(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理學(xué)案新人教A版必修4

1、12. 3.1 平面向量基本定理預(yù)習(xí)課本 P9394,思考并完成以下問題(1) 平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？(2) 如何定義平面向量基底?(3) 兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直?新知初探1.平面向量基本定理條件&, e2是冋一平面內(nèi)的兩個不共線向量結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對頭數(shù)入1,入2,使a入c+入2氏基底不共線的向量8, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底點睛對平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點：ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量；該平面內(nèi)任意向量a都可以用ei,e2線性表示，且這種表示是唯一的；基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都

2、可作為基底.2.向量的夾角條件兩個非零向量a和b產(chǎn)生過程uuu作向量0Aa,uuuOBb,則/AO0H做向量a與b的夾角Zohn范圍ow0W1800 0a與b同向特殊情況0 90a與b垂直，記作a丄b0 180a與b反向點睛當(dāng)a與b共線同向時，夾角B為 0,共線反向時，夾角0為 180,所以兩個向量的夾角的范圍是0w0ABC勺中線，已知AB=a,AC=b,則以a,b為基底表示AD=()11A.尹b)C *ba)解析：選 B 如圖，人。是厶ABC的中線，則D為線段BC的中點，從uuir uuur uuur uur uuur uuur uuur1uuuruuurBD=DC,即ADAB=ACAD,從

3、而AD=(AB+AC)=2(a+b) D. 150解析：選 D 如圖,1D.b+a10uuruuirumr4.在矩形ABCDKO是對角線的交點，若BC=ei,DC=e2,則OC=（)iiA. 2 +e2)B. 2(& 閲iiC. 2(2e2ei)D. 2(e2ei)uuiruuuruuir1uuir解析：選 A 因為O是矩形ABCD寸角線的交點，BC=ei,DC=e,所以O(shè)C= 2(BCuuuri+DC) = 2(ei+e2)，故選 A.uur uuu5.（全國I卷）設(shè)DABC所在平面內(nèi)一點，BC= 3CD，則（)uuuriuuir4uuirA.AD=3AB+3ACuuuriuuur4

4、uuirB.AD=3AB3ACuuur4uuuriuuirC.AD=3AB+3ACuuur4uuuriuuirD.AD=3AB3ACuuur uuir uuu uuuriuuir uuuriuuuriuuiri 解析：選A 由題意得AD=AC+CD=AC+ 3BC=AC+ 3AC 3AB= umr4uuurAB+3AC.6.已知向量a,b是一組基底，實數(shù)x,y滿足(3x 4y)a+ (2x 3y)b= 6a+ 3b,貝Uxy的值為_ .解析：a,b是一組基底，a與b不共線，T(3x4y)a+(2x3y)b=6a+3b,3x 4y= 6,x= 6,-解得-xy= 3.2x 3y= 3,y= 3,

5、答案：3a=k2ei+ i e2與b= 2ei+ 3e2共線，則實數(shù)k“ 5kk2二2 =37.已知ei,e2是兩個不共線向量,解析：由題設(shè)，知2 3k+ 5k 2= 0,11JULT UUUU1JULT2UUU12CNCM= 3AC 3CB=3b3UUUUUJUJUJUJT JULT1PM=MP= (MN+NP) = 3(a+b).10.證明：三角形的三條中線共點.JUT證明：如圖所示，設(shè)AD BE CF分別為ABC的三條中線，令A(yù)BJULTJULT=a,AC=b.則有BC=ba.AG2JULT JUT JUJT11設(shè)G在AD上,且AD=3，則有AD=AB+BD=a+(ba) = ?(a+b

6、).JUT JULTJULT1BE=AEAB= 2ba.JULT JULT JUJT2JUT JUT二BG=AGAB= 3ADAB1解得k=- 2 或 3.JULT&如下圖，在正方形ABCD中，設(shè)AB=a,JULT時，AC可表示為JULTJULTAD=b, BD=c,則在以a,b為基底uuur解析：以a,JULTc為基底時，將BD平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得.答案：a+b2a+c9.如圖所示, 設(shè)M N P是厶ABC三邊上的點，且UUUU1JULTBM=3BCJULT1UUU JULT1JULT JULTJULTCN= 3CA,AP= 3AB,若AB=a,AC

