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1、習(xí)題一一、填空題(每空3分,共30分)1. 則 , 2. 寫出的全部值 3. 4. , 5.沿圓周的正向積分 6. 級(jí)數(shù)的收斂半徑 7. 的泰勒展開式是 函數(shù)的拉普拉斯變換為 二、選擇題(每題3分,共15分) 1.方程所表示的曲線是 ( )(A)橢圓 (B)直線 (C)直線 (D)圓周 2. 已知,則( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3. 為的( )(A)一級(jí)極點(diǎn) (B)二級(jí)極點(diǎn) (C)三級(jí)極點(diǎn) (D)四級(jí)極點(diǎn)4. 設(shè)=L,則L的值是( )(A) (B) (C) (D)5. =F,=F,下列關(guān)于Fourier變換的卷積公式說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )(A) (B)F (C)F (D)F三1.
2、(本題5分)其中為正向.2(本題5分)利用留數(shù)計(jì)算為正向圓周:3. (本題5分)計(jì)算.四假設(shè)1. (本題8分)假設(shè)為解析函數(shù),試確定的值.2.(本題8分)將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并指出它的收斂半徑.3.(本題8分)將函數(shù)分別在內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù).4. (本題8分)函數(shù)有哪些奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它是幾級(jí)極點(diǎn)。5.利用留數(shù)的方法求的laplace逆變換。習(xí)題二一填空1則 ;2方程所表示的曲線是 ;3= ;4.設(shè),則= ;5為的 級(jí)極點(diǎn);6已知 ,求= ;7的泰勒展開式是 ;8設(shè)為單位脈沖函數(shù),則 ;9級(jí)數(shù)是 (收斂或發(fā)散);阿10. 若L ,則L 的值是 ;二選擇復(fù)數(shù)方程表示的曲線是 ()A、直線 B
3、、圓周 C、橢圓 D、雙曲線2在復(fù)變函數(shù)中,下列等式中不正確的是 ( )(A) (B)(C) (D) 3設(shè)=F,則F的值是( )(A) (B) (C) (D)4為的( )(A)一級(jí)極點(diǎn) (B)二級(jí)極點(diǎn) (C)可去奇點(diǎn) (D)本性奇點(diǎn)5設(shè),其中、為實(shí)數(shù)列,若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,下列說(shuō)法中不正確的是 ( )(A) (B)、同時(shí)收斂(C)收斂,條件收斂 (D)收斂三1(本題5分)計(jì)算積分。 2 求為圓周:。 3. 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑四1.判斷函數(shù)的解析性。2.將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并指出它的收斂半徑3. 計(jì)算。4. 利用Fourier變換求積分方程的解,其中5. 利用拉氏變換求解常微分方程初值問題:。習(xí)
4、題三一 填空1arg()= ; ;2 ;3積分= ,其中取正方向; 4= ;5 ;6 ;7級(jí)數(shù)的斂散性為: ;(收斂或發(fā)散)8_ _;是函數(shù)的_ _級(jí)極點(diǎn)。二選擇復(fù)數(shù)方程表示的曲線是 ()(A)直線 (B)射線 (C)橢圓 (D)圓周2在復(fù)變函數(shù)中,下列等式中不正確的是 ( )(A) (B)(C)(D)3.為的 ( )(A)一級(jí)極點(diǎn) (B)解析點(diǎn) (C)可去奇點(diǎn) (D)本性奇點(diǎn)4的解析性為 ( )(A)復(fù)平面上處處解析 (B)僅在點(diǎn)處解析(C)復(fù)平面上處處不解析 (D)復(fù)平面上處處可導(dǎo)5 ( )(A)0 (B)1(C) (D)三1.已知=F,求F。2. 求為圓周:。3. 計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂半徑四
