高三數(shù)學思想方法專題講義(絕對精品)

1、平果二中高三數(shù)學思想方法專題講義1、函數(shù)與方程的思想1若是奇函數(shù)，求a的值2若，求證方程至少有一個正根，且不超過ab3已知為偶函數(shù)，當x0時，求的值4已知，求的最大值5已知，求的值6設函數(shù)（a，b，cZ）是奇函數(shù)，且1，上單調遞增，求a，b，c之值7設（1）判斷函數(shù)的單調性；（2）若反函數(shù)為，證明方程0有唯一解；（3）若，求x的取值范圍8等差數(shù)列 的首項，前n項和為，若（lk），問n為何值時，最大？9已知x，y，z三個實數(shù)滿足，y，z1，證明：10已知a，b，c，d為實數(shù)，且滿足，求證；11設是定義域為R的單調奇函數(shù)，且有，若，求實數(shù)k的范圍12已知是定義在（，0）（0，）上的偶函數(shù)，當（0，

2、）時，當（，0）時，試解不等式13已知函數(shù)的值域為0，1（1）求b，c的值；（2）求證：14奇函數(shù)的定義域為R，當時，（1）求在R上的解析式；（2）若a，b（ab），函數(shù)的值域為，試確定a，b之值15已知關于x的實系數(shù)二次方程有兩個實根，證明：（1）如果，那么且；（2）如果，且，那么，（1993年全國高考）2、分類討論的思想1設a，b是不等于1的正常數(shù)，R，求的定義域2解關于x的不等式：3設（，），求使y為負值的x的取值范圍4設0，對于的任意一個值，不等式恒成立，求實參數(shù)k的范圍5已知a，b，c，d是空間四條直線，如果，bc，ad，bd，那么（ ）Aab或cd Bab，cd Ca，b，c，d中

3、至多有一對直線互相平行Da，b，c，d任何兩條直線都不平行6設P和Q是棱長為a的正方體表面上的兩點，求的最大值7已知數(shù)列，都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p，q，其中，且，設，為的前n項和，求8從甲、乙、丙、a、b、c、d七個人中選五人排成一排，其中甲不在排首，乙不在排尾，丙不在中間的排法有多少種？9求函數(shù)（0，）的最大值和最小值10求一定點M（m，0）到橢圓的動點P的最短距離已知直線和拋物線，點A位于直線上，問拋物線上哪一點與點A的距離最近？3、數(shù)形結合的思想1設，a，bR，且ab，求證：2求下列函數(shù)的最值：（1）的最小值；（2）的最大值3對于滿足的實數(shù)p，使得恒成立，求x的取值范圍4已

4、知，求的最值5討論方程有相異實根的個數(shù)6已知，求證：7已知等差數(shù)列的第p項為q，第q項為P（），求它的第項和第項8求證：9在ABC中，已知a10，cb8，求證：10設C，R，且，求證：為純虛數(shù)11已知，求12已知u，v，是正數(shù)，且，求的最小值13求函數(shù)的值域14已知，求證：15設定點M（3，4），動點N在圓上運動，以OM，ON為兩邊作MONP，求P點的軌跡16已知表示兩曲線有公共點，求半徑r的最值17當m，a，b滿足什么條件時，橢圓（，）與拋物線有四個交點？4、 等價轉化的思想1已知x，y R，且滿足方程求下列各式的最小值：（1）；（2）2集合Ax ，B ，C ，當a取什么實數(shù)時，且同時成立3

5、解方程：4在ABC中，且最大角與最小角之差為90，求證它的三邊之比為（）（）5如果a，b，cR，并滿足，求的最值6設四面體的每組相對棱的長分別為a，b，c，求此四面體的體積7已知a，b，x，yR，且，求證：8若，求的范圍9若ABC的三個內角，A，B，C滿足，求證：ABC是等腰三角形115個不同的紅球和2個不同的白球排在一個圓周上，使2個白球不相鄰有幾種排法？12已知，求證x，y，z中至少有一個等于01、函數(shù)與方程的思想?yún)⒖即鸢敢弧?提示：由，解得2設，則在（，）上連續(xù)，且又，若，則就是方程的根，若，又，故在（0，）內至少存在一個，使得3提求：令，則， ，又， 4由已知得，令，10， 在，1上單

