第四章 三鉸拱

1、北京建筑工程學院專業(yè)基礎部北京建筑工程學院專業(yè)基礎部STRUCTURE MECHANICS 一、定義：一、定義： 通常桿軸線為曲線，在豎向荷載作用下，支座產生水通常桿軸線為曲線，在豎向荷載作用下，支座產生水平反力的結構。平反力的結構。 二、特點：二、特點： （1）彎矩比相應簡支梁小，水平推力存在的原因。）彎矩比相應簡支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重輕、跨度大。）用料省、自重輕、跨度大。 （3）可用抗壓性能強的磚石材料。）可用抗壓性能強的磚石材料。 （4）構造復雜，施工費用高。）構造復雜，施工費用高。 第第4章章3.4 3.4 靜定拱的組成及受力特征靜定拱的組成及受力特征豎向荷載

2、作用下會產生水平反力的結構可稱為豎向荷載作用下會產生水平反力的結構可稱為拱式結構拱式結構或或推力結構推力結構。三、拱的種類：三、拱的種類：第第4章章四、拱各部分的名稱：四、拱各部分的名稱：兩鉸拱兩鉸拱 無鉸拱無鉸拱 三鉸拱三鉸拱帶拉桿的三鉸拱帶拉桿的三鉸拱折線型拱折線型拱平拱平拱：兩拱趾在同一水平線上兩拱趾在同一水平線上斜拱斜拱：兩拱趾不在同一水平線上兩拱趾不在同一水平線上五、拱與曲梁的區(qū)別五、拱與曲梁的區(qū)別第第4章章拱結構拱結構CAFBxBFAxFAyFByP曲梁結構曲梁結構 PBAFAx=0FAyFB3.2 三鉸拱的內力計算三鉸拱的內力計算一、拱的內力計算原理仍然是一、拱的內力計算原理仍然

3、是截面法截面法。二、拱通常受壓力，所以計算拱時，二、拱通常受壓力，所以計算拱時，規(guī)定軸力以受壓為正規(guī)定軸力以受壓為正。 三、實際計算時常將拱與相應簡支梁對比，通過公式完成三、實際計算時常將拱與相應簡支梁對比，通過公式完成計算。計算。這些公式為繪制拱的影響線提供了方便這些公式為繪制拱的影響線提供了方便。KABFBHFAHFAVFBVP1fll1l2a2a1b2b1P2l1yKxKxyK三鉸拱計算簡圖三鉸拱計算簡圖 C四、三鉸拱計算公式的建立四、三鉸拱計算公式的建立第第4章章xKKABFAH0 = 0P1FAV0 FBV0 P2C相應簡支梁相應簡支梁1 1、支座反力計算、支座反力計算)P(P1)P

4、(P1 0M 0M2211B2211AABaalFbblFVV00ByBVAyVFFFFA（3-1） 0BAHHHXFFF :F0M1ACfF)a(lPlFH111V)(1A111VHalPlFf1F)(M11A0C11ValPlFfF0CMH （3-2）水平推力水平推力FH只與三個鉸的只與三個鉸的位置有關，而位置有關，而與拱軸的形狀與拱軸的形狀無關，與拱的無關，與拱的高跨比有關。高跨比有關。請問請問:有水平荷載有水平荷載,或鉸或鉸C不在頂部不在頂部,或或 是斜拱是斜拱,右邊的結論右邊的結論還是正確的嗎還是正確的嗎?第第4章章xKKABFAH0 = 0P1FAV0 FBV0 P2C2 2、彎矩

5、計算、彎矩計算內側纖維受拉為正K1K1KAK)a(PMyFxxFHV)a(xPxM1KK0A0K1VFKABFBHFAHFAVFBVP1fP2yKxKxyKa2a1b2b1（3-3）K0KKMMyFH FAxFSKFNKMKP1FAyAKFAV0 P1MK0FSK0KK1AKK1KAsin)cosP(sincosPcosHVHVSKFFFFF1A10A0KPPyVSFFFKK0KsincosHSSKFFF （3-4）3 3、剪力計算、剪力計算使隔離體順時針轉動為正1A10A0KPPyVSFFF4 4、軸力計算、軸力計算使截面受壓為正KK1AKK1KAKcos)sinP(cossinPsinHV