5、1.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)為解析函數(shù),試確定m、n的值。2.將函數(shù)在處展開為泰勒級(jí)數(shù)3. 函數(shù)有哪些奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它是幾級(jí)極點(diǎn)。4. 求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。5.求方程滿足初始條件的解2007年復(fù)變函數(shù)與積分變換試卷一、 填空題(本小題共5小題,每小題3分,滿分15分)(1)已知函數(shù)是解析函數(shù),則 , , .(2)設(shè)的Taylor級(jí)數(shù)為,則該級(jí)數(shù)的收斂半徑為 .(3)已知,則 . (4)計(jì)算 .(5)設(shè)則 .二、選擇題(本小題共5小題,每小題3分,滿分15分)(1)下列說(shuō)法正確的是( )(A)若在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo),則在區(qū)域內(nèi)解析。(B)若在點(diǎn)解析,則在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)
6、。(C)若在點(diǎn)連續(xù),則在點(diǎn)可導(dǎo)。(D)若在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)解析。(2)將平面上的曲線映射成平面上的圖形為( )(A)。 (B)。 (C)。 (D)。(3)設(shè)為正向圓周,則積分( )(A) (B) (C) (D)(4)級(jí)數(shù)( )(A)斂散性不定。 (B)發(fā)散。 (C)條件收斂。 (D)絕對(duì)收斂。(5)是函數(shù)的( )(A)非孤立奇點(diǎn)。 (B)可去奇點(diǎn)。 (C)一級(jí)極點(diǎn)。 (D)本性奇點(diǎn)。三、(超出范圍)(12分)驗(yàn)證在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù),并求以此為虛部的解析函數(shù),且使.四、計(jì)算下列各題(本小題共6小題,每小題5分,滿分30分)(1); (2),其中,取正向;(3),其中,取正向;(4),其中,取正
7、向;(5),其中,取正向;(6)。五、(12分)將函數(shù)分別在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù):(1); (2); (3)六、(12分)用積分變換解微分方程,.七、(超出范圍)(4分)設(shè)在上解析,且,證明 .2008年復(fù)變函數(shù)與積分變換試卷一、 填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分。)(1)的主值是 。(2)已知為解析函數(shù),則= , ,= 。(3)如果的Taylor級(jí)數(shù)為,則該級(jí)數(shù)的收斂半徑為 。(4)設(shè),則Res 。(5)設(shè) 則 。二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分。)(1)若,則( )(A)。 (B)(為任意整數(shù))。(C)。 (D)(為任意整數(shù))。(2)設(shè)曲線為單位圓,取正向
8、,則積分( )(A)0 (B)。 (C)。 (D)。(3)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂,則該級(jí)數(shù)必在( )(A)點(diǎn)處絕對(duì)收斂。 (B)點(diǎn)處條件收斂。(C)點(diǎn)處收斂。 (D)點(diǎn)處發(fā)散。(4)將平面上的曲線映射成平面上的曲線( )(A)。 (B) 。 (C)。 (D)。(5)是函數(shù)的( )(A)本性奇點(diǎn)。 (B)可去奇點(diǎn)。 (C)一級(jí)極點(diǎn)。 (D)二級(jí)極點(diǎn)三、(10分)已知調(diào)和函數(shù),求調(diào)和函數(shù),使成為解析函數(shù),并滿足。四、(25分)計(jì)算下列積分:(1),其中是從到的直線段;(2),正向(3),正向(4);(5)。五、(15分)將函數(shù)分別在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù)。(1); (2); (3)。六、
9、(5分)已知函數(shù)(),求的Fourier變換。七、(10分)應(yīng)用Laplace變換解微分方程:八、(5分)如果是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù),那么在內(nèi)是否一定也是解析函數(shù)?為什么?專業(yè):電學(xué)類各專業(yè)課程名稱:復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)分:3試卷編號(hào)(A)課程編號(hào):4110731考試方式:閉 卷考試時(shí)間:100分鐘擬卷人(簽字):擬卷日期:2009.05.25審核人(簽字):得分統(tǒng)計(jì)表:得 分一選擇、填空題:(共45分,每題3分)1arg()= ; ;2若C取正向, 在復(fù)平面上解析,則 ; 3在圓域內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)為 ;4 (化簡(jiǎn)到基本復(fù)數(shù)形式) ;5 _ _;是函數(shù)的_級(jí)零點(diǎn);6 _ _; ;7若 的收斂半徑R=
