材料力學(xué)__彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

1、一一. .工程中以彎曲變形為主的桿件稱為工程中以彎曲變形為主的桿件稱為縱向?qū)ΨQ面：縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所構(gòu)成的平梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所構(gòu)成的平面面對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。純純 彎彎 曲曲PPSFMaal=0=constSFM，純彎曲純彎曲： FQ=0 , M=const 00SFM ，橫力彎曲橫力彎曲： FQ0 , Mconst PPCDABPPPaQdAdAMdAdAdSAF MSFdSAFd

2、AM在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素dN=dAdN=dA才能合成才能合成彎矩彎矩M M，只有切向內(nèi)力元素，只有切向內(nèi)力元素d =dAd =dA才能合成剪力才能合成剪力SFSF純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力從三方面考慮：從三方面考慮：變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系1 1、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系 aabbmnmnmmmm(1)aa(1)aa、bbbb彎成弧線，彎成弧線，aaaa縮短，縮短，bbbb伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)(2)mm(2)mm、nnnn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛∽冃魏笕员３譃橹本€，且仍與變?yōu)榛?線的線的aaaa，b

3、bbb垂直垂直(3)(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長(zhǎng)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長(zhǎng)。 梁在純彎曲時(shí)的梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)平面假設(shè)： 梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。觀察到以下變形現(xiàn)象觀察到以下變形現(xiàn)象: : 再作單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間再作單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)?；蚴軌旱臓顟B(tài)。推論：推論： 梁在彎曲變形時(shí)，上面部分

4、縱向纖維縮短，梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維下面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短既不伸長(zhǎng)也不縮短,保持原來(lái)的長(zhǎng)度，這一縱保持原來(lái)的長(zhǎng)度，這一縱向纖維層稱為向纖維層稱為中性層中性層。 中性層與橫截面的交線稱為中性層與橫截面的交線稱為中性軸中性軸中性層中性層中性軸中性軸中性層中性層 ()y dddyzdxydyy2、物理關(guān)系、物理關(guān)系 EEy 正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比，正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比，中性層上的中性層上的正應(yīng)力為零正應(yīng)力為零 (中性層中性層y=0)上式只能用于定性分析，而不能用于定量計(jì)算：上式只能用于定性分析，而

5、不能用于定量計(jì)算： 1）由于中性軸由于中性軸z z的位置未確定，故的位置未確定，故y y無(wú)法標(biāo)定；無(wú)法標(biāo)定；2 2）式中）式中 未知未知. .（若已知（若已知M M， 與與M M有何關(guān)系？）有何關(guān)系？）3、靜力學(xué)關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系dAdNAFAMzAyAdMyAzAd 0 0 M設(shè)中性軸為設(shè)中性軸為zd0NAFAEyAAd00dAAyE0zASydA必過(guò)截面形心中性軸Zyz橫截面對(duì)橫截面對(duì)Z軸的靜矩軸的靜矩MMzAyAd00dAAzydAEAyEz0yzAIzydAMyAMzAdy EyAMAd1zMEI令：AzdAyI2截面對(duì)截面對(duì)yz軸的慣性積軸的慣性積截面對(duì)截面對(duì)z軸的慣性矩軸的慣性矩由于

6、由于y為對(duì)稱軸為對(duì)稱軸, 上式自然滿足。上式自然滿足。1MEIzM yIz正應(yīng)力計(jì)算公式：正應(yīng)力計(jì)算公式：中性軸過(guò)截面形心中性軸過(guò)截面形心中性層的曲率公式：中性層的曲率公式：1）沿）沿y軸線性分布，同一軸線性分布，同一坐標(biāo)坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。性軸上正應(yīng)力為零。2）中性軸將截面分為受）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。中性軸最遠(yuǎn)處。1maxZM yIyyy12max當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：2maxZM yImaxmaxmaxMWZmaxmaxM yI

7、Z橫截面上的最大正應(yīng)力：橫截面上的最大正應(yīng)力：Wz Wz 抗彎截面模量抗彎截面模量WIyzzm ax 公式適用條件：公式適用條件：1 1）符合平面彎曲條件）符合平面彎曲條件( (平面假設(shè)，橫截面具有一對(duì)稱軸）平面假設(shè)，橫截面具有一對(duì)稱軸）2 2）p p( (材料服從胡克定律）材料服從胡克定律） 對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。 彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的跨高比大于彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的跨高比大于5時(shí)，剪應(yīng)時(shí)，剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響甚

