二重積分復(fù)習(xí)題

1、第九章第九章 二重積分二重積分 第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂. .柱體體積柱體體積= =？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂. .),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積曲頂柱體曲頂柱體高高底面積底面積柱體的體積柱體的體積 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出用若干個(gè)小平用若干個(gè)小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii 先分割曲頂柱先分割曲頂柱體的底，并取典型體的底，并取典型小區(qū)域，小區(qū)域

2、，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “ “分割、求和、取極限分割、求和、取極限”的方法步驟如下：的方法步驟如下：求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xyo ),( ),( ),( , 質(zhì)量為多少？質(zhì)量為多少？上連續(xù)，平面薄片的上連續(xù)，平面薄片的在在，假定，假定處的面密度為處的面密度為在點(diǎn)在點(diǎn)域域面上的閉區(qū)

3、面上的閉區(qū)設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有DyxyxyxDxoy ,),( ), 2 , 1( , ),( ),( , , ),( 1 21iniiiiiiiiiinfnifinDDyxf 并作和并作和作乘積作乘積，點(diǎn)點(diǎn)上任取一上任取一在每個(gè)在每個(gè)域，也表示它的面積，域，也表示它的面積，個(gè)小區(qū)個(gè)小區(qū)表示第表示第其中其中個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域任意分成任意分成界函數(shù)，將閉區(qū)域界函數(shù)，將閉區(qū)域上的有上的有是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域設(shè)設(shè)定義定義二、二重積分的概念二、二重積分的概念. ),(lim),( ),( ),( 10iniiiDDfdyxfdyxfDyxf 即即上的二重積分，記為上的二重積分，記

4、為在閉區(qū)域在閉區(qū)域，則稱此極限為函數(shù)，則稱此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在時(shí)，這和式的極限存在趨近于零趨近于零徑的最大值徑的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直. ),( ),( ),( 1叫做積分和叫做積分和叫做積分區(qū)域，叫做積分區(qū)域，叫做積分變量叫做積分變量與與叫做面積元素，叫做面積元素，表達(dá)式，表達(dá)式，叫做被積叫做被積叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，其中其中iniiifDyxddyxfyxf 對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義：二重積分的幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分

5、是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值負(fù)值 . )1( 任意的任意的對(duì)閉區(qū)域的劃分是對(duì)閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，在二重積分的定義中，. ),( )2( 積分必存在積分必存在的極限必存在，即二重的極限必存在，即二重義中和式義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定當(dāng)當(dāng)yxf 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域分區(qū)域D D，.),(),( DDdxdyyxfdyxf dxdyd 故二重積分可寫(xiě)為故二重積分可寫(xiě)為xyo則面積元素為則面積元素為.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì)2 2 Ddyxgyx

6、f ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) k性質(zhì)性質(zhì)1 1三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)3 3對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì)4 4.1 DDddD 的面積，的面積，為為若若性質(zhì)性質(zhì)5 5若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm ),( ),(),(

7、fdyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）的面積，則的面積，則為為的最大值和最小值，的最大值和最小值，上上在閉區(qū)域在閉區(qū)域分別是分別是、設(shè)設(shè)DDyxfmM ),( 性質(zhì)性質(zhì) 6 6使得使得上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)的面積，則在的面積，則在為為上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)域在閉區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),( ),( DDDyxf性質(zhì)性質(zhì) 7 7微商貨源 崏冚莒,16)(1),(2 yxyxf)0(41 yxM5143122 m)2, 1( yx. 5 . 04 . 0 I解解. 20 , 10: 162 22 yxDxyyxdID的值，其中的值，其中估計(jì)估計(jì) ，區(qū)域面積區(qū)域面積2 的最大值為的最大值為上上在在 ),( yxfD ),( 的最小值為的最小值為yxf 4252 I故故例例1 1解解2 yxoxy121D ).0 , 2(),1 , 1(),0 , 1( )ln( )ln( 2頂點(diǎn)分別為頂點(diǎn)分別為是三角形閉區(qū)域，三個(gè)是三角形閉區(qū)域，三個(gè)的大小，其中的大