxxNdx)()()(dxxdLLL1求解出發(fā)點(diǎn)求解出發(fā)點(diǎn) 線應(yīng)變線應(yīng)變得到得到整個(gè)桿的縱向線變形整個(gè)桿的縱向線變形 把所有點(diǎn)處的變形加起來(lái)（積分）把所有點(diǎn)處的變形加起來(lái)（積分）EAdxxNdx)()(LLEAdxxNdx00)()(LEAdxxNL0)(（EA 桿的抗拉壓剛度）桿的抗拉壓剛度）LxEAxdxNL0)()(niiiiiAELNL1（3 3）階段等內(nèi)力）階段等內(nèi)力（n段中分別為常量）段中分別為常量）N(x)xdx（2 2）變內(nèi)力變截面）變內(nèi)力變截面)( xAA PPEAPLL 拉壓桿的縱向線變形拉壓桿的縱向線變形LEAdxxNL

4、0)(拉壓桿的剛度條件拉壓桿的剛度條件L（1 1）等內(nèi)力等截面）等內(nèi)力等截面PxN)(Esss0lim2 2、 正應(yīng)變、應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系正應(yīng)變、應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系整體變形（宏觀量）整體變形（宏觀量）一點(diǎn)應(yīng)變（微觀量）一點(diǎn)應(yīng)變（微觀量）正應(yīng)變（線應(yīng)變）：無(wú)量綱；拉為正，壓為負(fù)正應(yīng)變（線應(yīng)變）：無(wú)量綱；拉為正，壓為負(fù)ll 虎克定律（微觀概念）虎克定律（微觀概念）表示在表示在彈性范圍彈性范圍內(nèi)，內(nèi)，任一點(diǎn)任一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變橫向變形橫向變形accaacacacPPacca3 3、 橫向變形橫向變形（ Lateral DeformationLateral Def

5、ormation） 泊松比泊松比（ Poissons RatioPoissons Ratio） 你觀察到了嗎？你觀察到了嗎？ 伴隨桿的縱向伸長(zhǎng)伴隨桿的縱向伸長(zhǎng)橫向收縮橫向收縮 你思考了嗎？你思考了嗎？ 縱向伸長(zhǎng)縱向伸長(zhǎng)橫向收縮，有什么規(guī)律性？橫向收縮，有什么規(guī)律性？實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于某種材料，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于某種材料，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí) 泊松比是個(gè)小于泊松比是個(gè)小于1 1的常數(shù)的常數(shù)橫向變形系數(shù)（或泊松比）橫向變形系數(shù)（或泊松比） 橫向應(yīng)變（橫向應(yīng)變（Lateral strainLateral strain）與）與 縱向應(yīng)變（縱向應(yīng)變（Axial strainAxial s

6、train）之比）之比 或 如果你是如果你是1919世紀(jì)初的善于思考者，該系數(shù)會(huì)以你的世紀(jì)初的善于思考者，該系數(shù)會(huì)以你的名字命名，而不是法國(guó)的泊松（名字命名，而不是法國(guó)的泊松（Simon Denis PoissonSimon Denis Poisson，1781-18401781-1840）現(xiàn)在能想到現(xiàn)在能想到主觀創(chuàng)造主觀創(chuàng)造，意義也很大意義也很大實(shí)驗(yàn)結(jié)論，材料的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，材料的彈性常數(shù)彈性常數(shù)（1）怎樣畫(huà)小變形節(jié)點(diǎn)位移圖？怎樣畫(huà)小變形節(jié)點(diǎn)位移圖？（2 2）嚴(yán)格畫(huà)法）嚴(yán)格畫(huà)法 弧線弧線目的目的 求靜定桁架節(jié)點(diǎn)位移求靜定桁架節(jié)點(diǎn)位移 （3 3）小變形畫(huà)法）小變形畫(huà)法 切線切線4 4、 小變形的節(jié)

7、點(diǎn)位移小變形的節(jié)點(diǎn)位移( (補(bǔ)充補(bǔ)充) ) 畫(huà)法與解法畫(huà)法與解法ABCL1L2P1L2LCC（1 1）求各桿的變形量）求各桿的變形量Li 1LuB解：變形圖如圖，解：變形圖如圖， B點(diǎn)位移至點(diǎn)位移至B點(diǎn)，由圖點(diǎn)，由圖sinctg21LLvB1L2LBuBvB（2）怎樣計(jì)算小變形節(jié)點(diǎn)位移？怎樣計(jì)算小變形節(jié)點(diǎn)位移？ CABL1L2P 目前目前幾何學(xué)幾何學(xué) 以后以后計(jì)算機(jī)程序計(jì)算機(jī)程序 例例 寫(xiě)出圖中寫(xiě)出圖中B點(diǎn)點(diǎn) 位移與兩桿變位移與兩桿變 形間的關(guān)系形間的關(guān)系060sin6 . 12 . 18 . 060sin0ooATPTm kN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例