6、HVNFFFFF（3-5）KK0KKcossin HSNFFF 三鉸拱的內力與荷三鉸拱的內力與荷載及三個鉸的位置有關，載及三個鉸的位置有關，與拱軸線形狀有關；與拱軸線形狀有關； 左為正，右為負左為正，右為負ABxq=2kN .mP=8kN3mx2=3m7.5kNFAVFHFBV2y2y012345678例例 1、三鉸拱及其所受荷載如、三鉸拱及其所受荷載如圖所示拱的軸線為拋物線方程圖所示拱的軸線為拋物線方程yflx lx42計算反力并繪計算反力并繪制內力圖。制內力圖。（1）計算支座反力kNFFAVAV111238962kNFFBVBV91298362kNfMFCH5 . 74362611（2）內

7、力計算yflx lxm222444123 1233tgdydxflxlxx2334124412123120667.22233 4105550832,sin.,cos.mkNyFMMH5 . 135 . 75 . 132311222kNkNFFFHSS003. 00025. 0555. 05 . 7832. 03211sincos2222kNFFFHSN015. 9832. 05 . 7555. 03211cossin22226m6mf=4mkN11kN9kN5 . 7以截面2為例xq=2kN .mP=8kN2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.000

8、0.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.0603.331M 圖(kN.m)FS 圖 (kN)FN 圖 (kN)13.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500繪制內力圖繪制內力圖 計算圖（計算圖（a）斜拱的支反力）斜拱的支反力時為避免解聯(lián)立方程，可將反力時為避免解聯(lián)立方程，可將反力分解如圖（分解如圖（b）。）。由平衡條件可得由平衡條件可得hMFFFFFCBVBVAVAV0R00,fMFFC0RHcostanH0FFFAVAVtanH0FFFBVBV（

9、a）（b）第第4章章第第4章章 補充題補充題1：試求圖示有水平拉桿的三鉸拱在豎向荷載作用試求圖示有水平拉桿的三鉸拱在豎向荷載作用下的支座反力和內力。下的支座反力和內力。 解：解： （1 1）計算支座反力）計算支座反力0AAVVFF0BBVVFF0HF（2 2）計算拉桿軸力）計算拉桿軸力PPP1P2P2P3P3AABBCCDDEEFFFHFA VFBV11l/2l/2l/2l/2ll拉桿拉桿 flCF 0AVF0BVFP3FBVl/2BCF11FNABFCHFCV（3 3）計算各截面內力）計算各截面內力作作1-1截面，研究其右半部截面，研究其右半部fflFFVN0CcF3BABCMP2l :0M

10、 依截面法或拱的計算公式，可求得依截面法或拱的計算公式，可求得任意截面的內力。任意截面的內力。三、三鉸拱的合理拱軸線三、三鉸拱的合理拱軸線1、合理拱軸的概念：、合理拱軸的概念： （1）定義：在）定義：在給定荷載給定荷載作用下，拱各截面只承受軸力，作用下，拱各截面只承受軸力，而彎矩、剪力均為零，這樣的拱軸稱為而彎矩、剪力均為零，這樣的拱軸稱為合理拱軸合理拱軸。 （2）如何滿足合理拱軸：）如何滿足合理拱軸：首先寫出任一截面的彎矩表達首先寫出任一截面的彎矩表達式，而后令其等于零即可確定合理拱軸。式，而后令其等于零即可確定合理拱軸。第第4章章2 2、例題、例題2 2第第4章章qABCl/2l/2xyf

11、qABlxql/2 ql/2設三鉸拱承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載，試求其合理拱軸線。設三鉸拱承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載，試求其合理拱軸線。 解法解法1：相應簡支梁的彎矩方程為相應簡支梁的彎矩方程為x)qx(l21qx21qlx21M208fqlfF2H0CM推力推力H為：為：可得三鉸拱合理拱軸的軸線方程為可得三鉸拱合理拱軸的軸線方程為 ：xxll4f8fqlxlqxF22)()(21MyH00MMKH0KKyF令：令：解法解法2：第第4章章設三鉸拱承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載，試求其合理拱軸線。設三鉸拱承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載，試求其合理拱軸線。 解：解：研究整體研究整體任一截面的彎矩任一截面的彎矩 ：qABCl/2l/2xyfAxql2/(8f) M（x）qql/2 y0MB2q2AlFy研究研究AC0MC8fql2HF 02qxy8fqlx2qlxM22整理后，可得三鉸拱合理拱軸的軸線方程為整理后，可得三鉸拱合理拱軸的軸線方程為 ：xxll4fy2例例4-3 試求三鉸拱在垂直于拱軸線的均布荷載作用下的合理試求三鉸拱在垂直于拱軸線的均布荷載作用下的合理 拱軸線。拱軸線。解：由圖解：由圖a，荷載為非豎向荷載。，荷載為非豎向