10、;8由將平面上的曲線映射成平面的曲線軌跡是 ( ) (A)直線 (B)圓 (C)射線 (D)角形區(qū)域9在復(fù)變函數(shù)中,下列等式中不正確的是 ( )(A) (B)(C) (D) 10關(guān)于的值,下列說(shuō)法中最準(zhǔn)確的說(shuō)法是 ( ) (A)可能與C的積分路徑有關(guān) (B)有時(shí)與C的積分路徑有關(guān),有時(shí)無(wú)關(guān)(C)始終與C的積分路徑無(wú)關(guān),只與C的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān) (D)不僅與C的積分路徑有關(guān),且與C的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)11的解析性為 ( )(A)復(fù)平面上處處解析 (B)復(fù)平面上有時(shí)解析,有時(shí)不解析(C)復(fù)平面上處處不解析 (D)復(fù)平面有時(shí)可導(dǎo),有時(shí)不可導(dǎo)12拉氏變換下的卷積為 ( )(A) (B) (C) (D) 得
11、分二、解答題(共15分,每題5分)1、(本題5分)若F ,試計(jì)算的傅氏變換。2、(本題5分)求,其中C為正向。3、(本題5分)設(shè)為區(qū)域D上的解析函數(shù),試證明:當(dāng)在D上也解析時(shí),為常數(shù)。得 分三、解答題(40分,每題10分)1、 (本題共10分)將在內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)2、(本題共10分)利用拉氏變換的性質(zhì)求積分3、(本題共10分)利用留數(shù)計(jì)算廣義積分4、(本題共10分)求的拉氏逆變換專業(yè):電學(xué)類各專業(yè)課程名稱:復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)分:3試卷編號(hào)(B)課程編號(hào):4110731考試方式:閉 卷考試時(shí)間:100分鐘擬卷人(簽字):擬卷日期:2009.06.05審核人(簽字):一、客觀題填空題(每空3分,
12、共30分)1則 , 2寫出的全部值 3. , .4.沿圓周的正向積分 級(jí)數(shù)的收斂半徑 .的泰勒展開式是 . 函數(shù)的拉普拉斯變換為 選擇題(每題3分,共15分)將化為三角形式,正確的是 ( )(A)(B)(C) (D)2. 方程所表示的曲線是 ( )(A)扇形 (B)直線 (C)直線 (D)圓周 3的解析性為 ( )(A)復(fù)平面上處處解析 (B)僅在直線上解析(C)復(fù)平面上處處不解析 (D)復(fù)平面上處處可導(dǎo)4關(guān)于冪級(jí)數(shù),下列說(shuō)法中正確的是 ( )(A)在內(nèi)收斂 (B)在內(nèi)收斂,在有時(shí)收斂,有時(shí)發(fā)散(C)在內(nèi)發(fā)散 (D)在內(nèi)收斂,但在發(fā)散5. 設(shè)F ,F ,下列關(guān)于Fourier變換的卷積公式說(shuō)法
13、錯(cuò)誤的是 ( )(A) (B) F 得 分(C)F (D)F 二、計(jì)算下列積分(3小題,共15分)1(本題5分)其中為正向.2(本題5分)利用留數(shù)計(jì)算為正向圓周:.3. (本題5分)計(jì)算.得 分三、計(jì)算題(5小題,共40分) 1. (本題8分)設(shè)為解析函數(shù),試確定的值.2. (本題8分)將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并指出它的收斂半徑. 3.(本題8分)將函數(shù)分別在內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù).4. (本題8分)函數(shù)有哪些奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它是幾級(jí)極點(diǎn)。5. (本題8分)求的拉氏逆變換 答案1-3參考答案試題一一1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8二1-5 D A A C D三1. 解:由于,均位于圓周