6、調減少，在1，10上單調增加，而， 因此最大值為5令，則，與已知條件聯(lián)立，解得，由，整理得，解得6 為奇函數(shù)，解得由，得又，a，b，cZ， ，7（1）的定義域為，設，可以證明，在（2，2）上是減函數(shù)， 在（2，2）上是減函數(shù)（2） 為減函數(shù)，由與有相同的單調性知，也為減函數(shù)， 0有唯一解，且解為（3） ，且為減函數(shù)，不等式， 解得，或8設， ， 依二次函數(shù)圖象為開口向下的拋物線及知，當時，最大，由于N，因此，當為偶數(shù)，時，最大，當奇數(shù)，時，最大9令，（0，1）， ，又為一次函數(shù)， 在（0，1）內恒為負10由條件知，故a，b是方程的兩個實根，由，知故 11 為奇函數(shù)，又定義在R上， 又，且為單調

7、函數(shù)，則可知為單調減函數(shù)由，則，即，由，解得12當（，0）時，（0，）， 為偶函數(shù)， 由0 13（1）設，由題意知y1，3，由，知的解集為 ，（2）設，寫為分段函數(shù)的形式易知t的值域為，當，時， 在，上為增函數(shù)， 的值域為，從而， 當，時，同樣成立14（1）（2）由題意知，因此只需討論a，b均為正數(shù)即可（同為負時添“一”即可）有下列三種情形（由（1）的增減性），、無解，由得，又奇函數(shù)， a，b的另一組解為，15（1）設，根據(jù)根與系數(shù)關系知又二次函數(shù)的開口向上， 即（2）由，得 ， （*）由此可見，的每一個實根或在（2，2）內或在（2，2）之外，若兩根、均在（2，2）之外，與4矛盾；若（或）在（

8、2，2）之外，另一根（或）必在（2，2）之內，與（*）式矛盾由此可知，、均在（2，2）內，即，2、分類討論的思想?yún)⒖即鸢?提示：若，當時，R；當時，若，當時，R；當，若，當時，R；當時，2當時，；時，原不等式變?yōu)闀r，。時，或時，或4由知，即 ，兩邊取對數(shù)得當時，當時，當時，R5提示：設（0，1，），就k的取值分類：（1）（2）（3）解（1）、（2）、（3），然后并起來，k的取值范圍是6（1）若a，b相交，則可確定一平面，由，cd（2）若ab，c與d的位置關系不確定，可能平行，可能相交，也可能異面（3）若a，b異面，由，c與a，b的公垂線平行或重合，同理d與a，b的公垂線平行或重合因此cd綜上所

9、述，四條直線中必有一對相互平行，故選A7（1）當P，Q兩點在同一平面上時，（2）當P，Q分別在相鄰和兩個面上時，（3）當P，Q分別在相對的面上時，因此，的最大值為8 ， （1）當時， ，分子、分母同除，得 （2）當時，有9可分為三大類：首位是乙，首位是丙，首位是a，b，c，d（1）若首位是乙，中間可排甲，a，b，c，d中選一人，共，再排末位，是在甲a，b，c，d這4人加丙選一，共有，因此共有（種）（2）仿（1）也有（種）（3）首位數(shù)取a，b，c，d中任一個，以丙在末位、丙不在末位分為兩類：分別有（種）、（種）綜上所述，滿足條件的排法共有（種）13，（1）若時，當，即時，；當，即時，（2）若，因

10、1，1，則當，即時，；當，即時，14， ， 當時，；當時，；當時，15設A（2，a），拋物線上點M（，t）（），則（1）當時，此時，M的坐標為（，）或（，）（2）時，此時M點的坐標為（2，0）3、數(shù)形結合的思想?yún)⒖即鸢?將，分別看做兩直角三角形的斜邊，于是可以構造圖21設RtPOA中，PO1，OAa，則PA在RtPOB中，OBb，則在PAB中，于是可得（當結論一樣成立）2（1）提示：配方得，可視為P（x，0）分別與A（，），B（，）這兩點的距離之和由于A，B分別位于x軸的上方和下方，顯然當P在A，B連線與x軸交點時最短，最小值為（2）提示：配方得，可視為P（x，0）分別與A（1，5），B（3，

