高等數(shù)學(xué)課件：4-4有理函數(shù)的積分

1、2021-12-151一一 問題的提出問題的提出二二 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分三三 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分四四 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分五五 小結(jié)小結(jié)六六 思考與判斷題思考與判斷題第四節(jié) 有理函數(shù)的積分(Integration of several kinds of Functions)2021-12-152一一 問題的提出問題的提出(Introduction).11)1(112 xxx2)1(1 xx即即dxxx 2111)()(怎么計(jì)算？怎么計(jì)算？關(guān)鍵是被積函數(shù)的裂項(xiàng)關(guān)鍵是被積函數(shù)的裂項(xiàng)？（2 2）.cossin1sin dxxxx很顯然不能用很顯然不能用

2、湊微分和分部積分湊微分和分部積分怎么辦？怎么辦？（3 3） dxxxx11去掉根號(hào)才能計(jì)算，怎樣去掉去掉根號(hào)才能計(jì)算，怎樣去掉根號(hào)根號(hào)？2021-12-153兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù). .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.二二 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分(Integration of Rational Function)有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：2021-12-154假定分子與分母之間沒有公因式假定分子

3、與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是假分式；這有理函數(shù)是假分式； 有理函數(shù)有以下性質(zhì)：有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1 1）利用多項(xiàng)式除法）利用多項(xiàng)式除法, , 假分式可以化成一個(gè)假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和. .例如，我們可將例如，我們可將1123 xxx.112 xx化為多項(xiàng)式與真分式之和化為多項(xiàng)式與真分式之和2021-12-155kaxA)( 2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和其其中中qpaBA,都都是是待待定定的的常常數(shù)數(shù). 最簡(jiǎn)分式是下面

4、兩種形式的分式最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式;)(kqpxxBAx 2042 qpk為正整數(shù)，2021-12-156（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其中其中kAAA,21都是待定的常數(shù)都是待定的常數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA 2021-12-157（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 212222

5、11)()(其其中中iiNM ,都都是是待待定定的的常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 2021-12-158便于求積分必須把真分式化為部分分式之和，同便于求積分必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1)3)(2()2()3( xxxBxA)3)(2()23()( xxBAxBA2021-12-1592)1(1 x

6、x,1)1(2 xCxBxA)1()2()(12AxCABxCA .11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2通分以后比較分子得：通分以后比較分子得： 1020ACABCA1, 1, 1 CBA2021-12-1510)()(1112 xCxBxxA.11)1(112 xxx2)1(1 xx我們也可以用代值確定法來得到最簡(jiǎn)分式，我們也可以用代值確定法來得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例比如前面的例2 2，兩端去分母后得到，兩端去分母后得到;1,1 Bxx值值，令令代代入入特特殊殊的的;1,0 Ax令令;1,2 Cx令令2021-12-1511例例3 3.1515221542xxx )1)(21

7、(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得2021-12-1512例例4 4 求積分求積分 .2123dxxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解 dxxxx2321由前面的裂項(xiàng)由前面的裂項(xiàng)2021-12-1513例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxx

8、x 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 由前面的裂項(xiàng)得由前面的裂項(xiàng)得.1515221542 dxxxx2021-12-1514注意：注意：有理函數(shù)的積分就是對(duì)下列三類函數(shù)的有理函數(shù)的積分就是對(duì)下列三類函數(shù)的積分：積分：)1(多項(xiàng)式多項(xiàng)式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 主要討論（主要討論（3 3）積分）積分, 1)1 n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 2021-12-1515,422pqa ,2MpNb 其中其中,222atqpxx , bMtNMx 并記并記令令tpx

9、 2,42222pqpxqpxx , 1)2( n dxqpxxNMxn)(22021-12-1516122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn結(jié)論結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). . dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(222021-12-1517三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)一般記為構(gòu)成的函數(shù)一般記為)cos,(sinxxR1 1 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分 dxxxR)cos,(sin稱為三角函數(shù)有理式的積分，稱為三

10、角函數(shù)有理式的積分，它經(jīng)過所謂的它經(jīng)過所謂的“萬(wàn)能代換萬(wàn)能代換”化成有理函數(shù)的積分?；捎欣砗瘮?shù)的積分。三三 可化為有理函數(shù)的積分可化為有理函數(shù)的積分2021-12-15182cos2sin2sin xxx 這這是是因因?yàn)闉?tan12tan22xx xcos2tan12tan122xx 2tan12tan2 tan22xxx 2122tanuuxu 22112tanuuxu 2122tanuuxu 2021-12-1519令令2tanxu uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 2021-12-1520例例6 6 求積分求積

11、分.)cos1(sinsin1 dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬(wàn)能置換公式由萬(wàn)能置換公式duuuu 12212 dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu )ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan22021-12-1521例例7 7 求積分求積分.sin1cos dxxx解解 )121(12112222uuuduuu dxxxsin1cosduuuu )1)(1()1(22 一直做下去，一定積出來，只是太麻煩。一直做下去，一定積出來，只是太麻煩。 dxxxsin1cos xxdsin1)sin1(Cx )sin1ln(

12、由此可以看出，萬(wàn)能代換法不是最簡(jiǎn)方法，由此可以看出，萬(wàn)能代換法不是最簡(jiǎn)方法，能不用盡量不用。能不用盡量不用。2021-12-1522討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào). .例例8 8 求積分求積分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 2 2 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分解決方法解決方法關(guān)鍵去掉根號(hào)關(guān)鍵去掉根號(hào)2021-12-1523,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 2021-12-15

13、24例例9 9 求積分求積分.2113 dxx解解 令令23 xt,32dxdtt dttt 132dttt 11132Cttt |)1|ln2(32.)12ln(3)2(3)2(233332Cxxx dxx32112021-12-1525說明說明無理函數(shù)去根號(hào)時(shí)無理函數(shù)去根號(hào)時(shí), , 取根指數(shù)的最小公倍數(shù)取根指數(shù)的最小公倍數(shù). .例例1010 求積分求積分.13 dxxx解解 令令xt 6,65dxdtt dxxx31 dtttt)1(6235 dttt2216Ctt )arctan(6 dtt)111(62Cxx )arctan(6662021-12-1526簡(jiǎn)單無理式的積分去掉根式簡(jiǎn)單無理式的積分去掉根式.有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分