8、小，可以忽略不計(jì)。因此力和擠壓應(yīng)力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響甚小，可以忽略不計(jì)。因此由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過(guò)梁中，誤差不超過(guò)1% %。橫力彎曲時(shí)，彎矩不再是常量。橫力彎曲時(shí)，彎矩不再是常量。( )zM xyI圓環(huán)：圓環(huán)：Dyzd44446464(1)64yzzzIIIIDdD大小Dd其中復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)IbhZ312IdZ4644444()(1)6464ZDdDI26ZbhW 332ZdW34(1)32ZDW例例1111：圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當(dāng)最大正應(yīng)力為最小

9、時(shí)的支座位置。用，試求當(dāng)最大正應(yīng)力為最小時(shí)的支座位置。alaq 解：解：作彎矩圖作彎矩圖282qlqla22qa22qa支座位置支座位置 直接影響支座直接影響支座截面和跨中截面上的彎矩截面和跨中截面上的彎矩值。當(dāng)中性軸為截面的對(duì)值。當(dāng)中性軸為截面的對(duì)稱軸，最大拉、壓應(yīng)力相稱軸，最大拉、壓應(yīng)力相等時(shí)，只有支座處截面與等時(shí)，只有支座處截面與跨中截面之彎矩的絕對(duì)值跨中截面之彎矩的絕對(duì)值相等，才能使該梁的最大相等，才能使該梁的最大彎矩的絕對(duì)值為最小，從彎矩的絕對(duì)值為最小，從而使其最大正應(yīng)力為最小。而使其最大正應(yīng)力為最小。22822qlqlaqa取有效值取有效值0.207al二二. .梁的正應(yīng)力梁的正應(yīng)

10、力 max等直梁等直梁 maxmaxzMW 對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè)數(shù)值。彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè)數(shù)值。maxmax請(qǐng)注意：請(qǐng)注意：梁的最大工作拉應(yīng)梁的最大工作拉應(yīng)力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不發(fā)生在同一截面上。發(fā)生在同一截面上。 一般情況下，一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力許用彎曲正應(yīng)力比比許用拉許用拉(壓壓)應(yīng)力應(yīng)力略高。因?yàn)閺澢鷷r(shí)除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力略高。因?yàn)閺澢鷷r(shí)除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉(壓壓

11、)時(shí)，截面上時(shí)，截面上的應(yīng)力是均勻分布的。的應(yīng)力是均勻分布的。 利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：1 1、已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核、已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度。梁的強(qiáng)度。2 2、已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的、已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸。截面尺寸。3 3、已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。、已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。例例1212：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)(a)、(b)(b)。按。按彎曲正

12、應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比比 P P1 1P P2 2？l解：解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax222226MWP lhbz由得maxmax :12PPhb12例例1313： 矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時(shí)，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁減小一半時(shí)，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁的承載能力將是原來(lái)的多少倍？的承載能力將是原來(lái)的多少倍？解：解： 由公式由公式maxmaxmaxMWMbhz26可以看出，可以看出， 該梁的承載能力將是原來(lái)的該梁的承載能力將是原來(lái)的 2 倍。倍。例例1414：

13、主梁主梁ABAB，跨度為，跨度為L(zhǎng) L，采用加副梁，采用加副梁CDCD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長(zhǎng)料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長(zhǎng)度度a a為多少？為多少？a2a2l2l2PABCDAB2P2P2aL2aLMPlaABmax()4PaCDMPaCDmax4主梁主梁AB副梁副梁CDMM解：解：主梁主梁AB的最大彎矩的最大彎矩PlaPa44()副梁副梁CD的最大彎矩的最大彎矩MPaCDmax4由由MMABCDmaxmax得得al2MPlaABmax()4例例1515：圖示梁的截面為圖示梁的截面為T形，材料的許用拉形，材

14、料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為+和和 -，則則 y1 和和 y2 的最佳比值為多少的最佳比值為多少? (為截面形心為截面形心) PCy1y2z解：解：12(1)(2)yy得：max1maxzMyImax2maxzMyI( ) 1( )2例例1616：圖示外伸梁，受均布載荷作用，圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力=160 MPa=160 MPa，校核該，校核該梁的強(qiáng)度。梁的強(qiáng)度。 10kN / m2m4m100200解：解：由彎矩圖可見(jiàn)由彎矩圖可見(jiàn)Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN15kNQ()kN202515M()kN

