復(fù)數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí){學(xué)生版版)02課件

1、高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第五章 復(fù)數(shù)一、考綱要求1.理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)相等的概念，掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算法則，能正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)的運(yùn)算。2.掌握復(fù)數(shù)三角形式及其特征，三角形式與代數(shù)形式的互化能熟練運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘、除法及乘方、開方運(yùn)算。3.理解復(fù)數(shù)的模、輻角、輻角主值和共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握相關(guān)性質(zhì)，能運(yùn)用它們解決相關(guān)的復(fù)數(shù)問題。4.理解復(fù)數(shù)的幾何表示及向量表示，掌握復(fù)數(shù)加法、減法、乘法的幾何意義，并能運(yùn)用它們解決一些復(fù)數(shù)問題，會(huì)計(jì)算平面上兩點(diǎn)間的距離。5.掌握復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡方程的復(fù)數(shù)表示形式，會(huì)運(yùn)用復(fù)數(shù)有關(guān)性質(zhì)求點(diǎn)的軌跡方程。6.掌握一元二次方程、二項(xiàng)方程在復(fù)

2、數(shù)集上的解法，某些復(fù)系數(shù)方程和含有參數(shù)的方程的解法；韋達(dá)定理、實(shí)系數(shù)方程的虛根成對(duì)等性質(zhì)及應(yīng)用。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)，要抓住概念、運(yùn)算、幾何意義三個(gè)環(huán)節(jié)復(fù)數(shù)概念的最重要內(nèi)容是復(fù)數(shù)的二維性，即復(fù)數(shù)是形如a+bi,(a,bR)的數(shù)。復(fù)數(shù)的二維性又決定了研究復(fù)數(shù)的基本方法是分離實(shí)部和虛部的方法。新概念、新算法、新結(jié)論、范圍大、頭緒多是實(shí)數(shù)集合所沒有的，列表如下： i4k=1 i4k+1=I i4k+2=-1 i4k+3=-i(kN) 虛數(shù)單位i2=-1復(fù)數(shù)概念 =-I (1±i)2=±2 i=I =-i a=c 復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部a+bi=c+di b=d 共軛復(fù)數(shù) =±

3、 = 復(fù)數(shù) 共軛虛數(shù) =()(Z20) 向量、模、等向量、零向量 a+bi(a，b) 復(fù)數(shù)的向量表示 Z1-Z2Z1±Z2Z1+Z2 Z1·Z2=Z1·Z2 復(fù)數(shù)的模 = Zn=Zn (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 復(fù)數(shù)的加法法則 復(fù)數(shù)加法的幾何意義復(fù)數(shù)代數(shù) (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i形式的四 復(fù)數(shù)的減法法則則運(yùn)算 復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離d=Z1-Z2 復(fù)數(shù)的乘法法則(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 復(fù)數(shù)的除法法則=+i復(fù)數(shù)的輻角主值復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的模 代數(shù)形式與三角形式的

4、互化a+bi=r(cos+sin) (r=) r1(cos+isin1)·r2(cos2+sin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則復(fù)數(shù)乘法的幾何意義：將向量a+bi逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得(a+bi)(cos+isin)復(fù)數(shù)的三角形式Z=r(cos+sin)棣莫佛定理r(cos+sin)n=rn(cosn+isin n)=cos(1-2)+isin(1-2)復(fù)數(shù)三角式的除法法則復(fù)數(shù)除法的幾何意義：將向量a+bi順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得=(a+bi)(cos-sin) 若Z=r(cos+sinQ)則Z的幾次方根為xr=(cos+isin)k=0.1.2(n-1)復(fù)數(shù)三

5、角式的開方法則二項(xiàng)方程的解法實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根求法三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示復(fù)數(shù)是一個(gè)重要內(nèi)容，解決復(fù)數(shù)問題，通常是運(yùn)用代數(shù)形式把它轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題去解決；運(yùn)用三角形式把它轉(zhuǎn)化成三角問題去解決；運(yùn)用向量及其幾何形式把它轉(zhuǎn)化為平面幾何問題或解析幾何問題去解決，有時(shí)需要運(yùn)用復(fù)數(shù)本身一些特有形式如共軛運(yùn)算，模運(yùn)算等。復(fù)數(shù)溝通了代數(shù)、三角、幾何之間的聯(lián)系，因而復(fù)數(shù)問題的解法往往綜合性強(qiáng)且構(gòu)思巧妙，方法靈活，復(fù)數(shù)運(yùn)算中，求值是最常見的，不僅要用到復(fù)數(shù)的幾種形式，而且有時(shí)需運(yùn)用代數(shù)中的換元法及整體變形，或綜合運(yùn)用其他知識(shí)，如：求最值常用基本不等式，函數(shù)方法，復(fù)數(shù)還常用到數(shù)列，二項(xiàng)式定理等知識(shí)。復(fù)數(shù)的運(yùn)算種