8、截面積為截面積為 76. .36mm 的鋼索繞過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪的鋼索繞過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪 P=20=20kN，求剛索的應(yīng)力和，求剛索的應(yīng)力和C點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移。 （剛索的（剛索的 E =177=177GPa，設(shè)橫梁，設(shè)橫梁ABCD為剛梁）為剛梁）解解 1 1）求鋼索內(nèi)力）求鋼索內(nèi)力（ABCD為對(duì)象）為對(duì)象）2) 2) 鋼索的應(yīng)力和伸長(zhǎng)分別為鋼索的應(yīng)力和伸長(zhǎng)分別為800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400D3 3）變形圖如左）變形圖如左 C點(diǎn)的垂直位移為：點(diǎn)的垂直位移為：2

9、60sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oLAB60 60DBD12CC1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出 兩桿桁架變成兩桿桁架變成三桿桁架，缺一個(gè)三桿桁架，缺一個(gè)方程，無(wú)法求解方程，無(wú)法求解一、超靜定問(wèn)題及其處理方法一、超靜定問(wèn)題及其處理方法CPABD123CPAB120sinsin:021NNX0coscos:0321PNNNY 三桿桁架是單靠靜力方程求解不了的，稱為三桿桁架是單靠靜力方程求解不了的，稱為 拉壓桿截面上有無(wú)窮個(gè)應(yīng)力，單憑拉壓桿截面上有無(wú)窮個(gè)應(yīng)力，單憑 靜力平衡方程靜力平衡方程靜不定問(wèn)題靜不定問(wèn)題(Static indeterminat

10、e)(Static indeterminate)靜力不能確靜力不能確定定超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題(Hyperstatic)(Hyperstatic)超出了靜力范圍超出了靜力范圍其實(shí)我們?cè)诶瓑簵U應(yīng)力遇到過(guò)這類問(wèn)題其實(shí)我們?cè)诶瓑簵U應(yīng)力遇到過(guò)這類問(wèn)題補(bǔ)充補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程不能求解不能求解 超靜定問(wèn)題：超靜定問(wèn)題：建立建立本構(gòu)（或物理）方程本構(gòu)（或物理）方程予以溝通予以溝通結(jié)合結(jié)合平衡方程平衡方程聯(lián)立求解聯(lián)立求解個(gè)性：桿件，桁架（桿件組合）個(gè)性：桿件，桁架（桿件組合）2、超靜定的處理方法、超靜定的處理方法 平衡方程平衡方程 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 本構(gòu)方程本構(gòu)方程共性：共性：超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)

11、題單憑靜平衡方程不能確定出單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力（全部未知力（外力、內(nèi)力、應(yīng)力外力、內(nèi)力、應(yīng)力）例例：求三桿桁架內(nèi)力求三桿桁架內(nèi)力 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng) L1 1= =L2 2， L3 3 = =L 面積面積 A1=A2=A，A3 3 彈性模量彈性模量 E1 1= =E2 2= =E，E3 3CPABD123解解 (1)(1)靜力靜力平衡方程平衡方程力學(xué)力學(xué)0sinsin:021NNX0coscos:0321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL (3) (3) 本構(gòu)方程本構(gòu)方程物理物理（4 4）聯(lián)立求解）聯(lián)立求解代數(shù)代數(shù)cos31LL33311333333112

12、1121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L(2)(2)變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程幾何幾何（1 1）靜力平衡方程）靜力平衡方程力學(xué)力學(xué)原有基地原有基地3、超靜定問(wèn)題的解法、超靜定問(wèn)題的解法（2 2）變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程幾何幾何新開(kāi)方向新開(kāi)方向（3 3）材料本構(gòu)方程）材料本構(gòu)方程物理物理構(gòu)筑橋梁構(gòu)筑橋梁（4 4）方程聯(lián)立求）方程聯(lián)立求解解代數(shù)代數(shù)綜合把握綜合把握例例 木制短柱的四角用四個(gè)木制短柱的四角用四個(gè)4040 4040 4 4的等邊角鋼加固，角的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為鋼和木材的許用應(yīng)力分別為 1 1=160=160

13、M Pa和和 2 2=12=12MPa，彈性模量分別為彈性模量分別為E1 1=200=200GPa 和和 E2 2 =10 =10GPa；求許可載荷求許可載荷P04:021PNNY21LL2222211111LAELNAELNL(2)(2)變形方程變形方程(3)(3)本構(gòu)方程本構(gòu)方程解：解：(1)(1)平衡方程平衡方程250250P1mPPy4N1N2（4 4） 聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得PNPN72. 0 ; 07. 021)21,iANiii ( （5 5）求結(jié)構(gòu)的許可載荷求結(jié)構(gòu)的許可載荷方法方法1 1角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得 A A1 1=3.086cm=3.086cm2 2