11、2）的距離之差的最大值，由于A，B位于x軸的同旁，由幾何知識知，P在AB與x軸交點的位置上，最大，最大值為，直線AB的方程為令，得故點P位于（，0）時，3原不等式整理成>0，設可視為p的一次函數(shù)，由圖象可知，在0，4恒大于零，只需用即或4，因此，u表示單位圓上的點z與點A（2，）的距離的2倍由幾何知識知，分別是最小值、最大值，即，5提示：在同一坐標系中作出和的圖象如圖，從圖象可以看出：當，時，方程有兩個不同的根；當時，方程有三個不同的根；當時，方程有四個不同的根；當時，方程沒有根6設數(shù)軸上三點A，P，B的坐標分別為1，1，則 ， 即P是AB的內分點，于是即7由等差數(shù)列的通項公式，得點（n

12、，）在直線上設A（p，q），B（q，p）是平面直角坐標系中的兩點，則AB的直線方程為，即 點（n，）在這條直線上， 于是，8提示：設A（，），B（，），C（，），則原式左邊右邊9如圖，以線段BC的中點O為原點建立直角坐標系， ，, A（，）在雙曲線的右支上從而，由焦半徑公式得， ， 10在復平面內，z，a，a所對應的點分別為P，A，B， ，故P不可能在坐標原點，即AB的中點又R， A、B在實軸上動點P的軌跡為線段AB的中垂線除去AB的中點P點的軌跡為虛軸（除去原點）z為純虛數(shù)11設A（，），B（，），則A，B在單位圓上，連結AB若C是AB的中點，則點C的坐標為（，），連結OC，則OCAB設D（

13、1，0），連結OA，OB，則有DOA，DOB，DOC，tgtgDOC，12如圖，在平面直角坐標系xOy中，設點（u，2），B（v，1），則，而，即，等號成立條件，即，時成立故13令，原函數(shù)為（），設，則 方程表示斜率為的直線，方程表示四分之一圓原問題轉化為過圓上的點，求中直線截距的取值范圍如圖，過圓上的點（0，）時，截距最小，當直線與圓相切時，其截距最大，即解得 14如圖，在RtACB中，ABm，BCn，則 又 ， ，即 由、知，16如圖，設P點所對應的復數(shù)為，M所對應的復數(shù)為，N所對應的復數(shù)為， ， 即， ， 但點M，O，N共線時，不能構成平行四邊形，由與，解得，；，因此，所求軌跡為圓，但應

14、除去兩點（，），（，）17將方程化為標準形式，它表示中心在（0，0），長半軸為2且在x軸上，短半軸為1的橢圓而方程表示圓心在A（4，0）的同心圓系，如圖，可知當時，兩曲線有公共點即，18由消去x，得要使兩曲線有四個交點，方程在（b，b）內有兩個不同的實根由于函數(shù)為開口向上的拋物線，而對稱軸方程為因此，有即兩曲線有四個交點的充要條件為，且4、等價轉化的思想?yún)⒖即鸢?（1）把原方程配方，得 ， （2）原方程配方，得，由（1）知而xy在，上為增函數(shù)， xy的最小值為2 B2，3，C2，4，要使成立，與4都不是方程的解；要使，3是方程的解，即 ，或當時，A2，3，不滿足，故舍去；當時，A3，5，合題意

15、，故為所求3原方程可化為，此方程的解等價于雙曲線的右支與直線的交點的橫坐標，解得大于或等于4時的解為故原方程解為4已知等式設最小角為，則三個內角的大小順序為， abc（），由，得 平方得因此，是方程的兩根，解此方程得，（ ） 5設P的坐標為（a，b），則點P滿足方程設Q的坐標為（c，d），則點Q滿足，若兩圓的連心線分別交圓兩圓于A，B，C，D，如圖，的最大值為，最小值為，6如圖，將四面體“裝入”它的外接長方體內，使得長方體相鄰的三個面的對角線長分別等于四面體各組棱長設長方體的長，寬，高分別為x，y，z，則，由、解得， 7所證問題可轉化為點（a，b）與（x，y）間的距離，已知點（a，b）在：上，點（x，y）在：上，且，因平行直線上任意兩點間的距離不小于這兩平行線的距離， 8 ， ，可看做圓上的動點，P（x，y）到二定點A（3，4），B（3，4）的距離之和，而A，B又在圓上，因此，當P與A或B重合時，為最