2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1學(xué)案：3.1.2共面向量定理

1、 3. 1.2 共面向量定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解共面向量等概念 2 理解空間向量共面的充要條件. 戸知識梳理 自主學(xué)習(xí) 知識點一共面向量 能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量. 知識點二共面向量定理 如果兩個向量 a a, b b 不共線，那么向量 p p 與向量 a a, b b 共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組 （x, y）,使得 p p= xa a + yb b,即向量 p p 可以由兩個不共線的向量 a a, b b 線性表示. 知識點三空間四點共面的條件 若空間任意無三點共線的四點，對于空間任一點 0,存在實數(shù) x、y、z 使得 5A= xOB + yOC + zOD，且 x、y、z 滿足

2、 x+ y+ z= 1,貝 U A、B、C、D 共面. 思考 1. 空間兩向量共線，一定共面嗎？反之還成立嗎？ 答案 一定共面，反之不成立. 2. 空間共面向量定理與平面向量基本定理有何關(guān)系？ 答案 空間共面向量定理中，當(dāng)向量 a a, b b 是平面向量時，即為平面向量基本定理. 戸題型探究 題型一 應(yīng)用共面向量定理證明點共面 例 1 已知 A、B、C 三點不共線，平面 ABC 外的一點 M滿足 0M = 3 3 3 （1） 判斷MA、MB、MC 三個向量是否共面； （2） 判斷點 M 是否在平面 ABC 內(nèi). 解/ 0A + 0B+ 0C = 30M , 0A0M =（0M - 0B）+（

3、0M - 0C）. MA = BM + CM = MB MC. 又 MB 與 MC 不共線.向量 MA、MB、MC 共面. 重點突破 （2） - 向量 MA、MB、MC 共面且具有公共起點 M, A、B、C、D 四點共面. 題型二 應(yīng)用共面向量定理證明線面平行 例 2 如圖，在底面為正三角形的斜棱柱 中占 I 八、： 求證：AB1/平面 C1BD. 證明 記 AB= a a, AC = b b, AA1 = c c,則 AB1= a a + c, c, DB = AB AD 1 =a a 2 b b, f f f 1 DC 1 = DC + CC1 =尹+ c c, 所以 DB + DC1=

4、a a+ c c= AB1,又 DB 與 DC1不共線, 所以 AB1, DB , DC1共面. 又由于 AB1不在平面 C1BD 內(nèi)，所以 AB1 /平面 C1BD. 反思與感悟 在空間證明線面平行的又一方法是應(yīng)用共面向量定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 要熟悉其證明 過程和證明步驟. 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，設(shè) AB= a a, AC = b b, AA1 = c c,在面對角 線 AC1 上和棱 BC 上分別取點 M、N，使 AM = kAC1, BN= kBC (0 k, AC= 2& + 8e e2, AD = 3& 3e3e?，求證：A、B、C、D

5、共面. 證明 AD + AC = 5el + 5e2= 5AB, AU (AD + )=挺)+ 1AC，又 AD 與 AC 不共線. AB、 AD、 AC 共面，又它們有一個公共起點 A. ABCA1B1C1 中，D 為 AC 的 又 AN= AB + BN=a a + kBC = a a+ k(b b a a)= (1 k) a a+ kb b, =(PN PM)+ (PR PM) 3 - - 3 - - 3 - - =2(PF PE) + 2(PH PE)= 2(EF + EH). - - - 3 - 3 - 3 - 又 MQ = PQ PM = 2PG 2PE= 2EG. MIN = A

6、N - AM = (1 - k)a a+ kb b- kb b-kc c =(1 k)a a kc c.又 a a 與 c c 不共線. MN 與向量 a a, c c 是共面向量. 又 MN 不在平面 ABBiAi內(nèi), MN / 平面 ABBiAi. 題型三向量共線、共面的綜合應(yīng)用 例 3 如圖所示，已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，點 P 是 ABCD 所 在平面外的一點，連結(jié) FA, PB,PC,PD.設(shè)點 E, F,G,H 分別為 PAB， PBC， PCD， PDA 的重心.試用向量方法證明 E，F(xiàn)，G，H 四 點共面. 解分別連結(jié) PE, PF, PG , PH 并延長，交對邊于

