虛功原理(物理競(jìng)賽)

§2、虛功原理上次課主要是介紹了分析力學(xué)中經(jīng)常要用到的一些基本概念，并由虛功的概念和理想約束的概念導(dǎo)出了解決靜力學(xué)問(wèn)題的虛功原理：工Fi?§r=o。虛功i原理適用的范圍是：質(zhì)點(diǎn)組，它適用的前提條件是只受理想約束。這次課就舉一些具體例子，使我們能夠了解如何利用虛功原理去解決靜力學(xué)問(wèn)題。三、應(yīng)用虛功原理解題：例1、如圖所示，有一質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為/的剛性桿子，靠在墻上，在與地面接觸的B端上受一水平向左的外力F，桿子兩端的接觸都是光滑的，當(dāng)桿子與水平地面成a角時(shí)，要使桿子處于平衡狀態(tài)，問(wèn)作用在桿子B端上的力F有多大？求F=?解：由題意可知它是一個(gè)靜力學(xué)問(wèn)題，而且接觸都是光滑的，顯然可以應(yīng)用虛功原理來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)例子很簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的題目往往能夠清楚地說(shuō)明物理意義，為了說(shuō)明虛功原理的意義，如果一開(kāi)始就舉復(fù)雜的例子，由于復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算將會(huì)掩蓋物理意義，所以就以這個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)看看如何應(yīng)用虛功原理來(lái)解出它。第一步當(dāng)然也是確定研究對(duì)象，即①選系統(tǒng)：在這個(gè)例題中，我們就取桿子為應(yīng)用虛功原理的力學(xué)系統(tǒng)。②找主動(dòng)力：作用在我們所選取的系統(tǒng)上的主動(dòng)力有幾個(gè)？有兩個(gè)。一個(gè)是水平作用力F，還有一個(gè)是重力mg作用在桿子的質(zhì)心上。因?yàn)闂U子兩端A、B處的接觸是光滑的，.??在該兩處的約束力也就不必考慮。③列出虛功方程：主動(dòng)力找出來(lái)以后，視計(jì)算方便起見(jiàn)，適當(dāng)選好坐標(biāo)，并根據(jù)虛功原理列出虛功方程。現(xiàn)在選取如圖所示的直角坐標(biāo)，于是我們現(xiàn)在就可列出系統(tǒng)的虛功方程。列虛功方程時(shí)，正、負(fù)號(hào)是個(gè)很重要的問(wèn)題，如果按虛位移的實(shí)際方向與力的方向間的關(guān)系確定虛功的正負(fù)號(hào)，很容易弄錯(cuò)。為了不容易弄錯(cuò)，我們還是按力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)的正方向與力的方向間的關(guān)系來(lái)確定虛功的正負(fù)號(hào)。這種方法既方便而又不容易搞錯(cuò)。在列方程時(shí)必須要注意這個(gè)問(wèn)題。???F的方向與其作用點(diǎn)的坐標(biāo)X的正方向相反，???F取負(fù)而6XB取正，???此力的虛功為負(fù)的，即：-F8x-mg8y二0……①，由于虛功方程B C中的兩個(gè)虛位移不是相互獨(dú)立的，???我們還需要將它們化成獨(dú)立變量，然后才能令獨(dú)立虛位移前的乘數(shù)等于零，從而求出最后的結(jié)果。我們從圖上很容易得出：x=lcosa,y=+sina。則5x=一lsina8a，對(duì)y變分則有：5y=+cosa&x，Be2 C C2將它們代入①式就可得至U: [Flsina5a-+mglcosa5a]=0f2(Flsina-+mglcosa)5a=0，V5a是獨(dú)立的，可以使它不等于零。??5a之前的2乘數(shù)應(yīng)該等零，故有：Flsina-于mglcosa=0。于是就可解得題目所要求的結(jié)果2為：F=+mgetga。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，如果按位移的實(shí)際方向與力的方向確定虛功正2負(fù)的話，將會(huì)得出這樣的結(jié)果，設(shè)想桿子在F的作用下向里有一虛位移，vF的方向與虛位移方向相同，???F是作正功的，應(yīng)該為正的。而重力mg的方向與力的作用點(diǎn)的位移8yC的方向相反，???重力的功是負(fù)的，于是得到的結(jié)果：F5x-mg5y=0是錯(cuò)的。對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)單例子的求解主要是說(shuō)明了應(yīng)用虛功原理的解B C題步驟。由上面的求解過(guò)程可以看出，應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般是：第一步先找出所要考慮的質(zhì)點(diǎn)組或者剛體，也就是1、找出所要研究的系統(tǒng)。2、找出系統(tǒng)所受的主動(dòng)力。3、列出虛功方程。列出的虛功方程中的虛位移里的坐標(biāo)不一定要獨(dú)立，虛功的正負(fù)號(hào)很重要，要正確判斷。