14、kN ANP104272. 0/1225072. 0/72. 0/22222 kN ANP4 .70507. 0/1606 .30807. 0/07. 0/1111250250P1mPPy4N1N2 mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在 1 1= =2 2 的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)，的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)， 即角鋼決定最大載荷即角鋼決定最大載荷 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若將鋼的面積增大另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？倍，怎樣？ 若將木的面積縮小若將木的面積縮小10倍倍，又，又怎樣？怎樣？結(jié)構(gòu)

15、的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著方法方法2 2解：解：（1 1）平衡方程平衡方程2、靜不定問(wèn)題存在裝配應(yīng)力靜不定問(wèn)題存在裝配應(yīng)力0sinsin21NNX0coscos321NNNY二、裝配應(yīng)力二、裝配應(yīng)力1、靜定問(wèn)題無(wú)裝配應(yīng)力、靜定問(wèn)題無(wú)裝配應(yīng)力 下圖，下圖，3 3號(hào)桿的尺寸誤差為號(hào)桿的尺寸誤差為 ，求各桿的裝配內(nèi)力求各桿的裝配內(nèi)力ABC12ABC12DA13A1N1N2N3AA13L2L1L11113333cos)(AELNAELN（3 3） 本構(gòu)方程本構(gòu)方程（4 4）聯(lián)立求解）聯(lián)立求解 / cos21cos33113211321AEAEAELNN / cos21cos2

16、3311331133AEAEAELN13cos)(LL（2 2）變形方程）變形方程1 1、靜定問(wèn)題無(wú)溫度應(yīng)力、靜定問(wèn)題無(wú)溫度應(yīng)力。三三 、溫度應(yīng)力、溫度應(yīng)力 1 1、2 2號(hào)桿的尺寸及材號(hào)桿的尺寸及材ABC12BCAD123A11L2L3L2 2、靜不定問(wèn)題存在溫度應(yīng)力。、靜不定問(wèn)題存在溫度應(yīng)力。料都相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由料都相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由T1 1變到變到T2 2時(shí)時(shí), ,求各桿的溫度內(nèi)力（各桿線求各桿的溫度內(nèi)力（各桿線膨脹系數(shù)分別為膨脹系數(shù)分別為 i ; ; T=(=(T2 2- -T1 1) )（2 2）變形方程）變形方程解：解： （1 1）平衡方程平衡方程0sinsin:021NNX0c

17、oscos:0321NNNYcos31LL) 3, 2, 1 ( iLTAELNLiiiiiii（3 3）本構(gòu)方程）本構(gòu)方程AN1N3N2BCD123AA11L2L3LBCD123AA11L2L3L由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量cos)(333333111111LTAELNLTAELN聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得 / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAENaa aaN1N2例例 階梯鋼桿的上下兩端在階梯鋼桿的上下兩端在T T1 1=5=5時(shí)被固定時(shí)被固定, ,上下兩段的面積為上

18、下兩段的面積為 = = cmcm2 2, , = =cmcm2 2, ,當(dāng)溫當(dāng)溫度升至度升至T T2 2=25=25時(shí)時(shí), ,求各桿的溫度應(yīng)力彈性模求各桿的溫度應(yīng)力彈性模量量E E=200GPa,=200GPa,線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù) =12.5=12.5 C610（2 2）變形方程）變形方程解：（解：（1 1）平衡方程平衡方程0:021NNY0NTLLL（3 3）本構(gòu)方程）本構(gòu)方程（4 4）聯(lián)立求解得）聯(lián)立求解得kN 3 .3321 NN由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量2211 ; 2EAaNEAaNLTaLNT22112EANEANT（5 5）溫度應(yīng)力）溫度應(yīng)力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN 本章小結(jié)本章小結(jié)1軸向拉伸和壓縮時(shí)的重要概念：內(nèi)力、應(yīng)力、軸向拉伸和壓縮時(shí)的重要概念：內(nèi)力、應(yīng)力、 變形和應(yīng)變等相應(yīng)的計(jì)算和公式：變形和應(yīng)變等相應(yīng)的計(jì)算和公式： 截面法、內(nèi)力、內(nèi)力圖截面法、內(nèi)力、內(nèi)力圖 正應(yīng)力公式正應(yīng)力公式 應(yīng)力應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系（桿變形公式可以推出）應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系（桿變形公式可以推出） 圣維南原理圣維南原理 應(yīng)力集中應(yīng)力集中 斜截面應(yīng)力公式斜截面應(yīng)力公式2材料力學(xué)性能最主