波利亞怎樣解題實(shí)例分析講解學(xué)習(xí)

1、怎樣解題 一、熟悉問題1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能復(fù)述它嗎？二、尋找解題方法1、以前做過類似的題嗎？可以仿照以前的解題過程寫出此題嗎？ 2、與未知已知 相關(guān)的定理、公式、法則、概念都有什么？這道題是相關(guān)的定理、公式、法則、 概念的直接應(yīng)用嗎？ 3、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？ 4、你能利用 已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？ 5、根據(jù)與未知相關(guān)的定 理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定 理、公式、法則、概念嗎？若不能解題，可考慮：1、已知條件都用上了嗎？ 2、能不能得到一個(gè)比較特殊的情況？三、書寫過程1、你能按步驟寫出你

2、的分析過程嗎？2、你所寫的步驟都正確嗎？四、總結(jié)與回顧1、以前做過同類型的題嗎？它與同類型的其它題有什么異同？2、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？3、解題過程能簡化嗎？例 1 、已知：如圖，在 ABC中, AB=AC求證：/ B=Z CAB分析：冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：/ B=Z C冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：在三角形ABC中，AB=AC問題3、以前做過類似的題嗎？答：似乎沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎沒有。不能直接用定理解出此題。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：此題條件只有一個(gè)，似乎不能直接重新分組

3、。問題6你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：似乎不能。問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：1、未知是求/ B=Z C,在以前學(xué)過的定理中有根據(jù)平行線證角相等、利用角 平分線證角相等、利用度數(shù)證角相等、利用全等三角形證角相等。由于這些都沒 有出現(xiàn)，是不是能引入輔助元素？觀察/ B、/ C所處的位置，平行線、角平分 線都不合適、角的度數(shù)沒有出現(xiàn)，考慮運(yùn)用全等三角形來解此題。 但此題中/ B、 /C處在同一個(gè)三角形中，需要將此兩角放入到兩個(gè)不同的三角形中，需引入一條線將此三角形分成兩個(gè)三角

4、形， 并將/ B / C分別處于兩個(gè)三角形中，可在A 點(diǎn)引下一條線與BC相交。2、新問題出現(xiàn)了：如何證明/ ABD/ACD答：已知中含有 AB=AC從圖中可 得AD=AD尚缺少一個(gè)條件。3、新問題：加入什么條件就可以了？答：/ BAD2 CAD可利用角邊角進(jìn)行判定。 或BD=CD可利用邊邊邊進(jìn)行判定。或AD丄BC,可利用直角三角形的全等的判定 進(jìn)行判定。4、新問題：如何實(shí)現(xiàn)？答：在做線的時(shí)候可以利用做圖做出其中的某一個(gè)條件。 如做角A的角平分線，或做BC邊上的中線，或做BC的垂線。到此，此題可解。冋題8、如何書寫過程？答：先寫線的做法，然后寫全等證明，最后得到未知求證。問題9、解題過程能簡化嗎

5、？答：尚無更簡化方法。問題10、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：此題條件少，沒有直接出現(xiàn)三角形，需要構(gòu)造出三角形求解。可得到一個(gè)結(jié) 論：利用三角形全等證明一個(gè)圖形中的兩角相等進(jìn)可行的。要求是要將此兩角放到兩個(gè)三角形中，然后找全等的條件。例2、求二次函數(shù)y=-3x2-6x+5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？ 答：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)。冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-3x 2-6x+5問題3、以前做過類似的題嗎？答：做過。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式?答:能直接運(yùn)用公式（一b，4aC b2 ）求解。2a4a問題

6、5、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答:此類題型主要考查對二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的掌握情況， 以及準(zhǔn)確的計(jì)算能力例3、已知：如圖，在 ABC中，AB=5, AC=3 D為BC中點(diǎn)，求AD取值范圍冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？ 答：求AD的取值范圍。冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：在 ABC中, AB=5, AC=3 D為 BC中點(diǎn)問題3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊和大于第三邊，兩邊差小于第三邊 問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：條件中兩條邊的邊長分別是 AB AC所

7、屬三角形為 ABC,而所求AD邊長所屬是 ACDS ADC問題6你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：已知中的邊長為AB、AC,要想使用三角形三邊關(guān)系，需將 AB AC和AD邊 聯(lián)合到一個(gè)三角形中?？紤]：需移動(dòng)AB或AC并到AC或AB與AD或包含AD的線 段構(gòu)成一角三角形。移動(dòng)的方法考慮使用全等三角形的方法。延長 AD至E,使AD=AE 則可出現(xiàn)厶 ACDA EBD 可得 AC=BE 貝U 2<AE<8可得 1<AD<4問題7、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：1、有三角形的中線，可構(gòu)造全等三角形。2、當(dāng)條件分散時(shí)，可向定理集中

8、。例4、 已知：如圖， ABC中, BF平分/ ABC CF平分/ ACB ED/ BC,求證：DE=BE+CD冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎? 答：線段DE的長等于EF與FD的和 問題 2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：角平分線BF和CF,平行線DE平行于BC問題 3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題 4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答： 角分線定理,平行線性質(zhì)。問題 5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答： 從圖中可得,此題角平分線與平行線有重合部分。問題 6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得/ CBF= EBF根據(jù)

9、平行線性質(zhì)可得/ CBF= EFB 進(jìn)而可得/ EFBK CBF可以得到等腰三角形EBF,可得BE=EF根椐對稱原則可 得CD=FD進(jìn)而此題可解。問題 7、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答： 1、有角平分線和平行線，可得等腰三角形。2、求證線段和可以用分段相等的形式得到結(jié)論。例6已知x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，則m2 +2mn+rf的值。問題 1 、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：代數(shù)式 m2 +2mn+n2 的值。問題 2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：x =1是一元二次方程 x2 +mx+n=0的一個(gè)根。問題 3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題