我們還是以所選坐標(biāo)的正方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)，也就是上面解題時(shí)所米用的方法。另外還得注意：計(jì)算虛功的參考系必須是靜止的。4、虛功方程列出之后，要把方程中的虛位移化成獨(dú)立的變量。其方法有兩種：一種是先找出坐標(biāo)間的關(guān)系，再微分得出，這種方法就叫分析法，我們上面的例子采用的就是這種方法。另外一種是觀察法，根據(jù)觀察直接找出虛位移之間的關(guān)系。這種方法只在某些簡(jiǎn)單的情況下可行。5、最后就是將找出的虛位移之間的關(guān)系代入虛功方程求解出最后的結(jié)果。應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般來(lái)說(shuō)大致是這樣的。當(dāng)然對(duì)具體的題目要作具體的處理，并不一定要這樣呆板，可靈活地去做，對(duì)我們初學(xué)者來(lái)說(shuō)，有據(jù)可依總是有益處的。當(dāng)然這個(gè)例子也可以用牛頓力學(xué)中的靜力平衡方程很容易地解出……。下面我再舉一個(gè)應(yīng)用虛功原理求約束力的例子。

例2、如圖中所示的框架，它是由四根重量和長(zhǎng)度都相同的桿子光滑鉸接而成的四邊形框架，中間B、D兩端又光滑鉸接一輕桿，A端是掛在天花板上的，已知框架上每一根稈子的重量為P，長(zhǎng)度為，試求平衡時(shí)此輕桿所受之力？解：可見(jiàn)這個(gè)例子要我們求的是輕桿兩頭所受的力。為此我們可以把B、D撤消，撤消桿子也就等于撤消約束。（在框架的B、D兩）將約束去掉而代之的是作用在框架B、D兩處向外的作用力T（如下圖所示）并使系統(tǒng)仍處于原來(lái)的平衡狀態(tài)，這里的系統(tǒng)自然是指這個(gè)平行四邊形框架。此時(shí)我們就可以將去掉的約束而代之的兩個(gè)作用力T看作為系統(tǒng)所受的主動(dòng)力，而其他的約束仍然是理想的。于是就可應(yīng)用虛功原理求出這兩個(gè)力。這兩個(gè)力其實(shí)就是桿子對(duì)框架的約束壓力，求出了它當(dāng)然也就求出了桿子所受的力?，F(xiàn)在我們對(duì)所討論的問(wèn)題和系統(tǒng)都已明確，于是就可著手找出系統(tǒng)的主動(dòng)力。對(duì)框架這個(gè)系統(tǒng)除了受到T這兩個(gè)主動(dòng)力之外，還有作用于各桿上的四個(gè)重力，這四個(gè)重力的合力可用作用在框架對(duì)稱中心E點(diǎn)的4P代替。在這里坐標(biāo)就取垂直對(duì)稱軸向下為Y軸的正向，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸的正方向。根據(jù)對(duì)稱性可以直接寫(xiě)出系統(tǒng)的虛功方程為：2T&+4P5y=0，由圖可得:D Ex=lsina,y=lcosa,?°?8x=lcosa&x,8y=—lsina&x.代入虛功方程中去，D E D E得：（2Tlcosa-4plsina）8a=0，?:T=2ptga。這種把約束去掉，代之以力而求約束力的方法是一種重要的方法，我們必須要掌握。上面我們所舉的兩個(gè)例子，所考慮的系統(tǒng)都是剛性系統(tǒng)，如果我們碰到要考慮的系統(tǒng)不是剛性時(shí)，不要忘了計(jì)算主動(dòng)內(nèi)力所作的虛功。例如：將一彈簧圈放在光滑的球面上，求彈簧圈靜止時(shí)的位置，此時(shí)彈簧圈就不是一個(gè)剛體，它內(nèi)力的虛功不等于零。此時(shí)必須要把內(nèi)主動(dòng)力的虛功計(jì)算進(jìn)去［如果把彈簧圈割開(kāi)使內(nèi)力暴露出來(lái)而轉(zhuǎn)化為外力，割開(kāi)后的彈簧圈可看作剛體處理］?！?、達(dá)朗伯一一拉格朗日方程以上我們所研究的是分析靜力學(xué)問(wèn)題，現(xiàn)在我們就開(kāi)始轉(zhuǎn)到對(duì)分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究。研究分析動(dòng)力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)仍然是牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律。達(dá)朗伯原理從牛頓第二定律可以直接推出達(dá)朗伯原理，而達(dá)朗伯原理與虛功原理相結(jié)合就可得到分析動(dòng)力學(xué)的普遍方程即一一達(dá)朗伯一拉格朗日方程?，F(xiàn)在我們就按這條路徑來(lái)走。假設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系，根據(jù)牛頓第二定律可得，質(zhì)點(diǎn)組中的第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程就是F+R=ma,i=l,2……n,將ma.移到等式的i i ii i左邊成為：F+R-ma=o *，這樣的形式。這樣移一下項(xiàng)得出來(lái)的方程式iiii有什么意義呢？