2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)北師大版必修5學(xué)案：1.1.1　數(shù)列的概念 Word版含解析

1、第一章數(shù)列§1數(shù)列11數(shù)列的概念知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念 填一填按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，an，簡(jiǎn)記為an，其中數(shù)列的第一項(xiàng)a1也稱(chēng)為首項(xiàng)，an是數(shù)列的第n項(xiàng)，也叫作數(shù)列的通項(xiàng)答一答1與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)有怎樣的性質(zhì)？提示：數(shù)列中的項(xiàng)具有以下性質(zhì)：(1)確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有確定性(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即具有互異性)(3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的數(shù)有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序有關(guān)，而集合中的元素沒(méi)有順序

2、(即具有無(wú)序性)(4)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素可以代表任何事物，包括數(shù)字知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類(lèi) 填一填項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫作無(wú)窮數(shù)列知識(shí)點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式 填一填如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成anf(n)，那么這個(gè)式子叫作數(shù)列an的通項(xiàng)公式答一答2是否所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式？數(shù)列的通項(xiàng)公式是否唯一？提示：并不是所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式也不唯一，例如，an(1)n也寫(xiě)成an(1)n2，還可寫(xiě)成an.知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的表示方法 填一填數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，它是以正整數(shù)集n或它的有限子集1,2,3，n為定義域的函數(shù)anf(n)常見(jiàn)

3、表示方法：列表法表示，圖像法表示，通項(xiàng)公式表示，遞推公式表示1數(shù)列相關(guān)概念的理解(1)數(shù)列中的數(shù)是按照一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，則它們是不同的數(shù)列，如數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,4,3,2,1就是不同的數(shù)列，且在定義中沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)(2)數(shù)列的項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)an，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)n，當(dāng)n是某個(gè)確定的正整數(shù)時(shí)，an表示數(shù)列的第n項(xiàng)，an1表示它的前一項(xiàng)，an1表示它的后一項(xiàng)2數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，其內(nèi)在的本質(zhì)屬性是確定這一列數(shù)的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律反映的

4、是項(xiàng)數(shù)與該項(xiàng)的值之間的一種函數(shù)關(guān)系，通常用第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系來(lái)表示，即an關(guān)于n的表達(dá)式數(shù)列的通項(xiàng)公式在研究數(shù)列的過(guò)程中起著關(guān)鍵作用，應(yīng)切實(shí)掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有些數(shù)列的通項(xiàng)公式不止一個(gè)，如數(shù)列1,1，1,1，的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成an(1)n，也可以寫(xiě)成an(1)n2，或ancosn(nn)，或an(kn)有些數(shù)列不存在通項(xiàng)公式，如的近似值精確到1,0.1，0.01，0.001，所構(gòu)成的數(shù)列1,1.4,1.41,1.414，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，僅由前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一，如數(shù)列2,4,8，通項(xiàng)公式可寫(xiě)為：an2n，也可寫(xiě)為ann2n2.公式不同，由公式寫(xiě)出的后續(xù)項(xiàng)也就不同，

5、因此，通項(xiàng)公式的歸納要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中，看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系，由此歸納出規(guī)律，寫(xiě)出通項(xiàng)公式類(lèi)型一 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 【例1】寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)1,3,7,15，.(2)2，.(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，.(4)1，.【思路探究】求數(shù)列的通項(xiàng)公式的步驟：(1)觀察符號(hào)及各項(xiàng)的特點(diǎn)；(2)分別找出與項(xiàng)數(shù)n無(wú)關(guān)的不變因素和與n有關(guān)的變化因素【解】(1)注意和2n進(jìn)行比較，可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an2n1.(2)將數(shù)列的項(xiàng)變形為，觀察發(fā)現(xiàn)，符號(hào)是正負(fù)交替出現(xiàn)的，分母是一組平

6、方數(shù)，分子比分母大1，因此它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n·.(3)將數(shù)列中的項(xiàng)與1進(jìn)行比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：a10.91，a20.9911，a30.99911，因此它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an1.(4)數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含有因式(1)n，各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n·.規(guī)律方法 (1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，蘊(yùn)含著從特殊到一般的思想，由這種方法得到的結(jié)果不一定可靠，要注意代入值檢驗(yàn)(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求一個(gè)通項(xiàng)公

