2021年2-4一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問(wèn)題

1、2.4 一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問(wèn)題測(cè)問(wèn)題 一、一、0 0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)值或個(gè)值Y0的的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)一個(gè)無(wú)偏估計(jì)二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間間 對(duì)于一元線性回歸模型 給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值0 0 ，可以此作為其條件均條件均值值E(Y|X=X0)或個(gè)別值個(gè)別值Y0的一個(gè)近似估計(jì)。 注意：注意： 嚴(yán)格地說(shuō)，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。 原因:（1）參數(shù)估計(jì)量不確定； （2）隨機(jī)項(xiàng)的影響 一、一、0 0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0

2、)或個(gè)值或個(gè)值Y0的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)對(duì)總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0時(shí) E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見，可見，0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。對(duì)總體回歸模型總體回歸模型Y=0+1X+，當(dāng)X=X0時(shí)0100XY于是0100100100)()()(XEXXEYE 二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間區(qū)間 1、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 由于 0100XY),(2211ixN),(22200iixnXN于是0101000)()()(XEXEYE)(),(2)(

3、)(12010000VarXCovXVarYVar可以證明 2210/),(ixXCov因此 222022022202)(iiiixXxXXxnXYVar200222222XXXXnXnXxii)(20222XXnxxii)(1(2202ixXXn故 )(1(,(22020100ixXXnXNY)2()(00100ntSXYtY)(1(22020iYxXXnS其中于是，在1-的置信度下，總體均值總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 0202000)|(YYStYXYEStY2、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間 由 Y0=0+1X0+ 知: ),(20100XNY于是

4、 )(11 (, 0(220200ixXXnNYY)2(0000ntSYYtYY式中 :)(11 (220200iYYxXXnS從而在1-的置信度下， Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間為 002020000YYYYStYYStY在上述收入收入-消費(fèi)支出消費(fèi)支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為 iiXY777. 0172.103 則在 X0=1000處， 0 = 103.172+0.7771000=673.84 29.37277425000)21501000(10113402)(20YVar而05.61)(0YS 因此，總體均值總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為： 673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 同樣地，對(duì)于Y在X=1000的個(gè)體值個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為： 673.84 - 2.30661.05Yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65) 總體回歸函數(shù)的置信帶（域）置信帶（域）（confidence band） 個(gè)體的置信帶（域）置信帶（域） 對(duì)于Y的總體均值E(Y|X)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高