在數(shù)學(xué)上看來(lái)，是沒(méi)有多大意義的，只不過(guò)是進(jìn)行了一次移項(xiàng)手續(xù)而已，但在我們物理學(xué)上來(lái)看物理意義就大不相同了。???移項(xiàng)前它是個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，而移項(xiàng)后，如果把-ma也看作力，那么它就成了一個(gè)平衡方程，其實(shí)-ma正i i是我們已經(jīng)熟悉的慣性力。于是這個(gè)方程也就表明了作用在一質(zhì)點(diǎn)組中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力，約束力和慣性力三者保持平衡，這種平衡關(guān)系人們就稱它為達(dá)朗伯原理。要注意達(dá)朗伯原理的坐標(biāo)系是選在與質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)上的，引入達(dá)朗伯原理的意義在于選擇與質(zhì)點(diǎn)無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系以后，只要加上慣性力，使得原來(lái)的動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題就可變成靜力學(xué)問(wèn)題，這種方法也就叫作動(dòng)靜法。將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題變成靜力學(xué)問(wèn)題，它不僅為我們多提供了一條解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的途徑。而且一般來(lái)講，靜力學(xué)問(wèn)題要比動(dòng)力學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單，因此將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題變成靜力學(xué)問(wèn)題還會(huì)給解題帶來(lái)方便。工程上特別喜歡用靜力學(xué)方法……我們由達(dá)朗伯原理的方程式可以得到兩個(gè)推論：①?作用在質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力，約束力和慣性力互成平衡，因此將這幾個(gè)等式相加后仍然等于零，即：工F+工R+工-ma=0，其次，由質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的位矢r叉乘*式的兩邊,i i ii i并將n個(gè)方程相加，就可得到：工(rxF)+工(rxR)-工(rxmr)=0。這些力ii ii iiiiii對(duì)任一點(diǎn)的力矩的總和也等于零。下面利用達(dá)朗伯原理來(lái)解下面的題目。例：一直角形剛性桿件AOB的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，直角的頂點(diǎn)O用光滑鉸鏈連到垂直軸Z上，使它既能在鉛垂面內(nèi)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)又能繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在A、B兩端固結(jié)著兩個(gè)質(zhì)量為m和m的小球，已知：OA=a,OB=b，求：當(dāng)OA和Z軸為12a角而這個(gè)a角穩(wěn)定不變時(shí)，他們繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3二？

解：???穩(wěn)定為a角，解：???穩(wěn)定為a角，???o5=0。我們以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)和直角桿件組成的系統(tǒng)為研究系統(tǒng)。因?yàn)檎麄€(gè)研究系統(tǒng)都以同樣的角速度3作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，將坐標(biāo)系就取在所研究的系統(tǒng)上，隨系統(tǒng)一起轉(zhuǎn)動(dòng)。則系統(tǒng)所受的力有重力!mg,|mg和慣性力msbcosa和mBasina,除此之外還有O處的約束力。為了消去未知的約束力，我們可以對(duì)O點(diǎn)應(yīng)用力矩的平衡方程。要想用力矩的平衡方程，還得先規(guī)定力矩的正方向，在這里我們就規(guī)定：力矩的逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，并?duì)O點(diǎn)取矩。則有：時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，并?duì)O點(diǎn)取矩。則有：m?2bcosabsina-mgbcosa—m32asinaacosa+mgasina見(jiàn)，應(yīng)用了達(dá)朗伯原理之后，這個(gè)題目只要一個(gè)平衡方程就解出了它的結(jié)果。