10、 4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答： 不能直接運(yùn)用公式求解。問題 5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答： 不能。問題 6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)方程根的含義可知12 +1X m+ n二0，進(jìn)而可得m+n=Q問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法 嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：根據(jù)因式分解的公式可將未知變形為 m2+2mn+六=(m+n 2，即若知m+n 的值可得未知。到此，此題可解。例7、如圖，在四邊形 ABCD中，已知A吐CD M N、P分別是AD, BC的中點(diǎn)，3/ B

11、DC=70 cos/ ABD= ，求/ NMP勺度數(shù)。2冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求/ NM啲度數(shù)。冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：A吐 CD M N、P分別是 AD, BC的中點(diǎn)，/ BDC=70 cos/ ABD=。2問題3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：相關(guān)的定理有中點(diǎn)現(xiàn)的中位線，由三角函數(shù)可求出相應(yīng)的角的值；不能直接運(yùn)用公式求解。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？.3答：1、由中位線定理可知，AB=2MP cos / ABD=可知/ ABD=3$進(jìn)而可得/2MPD=3°32、由中位線定理可知

12、DC=2NP由/ BDC=70可知/ BPN=70;進(jìn)而可得/NPD=110 進(jìn)而可得/ MPN=14°33、由中位線定理和已知 AB=CD知MP=NP進(jìn)而可知MP=NP進(jìn)而可得/ PMN= 綜合以上因素，可得/ NMPMMNP=20Q到此，此題可解。問題5、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：1、利用一切機(jī)會(huì)將已知重新分組與組合，可得新的結(jié)論，將新結(jié)論與其它 已知相結(jié)合可得更新的結(jié)論，可能能到達(dá)終點(diǎn)。2、有中位線，可尋找相等的線段。例8、如圖所示：已知/ xO尸9Q0,點(diǎn)A, B分別在射線Ox Oy上移動(dòng)，/ OAB 的內(nèi)角平分線與/ OBA勺外角平分線交于C,求

13、/ ACB的度數(shù)。冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求/ ACB的度數(shù)冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：/ xOy= 90°,點(diǎn)A，B分別在射線Ox Oy上移動(dòng)，/ OAB勺內(nèi)角平分線與/ OBA的外角平分線交于C問題3、以前做過類似的題嗎？答：似乎沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，角平分線定理。不能直接用定理解出 此題。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：/ ABO的外角的度數(shù)與/ BAC是有關(guān)聯(lián)的，但這中間似乎很亂。清理一下：/ ABO的外角/ABE在度數(shù)上等于（90°+Z OAB，則外角

14、的一半/ EDB應(yīng)等于-2(90°+/ OAB,而/ ABC應(yīng)等于(900- / OAB,則/ ABC應(yīng)等于二者之和：11/ ABC= ( 90°+ / OAB)+ ( 90°- / OAB)= ( 135°-丄 / OAB)22問題6你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法 嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：1、未知是求/ ACB的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理，將未知轉(zhuǎn)化成求式子 1800/ CBA-/ BAC的度數(shù)。2、根據(jù)以上所得，則有/ ACB

15、=180/ CBA-/ BAC=180 (135。- - / OAB -2 2 / OAB=45 原題得解。即無論A、B如何運(yùn)動(dòng)，只要角平線不改，/ ACB永遠(yuǎn)等 于 45。o問題8、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：例9、如圖， ABC為正三角形，BD是中線，延長BC至 E,使CE=CD求證：DB=DE冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求證：DB=DE冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答： ABC為正三角形，BD是中線，CE=CD 問題3、以前做過類似的題嗎？問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性質(zhì)和判定。不能直接用定理證明。問題5、你能對

16、條件按所屬類型重新分組和組合嗎？11答：根據(jù)已知中厶ABC為正三角形，BD是中線可得/ DBC=1 / ABC=1 / ACB。22問題6你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)已知中CE=CD可得/ CEDM CDE問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：1、未知是求證DB=DE如何能出現(xiàn)？答：在以前學(xué)過的定理中等腰三角形的判斷，只要/ DBCM CDE即可；2、新問題：與此相關(guān)聯(lián)的角有那些？答：與/ DBC相關(guān)聯(lián)的角是/ ACB而/ ACB又是厶DCE的外角，這似乎可行；3、有新進(jìn)展

17、嗎？答：由三角形外角定理可得/ CED=1 / ACB進(jìn)而可得/ DBCM CDE原2題得證。冋題8如何書寫過程？問題9、解題過程能簡化嗎？答：尚無更簡化方法。問題10、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：1、證同一三角形中的邊相等時(shí)，可考慮等腰三角形的判定。2、在同一三角形中有等邊就有等角。例10.人。是厶ABC的角平分線，DE, DF分別是 ABDPACD的高，求證：AD 垂直平分EF。EFH冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：AD垂直平分EF冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：AD是厶ABC勺角平分線，DE DF分別是 ABDfA ACD的高問題3、以前做過類似的題

18、嗎？答：做過。解過有關(guān)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的證明。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：角平分線定理。垂直平分線定理。不能直接用定理解出此題。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：AD是厶ABC的角平分線，DEDF分別是 ABDffiAACD的高，聯(lián)和可得DE=DF 問題6你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？ 答：似乎不能。問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：未知是求AD垂直平分EF，在以前學(xué)過的定理中有垂直平分線定理的逆定理， 只要能證明DE=DFW可。原題得證。例11、父親死后留下1600克朗給三個(gè)兒子，遺囑上說，老大應(yīng)比老二多分 200 克朗，老二比老三多分100克朗，問他們各分了多少？冋題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求兄弟三人各分多少錢。冋題2、已知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗。問