復變函數(shù)積分變換模擬試卷及答案

1、習題一一、填空題（每空3分，共30分）1. 則 ， 2. 寫出的全部值 3. 4. ， 5.沿圓周的正向積分 6. 級數(shù)的收斂半徑 7. 的泰勒展開式是 函數(shù)的拉普拉斯變換為 二、選擇題（每題3分，共15分） 1.方程所表示的曲線是 （ ）（A）橢圓 （B）直線 （C）直線 （D）圓周 2. 已知，則（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3. 為的( )（A）一級極點 （B）二級極點 （C）三級極點 （D）四級極點4. 設=L，則L的值是（ ）（A） （B） （C） （D）5. =F，=F，下列關于Fourier變換的卷積公式說法錯誤的是（ ）（A） （B）F （C）F （D）F三1.

2、（本題5分）其中為正向.2（本題5分）利用留數(shù)計算為正向圓周：3. （本題5分）計算.四假設1. （本題8分）假設為解析函數(shù)，試確定的值.2.（本題8分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并指出它的收斂半徑.3.（本題8分）將函數(shù)分別在內(nèi)展成洛朗級數(shù).4. （本題8分）函數(shù)有哪些奇點？如果是極點，指出它是幾級極點。5.利用留數(shù)的方法求的laplace逆變換。習題二一填空1則 ；2方程所表示的曲線是 ；3= ；4.設，則= ；5為的 級極點；6已知 ，求= ；7的泰勒展開式是 ；8設為單位脈沖函數(shù)，則 ；9級數(shù)是 （收斂或發(fā)散）；阿10. 若L ，則L 的值是 ；二選擇復數(shù)方程表示的曲線是 （）A、直線 B

3、、圓周 C、橢圓 D、雙曲線2在復變函數(shù)中，下列等式中不正確的是 （ ）（A） （B）（C） （D） 3設=F，則F的值是（ ）（A） （B） （C） （D）4為的( )（A）一級極點 （B）二級極點 （C）可去奇點 （D）本性奇點5設，其中、為實數(shù)列，若級數(shù) 絕對收斂，下列說法中不正確的是 （ ）（A） （B）、同時收斂（C）收斂，條件收斂 （D）收斂三1（本題5分）計算積分。 2 求為圓周：。 3. 求冪級數(shù)的收斂半徑四1.判斷函數(shù)的解析性。2.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出它的收斂半徑3. 計算。4. 利用Fourier變換求積分方程的解,其中5. 利用拉氏變換求解常微分方程初值問題：。習

4、題三一 填空1arg()= ； ；2 ；3積分= ，其中取正方向； 4= ；5 ；6 ；7級數(shù)的斂散性為： ；（收斂或發(fā)散）8_ _；是函數(shù)的_ _級極點。二選擇復數(shù)方程表示的曲線是 （）（A）直線 （B）射線 （C）橢圓 （D）圓周2在復變函數(shù)中，下列等式中不正確的是 （ ）（A） （B）（C）（D）3.為的 （ ）（A）一級極點 （B）解析點 （C）可去奇點 （D）本性奇點4的解析性為 （ ）（A）復平面上處處解析 （B）僅在點處解析（C）復平面上處處不解析 （D）復平面上處處可導5 （ ）（A）0 （B）1（C） （D）三1.已知=F，求F。2. 求為圓周：。3. 計算冪級數(shù)的收斂半徑四

5、1.設f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)為解析函數(shù)，試確定m、n的值。2.將函數(shù)在處展開為泰勒級數(shù)3. 函數(shù)有哪些奇點？如果是極點，指出它是幾級極點。4. 求函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)。5.求方程滿足初始條件的解2007年復變函數(shù)與積分變換試卷一、 填空題（本小題共5小題，每小題3分，滿分15分）（1）已知函數(shù)是解析函數(shù)，則 ， ， .（2）設的Taylor級數(shù)為，則該級數(shù)的收斂半徑為 .（3）已知，則 . （4）計算 .（5）設則 .二、選擇題（本小題共5小題，每小題3分，滿分15分）（1）下列說法正確的是（ ）（A）若在區(qū)域內(nèi)可導，則在區(qū)域內(nèi)解析。（B）若在點解析，則在區(qū)域內(nèi)可導

6、。（C）若在點連續(xù)，則在點可導。（D）若在點可導，則在點解析。（2）將平面上的曲線映射成平面上的圖形為（ ）（A）。 （B）。 （C）。 （D）。（3）設為正向圓周，則積分（ ）（A） （B） （C） （D）（4）級數(shù)（ ）（A）斂散性不定。 （B）發(fā)散。 （C）條件收斂。 （D）絕對收斂。（5）是函數(shù)的（ ）（A）非孤立奇點。 （B）可去奇點。 （C）一級極點。 （D）本性奇點。三、（超出范圍）（12分）驗證在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，并求以此為虛部的解析函數(shù)，且使.四、計算下列各題（本小題共6小題，每小題5分，滿分30分）（1）； （2），其中，取正向；（3），其中，取正向；（4），其中，取正