6、類雖多，但各種運(yùn)算方式間有聯(lián)系，最本質(zhì)的運(yùn)算方式是代數(shù)形式的運(yùn)算。多樣性的運(yùn)算使我們研究復(fù)數(shù)問題時(shí)有多種可考慮的途徑，以便從中選擇較好的方式，運(yùn)算常用的結(jié)論：1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2 (a+bi)2=a2-b2+2abi (a,bR)(a-bi)2=a2-b2-2abi (a,bR)等2.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=i(bN)3.Z+=2ReZ Z-=2ImZi(其中ReZ,ImZ分別表示復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部)4.Z·=Z2=25.設(shè)w=-+i則w3=1

7、,1+w+w2=0, =w2=6. =± = ()=(Z20)7.Z1·Z2=Z1·Z2 =(Z20)8.Z=ZR9.Z=-Z=ki(kR)=Z10.r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)rk(cosk+isink)=r1r2r3rkcos(1+2+3+k)+isin(1+2+3+k)其中r1r2r3rk0(1、2、3kR)這些知識(shí)點(diǎn)溝通了復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)之間的聯(lián)系，將復(fù)數(shù)問題化為實(shí)數(shù)問題解決，訓(xùn)練學(xué)生的化歸思想，同時(shí)，在處理數(shù)據(jù)關(guān)系時(shí)，會(huì)根據(jù)法則，公式正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且能根據(jù)題目尋求合理、簡捷的運(yùn)算途徑，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和運(yùn)算技能。復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要

8、是數(shù)與式的組合變形和分解變形，很好的培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力。復(fù)數(shù)的幾何意義包括兩方面內(nèi)容，一方面是復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上從原點(diǎn)出發(fā)的向量間的一一對(duì)應(yīng)；另一方面是加、減、乘、除、乘方、開方的幾何意義。加法的幾何意義：沒，各與復(fù)數(shù)Z1，Z2對(duì)應(yīng)，以，為邊的平行四邊形的對(duì)角線就與Z1+Z2對(duì)應(yīng)。減法的幾何意義：沒，各與復(fù)數(shù)Z1，Z2對(duì)應(yīng)，則圖中向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是Z2-Z1。Z1-Z2的幾何意義是分別與Z1，Z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。乘法的幾何意義：設(shè)表示復(fù)數(shù)r(cos+isin)(r0)，把繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后再把所得向量的長度變?yōu)樵瓉淼膋倍(k0)得到，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是r(co

9、s+isin)·k(cos+isin)，如果把繞A點(diǎn)按順時(shí)針方向進(jìn)行同樣方式的旋轉(zhuǎn)和伸縮，那么所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是r(cos+isin)·k(cos-isin)除法是乘法的逆運(yùn)算，除法也可表現(xiàn)為乘法的形式，Z1÷Z2=Z1·()因此除法運(yùn)算的幾何意義與乘法運(yùn)算的幾何意義實(shí)質(zhì)相同。復(fù)數(shù)方根的幾何意義：設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，Z的n次方根(n2,nN)對(duì)應(yīng)于從原點(diǎn)出發(fā)且在原點(diǎn)處n等分圓圍角的n個(gè)向量，這n個(gè)向量的模都是，其中一個(gè)向量的輻角是復(fù)數(shù)Z的輻角的n分之一，圖中畫出了模為8的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的三次方根，其中的輻角取輻角的三分之一。理解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，通過

10、圖形來討論代數(shù)問題，掌握數(shù)形結(jié)合這一重要的思想方法。數(shù)學(xué)是揭示客觀事物的數(shù)量和形體的本質(zhì)關(guān)系和聯(lián)系的科學(xué)，從認(rèn)識(shí)的角度考慮“數(shù)”與“形”是事物的兩個(gè)側(cè)面，數(shù)形結(jié)合正是從這兩個(gè)方面去認(rèn)識(shí)事物的特征。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，通過圖形，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象的聯(lián)系，可以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來研究，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題。由復(fù)數(shù)的幾何意義推導(dǎo)的下列結(jié)論對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)很有幫助。1.Z1·Z20，則Z1+Z2=Z1-Z2=i (R且0) 對(duì)應(yīng)的向量2.設(shè)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z

