第一章第2講簡單不等式的解法

1、第 2 講簡單不等式的解法1一元一次不等式 axb(a0)的解集(1)當(dāng) a0 時，解集為x|xba；(2)當(dāng) a0 時，解集為x|x000)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩個相異實根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2做一做1不等式 x23x20 的解集為x|1x0，求解時不要忘記討論 a0 時的情形(2)當(dāng)0(a0)的解集是 R 還是，要注意區(qū)別(3)不同參數(shù)范圍的解集切莫取并集，應(yīng)分類表述2把握一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是a0，b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)恒

2、成立的充要條件是a0，b24ac0.做一做3不等式 x2ax40 的解集不是空集，則實數(shù) a 的取值范圍是_解析：不等式 x2ax40，即 a216.a4 或 a4.答案：(，4)(4，)4若不等式 mx22x10 恒成立，則 m 的取值范圍是_解析：由m0（2）24m（1）0，解得 m1.答案：(，1),學(xué)生用書 P5P6)考點一_一元二次不等式的解法(高頻考點)_一元二次不等式的解法是高考的常考內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度適中，屬中檔題高考對一元二次不等式解法的考查常有以下三個命題角度：(1)直接求解一元二次不等式；(2)與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合解一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集

3、求參數(shù)(1)不等式3x22x80 的解集為_(2)已知不等式 x22x30 的解集為 A，不等式 x2x60 的解集為 B，不等式 x2axb0 時，f(x)x24x，則不等式 f(x)x 的解集用區(qū)間表示為_解析(1)原不等式可化為：3x22x80，1000，方程 3x22x80 的兩根為2，43，結(jié)合二次函數(shù) y3x22x8 的圖象可知原不等式的解集為x|2x43(2)由題意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a1，b2，則 ab3，故選 A.(3)f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，f(0)0，又當(dāng) x0，f(x)x24x.又 f(x)為奇函數(shù)，f(x)f

4、(x)，f(x)x24x(x0，0，x0，x24x，x0 時，由 f(x)x 得 x24xx，解得 x5；當(dāng) x0 時，f(x)x 無解；當(dāng) xx 得x24xx，解得5xx 的解集用區(qū)間表示為(5，0)(5，)答案(1)x|2x43(2)A(3)(5，0)(5，)規(guī)律方法一元二次不等式的解法問題的常見類型及解題策略(1)直接求解一元二次不等式對于常系數(shù)一元二次不等式，可以用因式分解法或判別式法求解；對于含參數(shù)的不等式，首先需將二次項系數(shù)化為正數(shù)，若二次項系數(shù)不能確定，則需討論它的符號，然后判斷相應(yīng)的方程有無實根，最后討論根的大小，即可求出不等式的解集(2)與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合的一元二次不等式的解

5、法先借助函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的解析式，然后求解，或直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解(3)已知一元二次不等式的解集求參數(shù)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解1.(1)(2015皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)不等式 log2(x2x2)1 的解集為()A(2，0)B(1，1)C(0，1)D(1，2)(2)(2015大連模擬)已知函數(shù) f(x)(ax1)(xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1，3)，則不等式 f(2x)a2(a0)解析：(1)選 C.要使原式有意義需滿足：x2x20，解得1xlog22.函數(shù) ylog2x 在0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，x2x22，0 x1.1x0，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是(1，3)，a

6、0，且1aba2，ba3，解得 a1 或13，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得 x12或 xa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，得 x1a4，x2a3.a0 時，a4a3，解集為x|xa3 ；aa3，解集為x|xa4 .綜上所述：當(dāng) a0 時，不等式的解集為x|xa3 ；當(dāng) a0 時，不等式的解集為x|xa4 .考點二_一元二次不等式恒成立問題_對任意 x1，1，函數(shù) f(x)x2(a4)x42a 的值恒大于零，求 a 的取值范圍解函數(shù) f(x)x2(a4)x42a 的對稱軸為 xa424a2.當(dāng)4a26