如果不采用達(dá)朗伯原理去解，而是采用動(dòng)力學(xué)的方法去解的話，此題目是很難解的。因此它充分地顯示了應(yīng)用達(dá)朗伯原理解題的優(yōu)越性。朗伯一拉格朗日方程：既然達(dá)朗伯原理的關(guān)系式：F+R-m-a=0是一種平衡方程，當(dāng)然也可以iiii用虛功原理的形式表示出來(lái)。我們用虛位移5廠標(biāo)乘上面這個(gè)平衡方程，并對(duì)i求和則有：工（F-ma）?5產(chǎn)+工N&=o。如果體系受到的是理想約束，???在理想約束的情況下：約束力的虛功之和必等于零：yR-5a二o，則上式就ii可寫(xiě)成為：工（f-ma）-5a=o，顯然，它在形式上完全類似于虛功原理，這個(gè)方程就叫做達(dá)朗伯——拉格朗日方程。給出這個(gè)達(dá)朗伯一拉格朗日方程干什么用呢？一方面當(dāng)然可以應(yīng)用它來(lái)求解動(dòng)靜法的問(wèn)題。另一方面更重要的是分析力學(xué)真正的開(kāi)始應(yīng)該是從達(dá)朗一一拉格朗日方程這里開(kāi)始的，這因?yàn)樵趧e的方程中都還沒(méi)有直接用廣義坐標(biāo)表達(dá)出來(lái)，現(xiàn)在我們就由達(dá)朗伯一拉格朗日方程，應(yīng)用廣義坐標(biāo)的概念推出直接用廣義坐標(biāo)、廣義力、廣義速度等這些廣義量來(lái)表示的基本分析動(dòng)力學(xué)方程，這個(gè)分析動(dòng)力學(xué)方程正是我們下面馬上要推導(dǎo)的完整約束的第二類拉格朗日方程?！?.完整約束的第二類拉格朗日方程,

即基本形式的拉格朗日方程既然有第二類拉格朗日方程，從排列的次序來(lái)說(shuō)，那么總應(yīng)該有第一類拉格朗日方程，是有的，不完整約束的拉格朗日方程就稱第一類拉格朗日方程。由前面的討論我們知道由于約束的限制，n個(gè)矢徑r(i=l?2?3???n)并不是獨(dú)立的。i現(xiàn)在我們引入S個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)q(a=1?2?3???n)。將矢徑F用廣義坐標(biāo)表i i示：r=r(q,q…口，t),這里的i是表示質(zhì)點(diǎn)組中質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目，a是表示獨(dú)立坐標(biāo)ii1 2s的數(shù)目，對(duì)這兩個(gè)角標(biāo)的涵義要清楚。現(xiàn)在我們先來(lái)推導(dǎo)兩個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系。兩個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系。笳—喬 d互二旦dL茹曠，~dt西— 爲(wèi)—莎，這兩個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系在推導(dǎo)拉格朗日方程TOC\o"1-5"\h\za 1cl時(shí)要用到。下面先來(lái)證明第一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系。r=r(q,q…q,t)，將它對(duì)時(shí)間求ii1 5 s導(dǎo)則有第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度為：???1*-(1)\o"CurrentDocument"dfr= ar q+ar q +???+ar q+arr =LaL_(q +辛(1)Ct=1dt aq、 1aq2 2 aq&sat aqCcCt=1???r是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。???根據(jù)高等數(shù)學(xué)的全微分公式：iaz az ar.z二z(x,y),dz=axdx+~dydy可得：由于r是q2^qz二z(x,y),ar.和這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也仍然都是qqq和t的函數(shù)，而不是廣義速度q(ab 1、 2…s a=l,2,???s)的函數(shù)，并且這些廣義速度也是相互獨(dú)立的。所以我們將式(1)對(duì)廣義ar=ar.速度q求偏導(dǎo)數(shù)就可直接得到：忒—牯。要注意在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)該把a(bǔ) 1a 1ccq,q，t當(dāng)作等同地位的自變量，不清楚這一點(diǎn)，就會(huì)在計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)時(shí)發(fā)生不應(yīng)1a有的錯(cuò)誤，如果體系只有2個(gè)自由度，應(yīng)該有幾個(gè)等同自變量，有5個(gè)等同的自變量，三個(gè)自由度就有7個(gè)等同自變量。下面再來(lái)證明第二個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式，J

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