11、1，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z2-Z13.向量繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(0)所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)應(yīng)是(Z2-Z1)cos(-)+isin(-)而旋轉(zhuǎn)之后點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)應(yīng)是(Z2-Z1)cos(-)+isin(-)+Z24.Z-Z1=Z-Z2表示以復(fù)數(shù)Z1、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段垂直平分線的方程。5.Z-Z0=表示以Z0為復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z0為圓心，半徑是的圓的方程。6.Z-Z1+Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以Z1、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1、Z2為焦點(diǎn)，長軸是2a的橢圓方程。7.Z-Z1-Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以Z1、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z1、Z2

12、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長是2a的雙曲線方程，在復(fù)數(shù)集上的方程主要有三個(gè)問題：復(fù)數(shù)集上方程的求解；根據(jù)方程解的情況討論參數(shù)的取值范圍；與復(fù)數(shù)集上方程有關(guān)的計(jì)算或證明。求解復(fù)數(shù)集上的方程主要有以下四種解法：設(shè)Z=x+yi(x，yR)從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的方程。若是復(fù)數(shù)集上的二次方程，則可以直接利用二次方程的求根公式，但要注意判別式0，則x1，2=考慮復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形去分析。以復(fù)數(shù)的模為突破口，即著眼于Z，再求Z。由復(fù)數(shù)集上的方程培養(yǎng)學(xué)生分類討論，函數(shù)與方程思想的重要數(shù)學(xué)思想方法，從而培養(yǎng)分析問題，解決問題的能力。復(fù)數(shù)的模及有關(guān)性質(zhì)，一般是求模的取值范圍或最值，通常有以下四種方法：利用復(fù)數(shù)的三角形

13、式，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)式的最值問題。利用不等式Z1-Z2Z1+Z2Z1+Z2考慮復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的幾何問題。轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的最值問題。通過這些知識(shí)點(diǎn)，利用換元法，待定系數(shù)法，訓(xùn)練學(xué)生變換與轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)邏輯思維力。四、能力訓(xùn)練1.復(fù)數(shù)Z=+(m2-2m-15)i，求實(shí)數(shù)m，使(1)Z是實(shí)數(shù)；(2)Z是純虛數(shù)；(3)Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限；(4)Z是復(fù)數(shù)；(5)是否存在實(shí)數(shù)m，使argZ=知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念：實(shí)數(shù)、純虛數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)、輻角主值，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限。能力點(diǎn)：識(shí)記能力，計(jì)算能力。2.計(jì)算S=1-3i+5i2-7i3+-99i49知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列求和公式及方法，

14、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。能力點(diǎn)：運(yùn)算能力，邏輯推量能力。3.設(shè)f(Z)=1-，Z1=2+3i，Z2=5-i，試求：(1)f (2)f(+)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，共軛復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：=±，=Z，()=能力點(diǎn)：整體思想，運(yùn)算能力4.復(fù)數(shù)Z=cos+isin,0，復(fù)數(shù)W=，求argw的最小值。知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的輻角主值，乘、除法法則，正切函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最小值的求法，反三角函數(shù)。能力點(diǎn)：化歸思想，邏輯推理能力，運(yùn)算能力。5.已知Z=cos+isin(02),w=求argw及w知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的輻角主值、模、三角變形。能力點(diǎn)：分類討論，邏輯推理能力，運(yùn)算能力。6.已知Z+(3+i)Z+(3-i)ZTX-+

15、9=0求2Z-2i的最大值與最小值argZ的最大值與最小值及相應(yīng)的復(fù)數(shù)Z。知識(shí)點(diǎn)：共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)Z+=2R(Z),Z-=2Im(Z)(Z)（）=Z Z=r(r0) =等求復(fù)數(shù)模的最值的三種方法：函數(shù)法、不等式法、幾何法、運(yùn)用模、輻角主值的幾何意義解題，復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何三角、整體形式間的相互轉(zhuǎn)換。能力點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，邏輯推理能力。7.設(shè)Z1=cos+isin,Z2=cos-isin , ,求arg(Z1+2Z2)的最值。知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的輻角主值，正切函數(shù)的單調(diào)性。能力點(diǎn)：轉(zhuǎn)化與化歸思想，運(yùn)算能力。8.設(shè)Z1=+i, Z2=r(cos+isin) r0,(0,)，Z3=Z1

