求函數(shù)值域的幾種常見方法5頁

1、求函數(shù)值域的幾種常見方法河北涿州中學(xué)高二數(shù)學(xué)組-李瑞英 初等函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則兩個(gè)因素確定的，常常一個(gè)問題要覆蓋多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，涉及多種數(shù)學(xué)方法，滲透多種數(shù)學(xué)思想，因此它是高中階段的一個(gè)難點(diǎn)?，F(xiàn)對(duì)高中階段常用的方法總結(jié)如下：方法一：配方法 一般適用于二次函數(shù)類型的函數(shù)例1.求函數(shù) 的值域解析：方法二：換元法：適用于含根式、分式、三角函數(shù)類型的函數(shù)，且在還原過程中需注意還原后t的取值范圍例2求函數(shù)的值域解析：令則 即 方法三：分離常數(shù)法：適用于分式類型的函數(shù)，且在解題過程中注意變量的范圍例3求函數(shù)的值域解析：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)榉椒ㄋ模簡握{(diào)性法：主要適用于能夠判斷單調(diào)性的復(fù)合函

2、數(shù)、和函數(shù)。例4（1）求函數(shù)的值域 （2）求函數(shù)的值域解析：（1）令則 而是減函數(shù) （2）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)樵诙x域內(nèi)都是單調(diào)增函數(shù)在定義域內(nèi)也是單調(diào)增函數(shù)方法五;反解法（利用反函數(shù)的原理）例5求函數(shù)的值域解析：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)镽 而函數(shù)可化為 即 方法六：不等式法：柯西不等式、基本不等式、絕對(duì)值不等式，在適用中注意適用范圍例6.(1) 求函數(shù)（x>1）的值域(2) 求函數(shù)的值域（3）求函數(shù)的值域解析：（1） 令則 t>0 當(dāng)且僅當(dāng)即t=1時(shí)等號(hào)成立 (2) 由函數(shù)知其定義域?yàn)?，5，且y>0（3）方法七：判別式法：一般轉(zhuǎn)化為含參數(shù)y的一元二次函數(shù)，注意二次項(xiàng)的

3、系數(shù)例七求函數(shù)的值域解析：由函數(shù)可知定義域?yàn)镽 函數(shù)可化為（*）有解 當(dāng)y-1=0即y=1時(shí)，（*）式可化為-x=0即x=0,滿足題意 當(dāng)時(shí) 解得 綜上：函數(shù)的值域?yàn)榉椒ò耍浩椒椒ǎ鹤⒁舛x域例8求函數(shù)的值域解析：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?1，2 函數(shù)可化為方法九：導(dǎo)數(shù)法：適用于次數(shù)比較高的整式函數(shù)例9求函數(shù)的值域解析：令=0得 列表1(1,2)2（2，4）4（4,5)5+00+18極大22極小值1822由表可知函數(shù)的值域?yàn)?8,22方法十：構(gòu)造法：構(gòu)造距離、構(gòu)造斜率，需數(shù)形結(jié)合求得例10求函數(shù)的值域解析： 作B(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D(0,-2)則線段CD的長度就是y的最小值且 所以函數(shù)的值域?yàn)?練習(xí)：1、求函數(shù) 的值域 2、求函數(shù)的值域 3、求函數(shù)的值域 4、求函數(shù)的值域 5、求函數(shù)的值域 6、求函數(shù)的值域 7、求函數(shù)的值域 8、求函數(shù)的值域9、求函數(shù)的值域 10求函數(shù)的值域 11求函數(shù)的值域總結(jié)：求初等函數(shù)的值域問題是一個(gè)綜合性的問題，要想用單一的方法求函數(shù)的值域是不可能，但也不是雜亂無章的，只要我們靈活的掌握數(shù)