7、向；（5），其中，取正向；（6）。五、（12分）將函數(shù)分別在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)：（1）； （2）； （3）六、（12分）用積分變換解微分方程，.七、（超出范圍）（4分）設在上解析，且，證明 .2008年復變函數(shù)與積分變換試卷一、 填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分。）（1）的主值是 。（2）已知為解析函數(shù)，則= ， ，= 。（3）如果的Taylor級數(shù)為，則該級數(shù)的收斂半徑為 。（4）設，則Res 。（5）設 則 。二、選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分。）（1）若，則（ ）（A）。 （B）（為任意整數(shù)）。（C）。 （D）（為任意整數(shù)）。（2）設曲線為單位圓，取正向

8、，則積分（ ）（A）0 （B）。 （C）。 （D）。（3）如果級數(shù)在點處收斂，則該級數(shù)必在（ ）（A）點處絕對收斂。 （B）點處條件收斂。（C）點處收斂。 （D）點處發(fā)散。（4）將平面上的曲線映射成平面上的曲線（ ）（A）。 （B） 。 （C）。 （D）。（5）是函數(shù)的（ ）（A）本性奇點。 （B）可去奇點。 （C）一級極點。 （D）二級極點三、（10分）已知調(diào)和函數(shù)，求調(diào)和函數(shù)，使成為解析函數(shù)，并滿足。四、（25分）計算下列積分：（1），其中是從到的直線段；（2），正向（3），正向（4）；（5）。五、（15分）將函數(shù)分別在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成Laurent級數(shù)。（1）； （2）； （3）。六、

9、（5分）已知函數(shù)（），求的Fourier變換。七、（10分）應用Laplace變換解微分方程：八、（5分）如果是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，那么在內(nèi)是否一定也是解析函數(shù)？為什么？專業(yè)：電學類各專業(yè)課程名稱：復變函數(shù)與積分變換學分：3試卷編號(A)課程編號：4110731考試方式：閉 卷考試時間：100分鐘擬卷人(簽字)：擬卷日期：2009.05.25審核人(簽字)：得分統(tǒng)計表：得 分一選擇、填空題：（共45分，每題3分）1arg()= ; ；2若C取正向, 在復平面上解析，則 ； 3在圓域內(nèi)的泰勒級數(shù)為 ；4 (化簡到基本復數(shù)形式) ；5 _ _；是函數(shù)的_級零點；6 _ _； ；7若 的收斂半徑R=

10、；8由將平面上的曲線映射成平面的曲線軌跡是 （ ） （A）直線 （B）圓 （C）射線 （D）角形區(qū)域9在復變函數(shù)中，下列等式中不正確的是 （ ）（A） （B）（C） （D） 10關于的值，下列說法中最準確的說法是 （ ） （A）可能與C的積分路徑有關 （B）有時與C的積分路徑有關，有時無關（C）始終與C的積分路徑無關，只與C的起點和終點有關 （D）不僅與C的積分路徑有關，且與C的起點和終點有關11的解析性為 （ ）（A）復平面上處處解析 （B）復平面上有時解析，有時不解析（C）復平面上處處不解析 （D）復平面有時可導，有時不可導12拉氏變換下的卷積為 （ ）（A） （B） （C） （D） 得

11、分二、解答題（共15分，每題5分）1、（本題5分）若F ，試計算的傅氏變換。2、（本題5分）求，其中C為正向。3、（本題5分）設為區(qū)域D上的解析函數(shù)，試證明：當在D上也解析時，為常數(shù)。得 分三、解答題（40分，每題10分）1、 （本題共10分）將在內(nèi)展開成洛朗級數(shù)2、（本題共10分）利用拉氏變換的性質(zhì)求積分3、（本題共10分）利用留數(shù)計算廣義積分4、（本題共10分）求的拉氏逆變換專業(yè)：電學類各專業(yè)課程名稱：復變函數(shù)與積分變換學分：3試卷編號(B)課程編號：4110731考試方式：閉 卷考試時間：100分鐘擬卷人(簽字)：擬卷日期：2009.06.05審核人(簽字)：一、客觀題填空題（每空3分，

12、共30分）1則 ， 2寫出的全部值 3. ， .4.沿圓周的正向積分 級數(shù)的收斂半徑 .的泰勒展開式是 . 函數(shù)的拉普拉斯變換為 選擇題（每題3分，共15分）將化為三角形式，正確的是 （ ）（A）（B）（C） （D）2. 方程所表示的曲線是 （ ）（A）扇形 （B）直線 （C）直線 （D）圓周 3的解析性為 ( )（A）復平面上處處解析 （B）僅在直線上解析（C）復平面上處處不解析 （D）復平面上處處可導4關于冪級數(shù)，下列說法中正確的是 ( )（A）在內(nèi)收斂 （B）在內(nèi)收斂，在有時收斂，有時發(fā)散（C）在內(nèi)發(fā)散 （D）在內(nèi)收斂，但在發(fā)散5. 設F ,F ,下列關于Fourier變換的卷積公式說法