7、時，f(x)的值恒大于零等價于 f(1)1(a4)(1)42a0，解得 a0，即 a21，即 a0，即 a1，故有 a1.綜上可知，當(dāng) a0，g（1）（x2）x24x40，解得 x3.故 x 的取值范圍是(，1)(3，)規(guī)律方法不等式恒成立問題的求解方法：(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)(2)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于 0 就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在 x 軸上方，恒小于 0 就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在 x 軸下方另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值2.若關(guān)于 x 的不

8、等式 ax22x20 在 R 上恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍解：當(dāng) a0 時，原不等式可化為 2x20，其解集不為 R，故 a0 不滿足題意，舍去；當(dāng) a0 時，要使原不等式的解集為 R，只需a02242a12.綜上，所求實數(shù) a 的取值范圍為12，.考點三_一元二次不等式的應(yīng)用_某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為 10 萬元輛，出廠價為 12 萬元輛，年銷售量為 10 000 輛本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為 x(0 x1)，則出廠價相應(yīng)地提高比例為 0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為 0.6x，已知年利潤(出廠價投入成本)年銷售

9、量(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤 y 與投入成本增加的比例 x 的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加， 則投入成本增加的比例 x 應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解(1)由題意得 y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0 x1)，整理得 y6 000 x22 000 x20 000(0 x0，0 x0，0 x1，解得 0 x13，所以投入成本增加的比例應(yīng)在0，13 范圍內(nèi)規(guī)律方法解不等式應(yīng)用題的步驟：(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中元素的實際意義；

10、(4)回歸實際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果3.汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析交通事故的一個重要因素在一個限速 40 km/h 的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過 12 m，乙車的剎車距離略超過 10 m又知甲、乙兩種車型的剎車距離 s(m)與車速 x(km/h)之間有如下關(guān)系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.問：是誰超速行駛，在此事故中應(yīng)負(fù)主要責(zé)任？解：由題意列出不等式，對甲車型：0.1x0.01x212，解得

11、x30(x40 舍去)；對乙車型：0.05x0.005x210，解得 x40(x50 舍去)，從而 x甲30 km/h，x乙40 km/h，經(jīng)比較知乙車超過限速，在此事故中應(yīng)負(fù)主要責(zé)任,學(xué)生用書 P6P7)考題溯源已知不等式的解集求參數(shù)(2013高考重慶卷)關(guān)于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集為(x1， x2)，且 x2x115，則 a()A.52B.72C.154D.152解析法一：由 x22ax8a20)，得(x4a)(x2a)0，即2axmx 的解集為x|0 x0 的解為12x13， 則不等式 2x2bxa0 的解集是_解析：由題意，知12和13是一元二次方程 ax2bx20

12、的兩根且 a0，所以1213ba，12132a，解得a12，b2.則不等式 2x2bxa0，即 2x22x120 的解集為x|2x3答案：x|2x32已知函數(shù) f(x)x2axb(a，bR)的值域為0，)，若關(guān)于 x 的不等式 f(x)c 的解集為(m，m6)，則實數(shù) c 的值為_解析：函數(shù) f(x)的值域為0，)，x2axb0 時，有a24b0，即 ba24，f(x)x2axbx2axa24(xa2)2.f(x)(xa2)2c，解得 cxa2 c，即 ca2x ca2.不等式 f(x)c 的解集為(m，m6)，( ca2)( ca2)2 c6，解得 c9.答案：91不等式(x1)(3x)0

13、的解集是()A(1，3)B1，3C(，1)(3，)Dx|x1 且 x3解析：選 C.根據(jù)題意，(x1)(3x)0，所以其解集為(，1)(3，)故選 C.2設(shè) a0，不等式caxbc 的解集是x|2x1，則 abc()A123B213C312D321解析：選 B.caxb0，bcaxcba.不等式的解集為x|2x1，bca2，cba1，ba2，c32a，abcaa23a2213.3(2015湖北八校聯(lián)考)“0a0 的解集是實數(shù)集 R”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選 A.當(dāng) a0 時，10，顯然成立；當(dāng) a0 時，a0，4a24a0的解集是實數(shù)集

