2021年2-4一元線性回歸分析的應用：預測問題

1、2.4 一元線性回歸分析的應用：預一元線性回歸分析的應用：預測問題測問題 一、一、0 0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)或個值或個值Y0的的一個無偏估計一個無偏估計二、總體條件均值與個值預測值的置信區(qū)二、總體條件均值與個值預測值的置信區(qū)間間 對于一元線性回歸模型 給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預測值0 0 ，可以此作為其條件均條件均值值E(Y|X=X0)或個別值個別值Y0的一個近似估計。 注意：注意： 嚴格地說，這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。 原因:（1）參數(shù)估計量不確定； （2）隨機項的影響 一、一、0 0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0

2、)或個值或個值Y0的一個無偏估計的一個無偏估計對總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0時 E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見，可見，0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計。的無偏估計。對總體回歸模型總體回歸模型Y=0+1X+，當X=X0時0100XY于是0100100100)()()(XEXXEYE 二、總體條件均值與個值預測值的置信二、總體條件均值與個值預測值的置信區(qū)間區(qū)間 1、總體均值預測值的置信區(qū)間、總體均值預測值的置信區(qū)間 由于 0100XY),(2211ixN),(22200iixnXN于是0101000)()()(XEXEYE)(),(2)(

3、)(12010000VarXCovXVarYVar可以證明 2210/),(ixXCov因此 222022022202)(iiiixXxXXxnXYVar200222222XXXXnXnXxii)(20222XXnxxii)(1(2202ixXXn故 )(1(,(22020100ixXXnXNY)2()(00100ntSXYtY)(1(22020iYxXXnS其中于是，在1-的置信度下，總體均值總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 0202000)|(YYStYXYEStY2、總體個值預測值的預測區(qū)間、總體個值預測值的預測區(qū)間 由 Y0=0+1X0+ 知: ),(20100XNY于是

4、 )(11 (, 0(220200ixXXnNYY)2(0000ntSYYtYY式中 :)(11 (220200iYYxXXnS從而在1-的置信度下， Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間為 002020000YYYYStYYStY在上述收入收入-消費支出消費支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為 iiXY777. 0172.103 則在 X0=1000處， 0 = 103.172+0.7771000=673.84 29.37277425000)21501000(10113402)(20YVar而05.61)(0YS 因此，總體均值總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為： 673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 同樣地，對于Y在X=1000的個體值個體值，其95%的置信區(qū)間為： 673.84 - 2.30661.05Yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65) 總體回歸函數(shù)的置信帶（域）置信帶（域）（confidence band） 個體的置信帶（域）置信帶（域） 對于Y的總體均值E(Y|X)與個體值的預測區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預測精度越高