15、 m201125.tzMWmax20100102632. 30MPa 該梁滿足強(qiáng)度條件，安全該梁滿足強(qiáng)度條件，安全例例1717：圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)maxmax、maxmax全相同，求三梁的重量比。并全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經(jīng)濟(jì)。指出哪種截面最經(jīng)濟(jì)。A1A2A32bbaad解：解：由題意可知由題意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233AAA123:24222bad:bada063001193. 0794 1 112.: : .zWMmaxmax例例1818：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力+

16、 + =30MPa=30MPa，許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力- - =60MPa,=60MPa,z z=7.63=7.631010-6-6m m4 4，試，試校核此梁的強(qiáng)度。校核此梁的強(qiáng)度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDmax2.5 88CzI9kN4kNCz52881m1m1mM(kN m)2.5kN10.5kN25 .4ABCDmax2.5 52CzImax4 52BzImax4 88BzIC截面：截面：B截面：截面： 288 . MPa 170 . MPa 273 . MPa 461 . MPa滿足強(qiáng)度要求滿足強(qiáng)度要求本題本題maxC和和maxB可不必計(jì)算可不必計(jì)算為什么？為什么？

17、例例1919：簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁ABAB，在截面下邊緣貼一，在截面下邊緣貼一應(yīng)變片，測(cè)得其應(yīng)變應(yīng)變片，測(cè)得其應(yīng)變= 6= 61010-4-4，材料的，材料的彈性模量彈性模量 E=200GPaE=200GPa，求載荷，求載荷P P的大小。的大小。04 . m05 . m1mPABCD4020解：解：04 . m05 . m1mPABCD4020C C點(diǎn)的應(yīng)力點(diǎn)的應(yīng)力CE2001061034 120MPaC截面的彎矩截面的彎矩MWCCzMRCA 05 .由由得得P 32 . kN0504. P 02 . P640N m640N m例例2020：簡(jiǎn)支梁受均布荷載，在其截面簡(jiǎn)支梁受均布荷載，在其截面的下邊緣

18、貼一應(yīng)變片，已知材料的的下邊緣貼一應(yīng)變片，已知材料的E=200GPaE=200GPa，試問(wèn)該應(yīng)變片所測(cè)得的應(yīng)變值，試問(wèn)該應(yīng)變片所測(cè)得的應(yīng)變值應(yīng)為多大？應(yīng)為多大？q 40kN / m15 . mABC20030015 . mq 40kN / m15 . mABC20030015 . m解：解：C截面下邊緣的應(yīng)力截面下邊緣的應(yīng)力CCzMWC截面的彎矩截面的彎矩MqlC2845kN mCE應(yīng)變值應(yīng)變值15MPa1510200106975105.例例2121：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長(zhǎng)為長(zhǎng)為 10 mm，E=10GPa，求載荷，求載荷P的大小。的大小。P2mABC200

19、3002mP2mABC2003002m解：解：AClxx( ) d0/2xdx( )xExld0/2M xW Exzl( )d0/2PxW Exzl2d0/2PlW Ez216PW ElzAC162 164020361051022103. 150kN例例2222：我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是出的尺寸比例是 h:b=3:2h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。上述尺寸比例接近最佳比值。bhd（使（使WzWz最大）最大）解：解：bhd222bhdWbhz2

20、6b db()226Wbdbz22620由此得由此得bd3hdbd2223hd23:2例例23:23:跨長(zhǎng)跨長(zhǎng)l=2ml=2m的鑄鐵梁受力如圖示，已知材料的鑄鐵梁受力如圖示，已知材料許用拉、壓應(yīng)力分別為許用拉、壓應(yīng)力分別為30MPa和和90MPa試根據(jù)截面最為合理的要求，確定試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T形梁橫截面的形梁橫截面的一個(gè)參數(shù)一個(gè)參數(shù) ，并校核此梁的強(qiáng)度。，并校核此梁的強(qiáng)度。BAP=80KN1m2m22060220 解：解：設(shè)設(shè)z z軸過(guò)形心軸過(guò)形心最為合理時(shí)最為合理時(shí)z1y2ymaxmax12yy170ymm2210ymmBAP=80KN1m2m22060220 z1y2y122

21、0220(60)60 220 3027022060 220ymm =24mm332224 220220 6024 220 (210 110)220 60 (7030)1212zI646499.3 1099.3 10mmmmax80 24044PlMKN mmax1max28.3zMyMPaI30MPa梁滿足強(qiáng)度要求梁滿足強(qiáng)度要求還需校核最大工作壓應(yīng)力嗎？還需校核最大工作壓應(yīng)力嗎？例例24:24:圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，P=20KNP=20KN。試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：(1)(1)高寬比高寬比h/b=2h/b=2的矩形；的矩形；(2)(2)圓形