7、=b,試用JLurUJUJNP,PM表示出來.JUT JULT解：NP=APJUJJAN1JULT=3AB2JULT-3ACujuirMN，在以a，UJULTa,b將MN121 1 2=3(a+b) a= 3b a132 i2uur=-ba=-BE3 23BE .uuur2uuur G在BE上，同理可證CG=3CF，即G在CF上.3故AD BE CF三線交于同一點.層級二應(yīng)試能力達標(biāo)uuuruuuruuiruuuruuur1.在厶ABC中, 點D在BC邊上，且BD= 2DC，設(shè)AB=a,AC=b,則AD可用基底a,)b表示為（12 1A.2(a+b)B.a+ -b3T31 21C. 3a+ 3

8、bD. 3(a+b)uuuruuiruuur2uuur解析：選C/BD= 2DC,BD=3BC.uuuruuiruuruuir2uuiruur2uuuruuir1uuur2uuur12AD=AB+BD=AB+3BC=AB+ 3(AC-AB)=3AB+ 3AC=3a+?b.uuiruuiruuir2.AD與BE分別為ABC勺邊BC AC上的中線，且AD=a,BE=b,則BC=()42m24A. 3a+ 3bB. 2a+ 4b2 22 2C. 3a-3bD3a+3buuur1uuur2uuiruuuruuur2解析：選 B 設(shè)AD與BE交點為F,則FD= 3a,BF= 3b.所以BD=BF+FD=

9、1uuiruuur24b+ 3a, 所以BC= 2BD= a+ 3b.3如果ei,e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是（）A.若存在實數(shù)入i,入2,使得入iei+入2ei= 0,貝U入i=入2= 0B.平面a內(nèi)任一向量a都可以表示為a=入iei+入2e2,其中入i,入2 RC.入iei+入2e2不一定在平面a內(nèi)，入i,入2 RD.對于平面a內(nèi)任一向量a,使a=入e+入2e2的實數(shù)入i,入2有無數(shù)對解析：選 B A 中，（入i+入2）ei= 0,.入i+入2= 0，即入i=入2； B 符合平面向量基 本定理；C 中，入心+入2e2定在平面a內(nèi)；D 中，入i,入2有且只有一對

10、.uuiu uuuuuiuuuiuuuu uuuuuir4.已知非零向量OA,OB不共線，且 2OP=xOA+yOB，若PA=入AB（入 R）, 則x,y滿足的關(guān)系是（）14A.x+y 2= 0B. 2x+y 1 = 0X3.i0C.x+ 2y 2 = 0D. 2X+y 2= 0uuu uuur uuu uuu uuu uuu解析：選 A 由PA=X AB，得OAOP=X(OBOA),uuuuuu uuu uuu uuu uuu即OP= (1 +X)OAX OB.又 2OP=XOA+yOB,x= 2+ 2X,消去X得x+y= 2.y= 2X,5.設(shè)ei,e2是平面內(nèi)的一組基底，且a=ei+2e

11、2,b=ei+e2，貝Uei+e2=+b.a=ei+ 2e2,解析：由b= ei+e2,2 i=3a+ 3b.答案：26.已知非零向量a,b,c滿足a+b+c= 0，向量a,b的夾角為 i20,且|b| = 2|a| ,則向量a與c的夾角為_ .解析：由題意可畫出圖形，在厶OABK因為/OAB=60, |b| = 2|a| , 所以/ABO=30,OALOB即向量a與c的夾角為 90.答案：907.設(shè)ei,e2是不共線的非零向量，且a=ei 2e2,b=ei+ 3e2.(i)證明：a,b可以作為一組基底；以a,b為基底，求向量c= 3eie2的分解式；若 4ei 3e2=Xa+b,求X,口的值

12、. 解：證明：若a,b共線，則存在XR,使a=Xb,則ei 2e2=X(ei+ 3e2).由ei,e2不共線，得X=i,3X= 2.X不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底.,i 2故ei+e2=ab+i i3a+3bi ie2= 3a+尹X= i,2ii設(shè)c=ma+ nb(m n R)，貝U3eie2=m ei 2e2)+n(ei+ 3e2) =(nun)ei+(2m3n)e2.耐n= 3,m= 2,?2m+ 3n= 1n= 1.(3)由 4ei 3e2=入a+口b,得4ei 3e2=入(ei 2e2) +口(ei+ 3e2)=(入+口)ei+ ( 2入+ 3口)e2.入+口= 4,入=3,?2入+ 3(!= 31= i.故所求入，1的值分別為 3 和 i.(i)求厶ABMWABC的面積之比.為 1 : 4.x+2=1 ,三點共線及O, N, C三點共線？x4+y=1&若點 皿是厶ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足:UULJUT3UULTiUULTAM = 4 AB + 4 AC.c= 2a+b.若N為AB中點，AM與CN交于點0,設(shè)UULT UUULTUUUT解：(1)如圖,UUUIU由AM3UUUT1UUUT=4AB+