14、內(nèi),由柯西積分公式得 注:其他解法正確也應(yīng)給分2. 解: 在所圍成的區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn), ,所以由留數(shù)定理,原式.注:其他解法正確也應(yīng)給分3. 解: 四1. 解:因?yàn)? 要使 只需得到2. 解: 收斂半徑 3. 解:時(shí), 因?yàn)樗运?當(dāng) 時(shí), 4. ,故的奇點(diǎn)為 - 當(dāng),是的一級(jí)零點(diǎn),是的二級(jí)零點(diǎn) -又由于是的一級(jí)零點(diǎn)所以是的一級(jí)極點(diǎn),-當(dāng)時(shí),是的二級(jí)極點(diǎn)。 -5. 是分母的單零點(diǎn),是二階零點(diǎn),則 習(xí)題二一1、 2、圓周 3、, 4、 5、二6、0 7、 8、1 9、收斂 10. 二1-5 ACABC三1解: 2.解:3.由于,所以, 故收斂半徑為 四1解:因?yàn)? 要使 則 所以函數(shù)僅在可
15、導(dǎo),在整個(gè)復(fù)平面處處不解析。2.解:函數(shù)在內(nèi)處處解析。當(dāng)時(shí),。收斂半徑為。3. 解:令,于是 4.解:由于則為的傅立葉余弦逆變換,從而, 5.解:設(shè)方程的解為,方程兩端同取拉普拉斯變換,可得: 所以,兩邊同取拉普拉斯逆變換,可得習(xí)題三一1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.發(fā)散 8. 0,2二1-5 BBCCD三1.解:F= F=2. 解:在圓周內(nèi)滿足柯西積分公式,在圓周內(nèi)處處解析,則 3. 由于,所以, 故收斂半徑為 四1. 因?yàn)? 要使只需解得2. 奇點(diǎn)為,則函數(shù)在內(nèi)處處解析。 3. ,故的奇點(diǎn)為 - 當(dāng),是的一級(jí)零點(diǎn),是的二級(jí)零點(diǎn) -又由于是的一級(jí)零點(diǎn), 是的二級(jí)零點(diǎn)所以是的一級(jí)極點(diǎn),
16、-由于所以是的可去奇點(diǎn)。當(dāng)時(shí),是的二級(jí)極點(diǎn)。 -4.函數(shù)孤立奇點(diǎn)為二級(jí)極點(diǎn), 一級(jí)極點(diǎn) 5. 求方程滿足初始條件的解解:設(shè)方程的解為,方程兩端同取拉普拉斯變換,可得: 所以,可化為兩邊同取拉普拉斯逆變換,可得42007年復(fù)變函數(shù)與積分變換試題解答一、(1)-3,1,-3; (2); (3); (4)(5).二、(1)A; (2)D; (3)C; (4)B; (5)C.三、由方程,又,故有, .所以,由得,所以.四、(1)原式(2)因?yàn)樵谏霞皟?nèi)部解析,由Cauchy-Coursat基本定理,原式=0.(3)原式(4)原式(5)原式(6)令,則原式記,則Res,Res原積分.五、.(1)在內(nèi),(2
17、)在內(nèi),(3)在內(nèi),六、記,對(duì)方程兩邊取Laplace變換,解得七、設(shè)曲線,取正向。由導(dǎo)數(shù)公式,因?yàn)樗?008年復(fù)變函數(shù)與積分變換試題解答一、(1); (2)1,-3,-3; (3)1; (4); (5)二、(1)D; (2)A; (3)A; (4)A; (5)C三、由知, 。由方程知,所以.又,故有,所以。因此.由可得,所以.四、(1)在曲線上,.(2)是在內(nèi)的二級(jí)極點(diǎn), 是在內(nèi)的一級(jí)極點(diǎn). Res Res原式=.(3)原式=.(4).分別是在上半平面內(nèi)的兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn). Res Res原積分= (5)令,則原式=是在內(nèi)部的2級(jí)極點(diǎn),是在內(nèi)部的一級(jí)極點(diǎn).原式=五、(1)時(shí),(2) (3)六、
18、。.七、令。方程兩邊取Laplace變換,得.即 .解得 .是的二級(jí)極點(diǎn),是的一級(jí)極點(diǎn)Res.Res八、因?yàn)槭莾?nèi)的解析函數(shù),由方程, (1)如果也是內(nèi)的解析函數(shù),則, . (2)為使(1),(2)同時(shí)成立,當(dāng)且僅當(dāng).所以(為常數(shù)).因此,只有當(dāng)在內(nèi)為常數(shù)時(shí),才能在內(nèi)解析,否則不解析.一、客觀題1、; 2、0; 3、;4、; 5、0; 6、;、;7、 8、A 9、C 10、C 11、C 12、C二、計(jì)算題1、F3分F2分2、被積函數(shù)的奇點(diǎn)均在的內(nèi)部,且均為一級(jí)極點(diǎn)1分又1分 1分由留數(shù)定理可知,原式=.2分3、設(shè),則,(1分)由解析可知,(1分)再由解析可知,(1分),從而(1分),所以三、解答題1、前兩步每步3分,最后一步4分2、L L4分而L4分.1分,上式中取,即得1分3、令,4分則原式,C為正向圓周,2分令,其在C內(nèi)的奇點(diǎn)為,
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