7、點 M , N, Q, R,連結(jié) MN, NQ , QR, RM. E, F, G, H 分別是所在三角形的重心, M , N, Q, R 是所在邊的中點， 且 PE= 2PM , PF = 2PN, PG =彳PQ, 3 3 3 PH = |PR. 由題意知四邊形 MNQR 是平行四邊形, EG =EF + EH =MN + MR 又 AN= AB + BN=a a + kBC = a a+ k(b b a a)= (1 k) a a+ kb b, 由共面向量定理知，E, F, G , H 四點共面. 反思與感悟 利用向量法證明四點共面， 實質(zhì)上是證明的向量共面問題, 解題的關(guān)鍵是熟練 地進(jìn)

8、行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件， 解題過程中要注意區(qū)分向量所在的直線的 =OH - OE + m(OF - OE) =k(OD - OA)+ km(OB- OA) =kAD + kmAB =k(AD + mAB) = kAC, AC / EG. 由(2)知 OG = EG - EO= kAC- kAO = k(AC- AO)= kOC, OG =kOC. 歹當(dāng)堂檢測 自查自割 1. 設(shè) a a, b b 是兩個不共線的向量， 人 吐 R R，若 掃+血=0,貝 U匸 答案 0 0 解析 T a a, b b 是兩個不共線的向量， - - a a豐 0, b bz 0, - = （1=

9、0. 2. 給出下列幾個命題： 向量 a a, b b, c c 共面，則它們所在的直線共面； 零向量的方向是任意的； 若 a a / b b,則存在惟一的實數(shù) 入使 a a= ?b.其中真命題的個數(shù)為 答案 1位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系. 跟蹤訓(xùn)練 3 已知 0、A、B、C、D、E、F、G、H 為空間的 9 個點（如 圖所示）,并且0E = kOA, 0F = kOB, 0H= kOD, AC = AD + mAB, EG =EH + mEF. 求證：（1）A、B、C、D 四點共面，E、F、G、H 四點共面； AC/ EG; (3) 0G = kOC. 證明 由 AC = AD + mAB,

10、EG= EH + mEF 知 A、B、c、D 四點共面，E、F、G、H 四點 共面. / EG=EH + mEF G 解析 假命題.三個向量共面時，它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行; MN = MA + AB + BN 2 1 1 3a a + 2b b+ 2c c. 4. 下列命題中，正確命題的個數(shù)為 _ 若 a a/ b,b,則 a a 與 b b 方向相同或相反; 若AB= CD，貝 y y A, B, C , D四點共線; 若 a a, b b 不共線，則空間任一向量 p p=掃+血（入 此 R R）. 答案 0 解析 當(dāng) a a, b b 中有零向量時， 不正確；AB= CD

11、 時，A, B, C, D 四點共面不一定共線, 故不正確；由 p p, a, ba, b 共面的充要條件知，當(dāng) p p, a a, b b 共面時才滿足 p p=掃+山（人 吐 R R）, 故不正確. 5. _ 空間的任意三個向量 a a, b,b,3a a 2b b,它們一定是 _ . 答案共面向量 解析 如果 a a, b b 是不共線的兩個向量，由共面向量定理知， a a, b,b,3a a 2b b 共面；若 a a, b b 共 線，貝 U a a, b,b,3a a 2b b 共線，當(dāng)然也共面. 課堂中結(jié) - 共面向量定理的應(yīng)用： （1） 空間中任意兩個向量 a a, b b 總是共面向量，空間中三個向量 a a, b b, c c 則不一定共面. （2） 空間中四點共面的條件 空間點 P 位于平面 MAB 內(nèi)，則存在有序?qū)崝?shù)對 x、y 使得 MP = xMA + yMB , 此為空間共面向量定理，其實質(zhì)就是平面向量基本定理， MA, MB 實質(zhì)就是面 MAB 內(nèi)平面 向量的一組基底 真命 題.這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定; 假命題.當(dāng) b b= 0 時， 則有無數(shù)多個 3.如圖，在空間四邊形 OABC 中, OA = a a, OB= b b, OC = c c, 上，且 OM = 2MA, N 為 BC 中