13、錯誤的是 ( )（A） （B） F 得 分（C）F （D）F 二、計算下列積分（3小題，共15分）1（本題5分）其中為正向.2（本題5分）利用留數(shù)計算為正向圓周：.3. （本題5分）計算.得 分三、計算題（5小題，共40分） 1. （本題8分）設為解析函數(shù)，試確定的值.2. （本題8分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并指出它的收斂半徑. 3.（本題8分）將函數(shù)分別在內(nèi)展成洛朗級數(shù).4. （本題8分）函數(shù)有哪些奇點？如果是極點，指出它是幾級極點。5. （本題8分）求的拉氏逆變換 答案1-3參考答案試題一一1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8二1-5 D A A C D三1. 解:由于，均位于圓周

14、內(nèi)，由柯西積分公式得 注:其他解法正確也應給分2. 解: 在所圍成的區(qū)域內(nèi)有兩個孤立奇點, ,所以由留數(shù)定理,原式.注:其他解法正確也應給分3. 解: 四1. 解:因為, 要使 只需得到2. 解: 收斂半徑 3. 解:時， 因為所以所以 當 時， 4. ，故的奇點為 - 當，是的一級零點，是的二級零點 -又由于是的一級零點所以是的一級極點，-當時，是的二級極點。 -5. 是分母的單零點，是二階零點，則 習題二一1、 2、圓周 3、， 4、 5、二6、0 7、 8、1 9、收斂 10. 二1-5 ACABC三1解： 2.解：3.由于，所以， 故收斂半徑為 四1解：因為, 要使 則 所以函數(shù)僅在可

15、導，在整個復平面處處不解析。2.解：函數(shù)在內(nèi)處處解析。當時，。收斂半徑為。3. 解：令，于是 4.解：由于則為的傅立葉余弦逆變換，從而， 5.解：設方程的解為，方程兩端同取拉普拉斯變換，可得： 所以，兩邊同取拉普拉斯逆變換，可得習題三一1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.發(fā)散 8. 0，2二1-5 BBCCD三1.解：F= F=2. 解：在圓周內(nèi)滿足柯西積分公式，在圓周內(nèi)處處解析，則 3. 由于，所以， 故收斂半徑為 四1. 因為, 要使只需解得2. 奇點為，則函數(shù)在內(nèi)處處解析。 3. ，故的奇點為 - 當，是的一級零點，是的二級零點 -又由于是的一級零點， 是的二級零點所以是的一級極點，

16、-由于所以是的可去奇點。當時，是的二級極點。 -4.函數(shù)孤立奇點為二級極點， 一級極點 5. 求方程滿足初始條件的解解：設方程的解為，方程兩端同取拉普拉斯變換，可得： 所以，可化為兩邊同取拉普拉斯逆變換，可得42007年復變函數(shù)與積分變換試題解答一、（1）-3，1，-3； （2）； （3）； （4）（5）.二、（1）A； （2）D； （3）C； （4）B； （5）C.三、由方程，又，故有， .所以，由得，所以.四、（1）原式（2）因為在上及內(nèi)部解析，由Cauchy-Coursat基本定理，原式=0.（3）原式（4）原式（5）原式（6）令，則原式記，則Res,Res原積分.五、.（1）在內(nèi)，（2

17、）在內(nèi)，（3）在內(nèi)，六、記，對方程兩邊取Laplace變換，解得七、設曲線，取正向。由導數(shù)公式，因為所以2008年復變函數(shù)與積分變換試題解答一、（1）； （2）1，-3，-3； （3）1； （4）； （5）二、（1）D； （2）A； （3）A； （4）A； （5）C三、由知， 。由方程知，所以.又，故有，所以。因此.由可得，所以.四、（1）在曲線上，.（2）是在內(nèi)的二級極點, 是在內(nèi)的一級極點. Res Res原式=.（3）原式=.（4）.分別是在上半平面內(nèi)的兩個一級極點. Res Res原積分= （5）令，則原式=是在內(nèi)部的2級極點，是在內(nèi)部的一級極點.原式=五、（1）時，（2） （3）六、

18、。.七、令。方程兩邊取Laplace變換，得.即 .解得 .是的二級極點，是的一級極點Res.Res八、因為是內(nèi)的解析函數(shù)，由方程， （1）如果也是內(nèi)的解析函數(shù)，則， . （2）為使（1），（2）同時成立，當且僅當.所以（為常數(shù)）.因此，只有當在內(nèi)為常數(shù)時，才能在內(nèi)解析，否則不解析.一、客觀題1、； 2、0； 3、；4、； 5、0； 6、；、；7、 8、A 9、C 10、C 11、C 12、C二、計算題1、F3分F2分2、被積函數(shù)的奇點均在的內(nèi)部,且均為一級極點1分又1分 1分由留數(shù)定理可知,原式=.2分3、設，則，（1分）由解析可知，（1分）再由解析可知，（1分），從而（1分），所以三、解答題1、前兩步每步3分，最后一步4分2、L L4分而L4分.1分，上式中取，即得1分3、令，4分則原式，C為正向圓周，2分令，其在C內(nèi)的奇點為，