16、3;Z2.若Z1-Z2=r+1，求r和的取值范圍。知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、三角三種形式間的互化。能力點(diǎn)：函數(shù)或不等式的思想方法。9.設(shè)Z1，Z2C,Z1=Z2=1,Z1、Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為Z1、Z2，O為原點(diǎn)。(1)若Z2-Z1=-1，求arg；(2)設(shè)argZ1=，argZ2=，若OZ1Z2的重心對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)+i求tg(+)的值。知識(shí)點(diǎn)：輻角主值，三角的恒等變形，三種形式間的互化。能力點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想。運(yùn)算能力，邏輯思維能力。10.設(shè)復(fù)平面內(nèi)有一系列向量(n=1,2,3,4,)，將逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且使其模擴(kuò)大原來的倍得到，已知Zn對(duì)應(yīng)向量(n=1,2,3)Z1=-1+i(

17、1)當(dāng)=時(shí)，求Zn關(guān)于n的表達(dá)式。(2)當(dāng)=時(shí)，求使Zn為實(shí)數(shù)時(shí)所有n；將所有等于實(shí)數(shù)的Zn的倒數(shù)按原有次序排列成一個(gè)新數(shù)列求(b1+b2+bn)(3)當(dāng)0時(shí)，求Z1-Z2+Z2-Z3+Zn-Zn+1知識(shí)點(diǎn)：乘法的幾何意義，等比數(shù)列，極限。能力點(diǎn)：轉(zhuǎn)化與化歸思想，運(yùn)算能力，邏輯思維能力。11.已知Z為虛數(shù)，Z+是實(shí)數(shù)。(1)求Z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的集合。(2)設(shè)N1=2iZ+1，求復(fù)數(shù)W1所對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的集合。(3)設(shè)W2=+Z，求復(fù)數(shù)W2所對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的集合。知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模與共軛，復(fù)數(shù)減法的幾何意義，參數(shù)方程，集合，復(fù)數(shù)的乘、除法。能力點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想，邏輯思維能力。12.已知非零復(fù)數(shù)Z1，Z2滿足

18、等式2Z12+2Z1Z2+Z22=0,Z1,Z2與復(fù)平面上的點(diǎn)A，B時(shí)對(duì)應(yīng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)試判定OAB的形狀(2)若Z1-2+i=1，求OAB的面積的最大值。知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。能力點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想，邏輯思維與運(yùn)算能力。13.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足2Z+10，試求復(fù)平面上與復(fù)數(shù)Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡。知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的共軛的性質(zhì)，復(fù)數(shù)與不等式，反三角函數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義。能力點(diǎn)：邏輯思維能力，分析問題與解決問題的能力。14.已知復(fù)數(shù)Z=-i,W=+i，復(fù)數(shù)，Z2W3在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、Q，證明OPQ是等腰直角三角形(其中O為原點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模與共軛，復(fù)數(shù)乘法的幾何

19、意義。能力點(diǎn)：運(yùn)算能力，邏輯思維能力。15.設(shè)復(fù)數(shù)Z=cos+isin(0，W=并且W=,argW求知識(shí)點(diǎn)：三角恒等變形，復(fù)數(shù)的模與共軛，復(fù)數(shù)的輻角主值。能力點(diǎn)：分類討論與歸納思想，邏輯思維能力。16.等比數(shù)列Zn中，已知Z1=1，Z2=a+bi,Z3=b+ai(a,bR,a0)(1)求a,b的值；并將Z2表示成三角形式。(2)求滿足Z1+Z2+Zn=0的最小自然數(shù)n，并計(jì)算Z1·Z2Zn的值。(3)前100項(xiàng)中有多少項(xiàng)是實(shí)數(shù)?并求這些實(shí)數(shù)和。知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，復(fù)數(shù)的三角表式。能力點(diǎn)：轉(zhuǎn)化與化歸思想，分析與解決問題的能力。17.已知復(fù)數(shù)集合M=ZZ-2+i2ZCZZ-2-i=Z-4+iZC(1)試在復(fù)平面內(nèi)作集合M的圖形并說明圖形的名稱。(2)求集合M中元素Z輻角主值的取值范圍。(3)求集合M中元素Z模的取值范圍。知識(shí)點(diǎn)：集合、復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)的輻角主值，復(fù)數(shù)的模，點(diǎn)到直線的距離。能力點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想，邏輯思維能力。18.設(shè)復(fù)平面上有一系列向量(n=0,1,2)滿足如下關(guān)系：將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，再把它的模變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到，記OZn對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Zn(n=0，1，2)，若Z0=2+2i，(i為虛數(shù)單位)(1)求Zn(2)n這何值時(shí)，Zn為實(shí)數(shù)?將所有為實(shí)數(shù)的Zn按原有順序排列成數(shù)列an，寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。(3)求(a1+a2+an)知