14、 R 等價于 0a1.因此， “0a0 的解集是實數(shù)集 R”的充分而不必要條件4(2015上海八校聯(lián)合調(diào)研)已知關(guān)于 x 的不等式x1xa2 的解集為 P.若 1P，則實數(shù) a的取值范圍為()A(，01，)B1，0C(，1)(0，)D(1，0解析：選 B.1P 有兩種情形，一種是111a2，另一種是 x1 使分母為 0，即 1a0，解得1a0.5定義區(qū)間長度 m 為這樣的一個量：m 的大小為區(qū)間右端點的值減去左端點的值若關(guān)于 x 的不等式 x2x6a0 有解，且解集的區(qū)間長度不超過 5 個單位長度，則實數(shù) a 的取值范圍是()A(124，1B(，1241，)C(0，1D24，1)解析：選 A.

15、因為關(guān)于 x 的不等式 x2x6a0，則 a124.設(shè)方程 x2x6a0 的兩根為 x1， x2， 則 x1x21， x1x26a， 又|x1x2|5， 即 （x1x2）2 （x1x2）24x1x2 124a5，解得 a1，故選 A.6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2.答案：x|0 x27若 0a0 的解集是_解析：原不等式即(xa)x1a 0，由 0a1 得 a1a，ax1a.答案：x|ax0 的解集是x|12x0 的解集解：(1)由題意知 a0，即 2x25x30，解得3x0 的解集為(3，12)10

16、某同學(xué)要把自己的計算機(jī)接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家 ISP 公司可供選擇公司 A 每小時收費 1.5 元；公司 B 在用戶每次上網(wǎng)的第 1 小時內(nèi)收費 1.7 元，第 2 小時內(nèi)收費 1.6 元，以后每小時減少 0.1 元(若用戶一次上網(wǎng)時間超過 17 小時，按 17 小時計算)假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時間總是小于 17 小時，那么該同學(xué)如何選擇 ISP 公司較省錢？解：假設(shè)一次上網(wǎng) x(x1.5x(0 x17)，整理得 x25x0，解得 0 x5，故當(dāng) 0 x5 時，A 公司收費低于 B 公司收費，當(dāng) x5 時，A，B 兩公司收費相等，當(dāng)5x17 時，B 公司收費低，所以當(dāng)一次上網(wǎng)時間在 5 小時以內(nèi)時，

17、選擇公司 A 的費用少；為 5 小時時，選擇公司 A 與公司 B 費用一樣多；超過 5 小時小于 17 小時，選擇公司 B 的費用少1(2015陜西西安質(zhì)檢)在 R 上定義運算：adbc若不等式1 對任意實數(shù) x 恒成立，則實數(shù) a 的最大值為()A12B32C.13D.32解析：選 D.原不等式等價于 x(x1)(a2)(a1)1，即 x2x1(a1)(a2)對任意 x 恒成立，x2x1x1225454，所以54a2a2，12a32.故選 D.2 關(guān)于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中， 恰有 3 個整數(shù)， 則 a 的取值范圍是()A(4，5)B(3，2)(4，5)C(4，5D3，

18、2)(4，5解析：選 D.原不等式可化為(x1)(xa)1 時得 1xa，此時解集中的整數(shù)為2，3，4，則 4a5，當(dāng) a1 時得 ax1，則3a2，故 a3，2)(4，53(2014高考課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù) f(x)ex1x1，x13x1，則使得 f(x)2 成立的 x 的取值范圍是_解析：當(dāng) x1 時，x10，ex1e012，當(dāng) x0 時，f(x)(x1)2；若當(dāng) x2，12 時，nf(x)m恒成立，則 mn 的最小值為_解析：當(dāng) x0，f(x)f(x)(x1)2，x2，12 ，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.答案：15已知函數(shù) f(x)mx2mx1.(1)若對于 xR，f(x)0 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍；(2)若對于 x1，3，f(x)5m 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍解：(1)由題意可得 m0 或m0，m24m0m0 或4m04m0.故 m 的取值范圍是(4，0(2)法一：要使 f(x)m5 在1，3上恒成立，即 mx12234m60 時，g(x)在1，3上是增函數(shù)，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，則 0m67；當(dāng) m0 時，60 恒成立；當(dāng) m0 時，g(x)在1，3上是減函數(shù)，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.綜上所述：m 的取值范圍是，67 .法二：