7、式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，可使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列來(lái)求(3)根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)確定出的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不唯一，如題(4)的通項(xiàng)公式還可以為an(4)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納得到數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，稱(chēng)作不完全歸納法，其正確性還需要用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，在今后的學(xué)習(xí)中會(huì)學(xué)習(xí)到根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1，3,5，7,9，；(2)1，；(3)3,33,333,3 333，.解：(1)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9，是連續(xù)的正奇數(shù)，考慮(1)n1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n1(2n1)(2)數(shù)列每一項(xiàng)分母加上1為：

8、2,4,8,16,32，2n的形式，故an.(3)先來(lái)求9,99,999,9 999，的通項(xiàng)公式，注意到各項(xiàng)分別加1后變?yōu)?0,100,1 000,10 000，則數(shù)列9,99,999,9 999，的一個(gè)通項(xiàng)公式為an10n1，所以1,11,111，1 111，的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1)故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1)(10n1)類(lèi)型二數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 【例2】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n2n.(1)分別求這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)、第10項(xiàng)(2)試問(wèn)：15是否是數(shù)列an中的項(xiàng)？3是否是數(shù)列an中的項(xiàng)？【思路探究】(1)直接將n5，n10代入通項(xiàng)公式，即得a5，a10.(2)已知通項(xiàng)公式

9、，則直接解方程an15，an3，看n是否為正整數(shù)即可【解】(1)an2n2n，當(dāng)n5時(shí)，a52×52545，當(dāng)n10時(shí)，a102×10210190.(2)an2n2n，令an15，得2n2n150，解得n3或n(舍去)，15是該數(shù)列的第3項(xiàng)令an3，得2n2n30，該方程不存在正整數(shù)解，3不是該數(shù)列的項(xiàng)規(guī)律方法 要判斷某一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)，實(shí)質(zhì)就是看相應(yīng)方程是否有正整數(shù)解已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(nn*)，則(1)計(jì)算a3a4的值；(2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，應(yīng)為第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由解：(1)an，a3，a4，a3a4.(2)若為數(shù)列an中的項(xiàng)，則，n(n2

10、)120，n22n1200，n10或n12(舍)，即是數(shù)列an的第10項(xiàng)類(lèi)型三數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題 【例3】黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚按下圖所示的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：則第n個(gè)圖案中有白色地面磚_塊【思路探究】觀察給出的圖案，歸納、猜想【解析】觀察圖案知，每一個(gè)黑色地面磚的周邊都有6塊白色地面磚，且相鄰2塊黑色地面磚的中間又重疊了2塊白色地面磚，于是得第n個(gè)圖案中白色地面磚的塊數(shù)為：an6n2(n1)4n2.【答案】(4n2)規(guī)律方法 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式的方法觀察以下幾方面：(1)各項(xiàng)的符號(hào)特征；(2)各項(xiàng)能否拆分；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律等根據(jù)下

11、圖中各圖形及相應(yīng)的海寶個(gè)數(shù)，求出第4個(gè)、第5個(gè)圖形中的海寶個(gè)數(shù)，并寫(xiě)出由海寶個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式解：第1個(gè)圖形只有1行，共3個(gè)海寶；第2個(gè)圖形是在第1個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了1行，且每行都增加了1個(gè)海寶；第3個(gè)圖形是在第2個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了1行，且每行都增加了1個(gè)海寶，依此規(guī)律可得出結(jié)論根據(jù)前3個(gè)圖形中的海寶排列的規(guī)律可知：第4個(gè)圖形有4行，且每行的海寶個(gè)數(shù)為6，所以第4個(gè)圖形有4×624個(gè)海寶；第5個(gè)圖形有5行，且每行的海寶個(gè)數(shù)為7，所以第5個(gè)圖形有5×735個(gè)海寶海寶個(gè)數(shù)組成的數(shù)列an的前5項(xiàng)依次為3,8,15,24,35.根據(jù)圖形及相應(yīng)海寶排列的規(guī)律，數(shù)列an的

12、前5項(xiàng)又可以寫(xiě)成1×(12)，2×(22)，3×(32)，4×(42)，5×(52)，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為ann(n2)n22n.多維探究系列數(shù)列通項(xiàng)公式的求法遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接，下面介紹由遞推公式求通項(xiàng)公式的幾種方法1累加法【例4】數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn的通項(xiàng)公式為2n8，且bnan1an(nn)若b32，b1012，則a8()a0 b3c8 d11 【思路分析】由已知得an1an2n8，所以a2a16，a3a24，a8a76，由累加

13、法得a8a16(4)(2)02460，所以a8a13.【規(guī)范解答】b2累乘法【例5】已知數(shù)列an中，a11，sn表示an的前n項(xiàng)和，且snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式【規(guī)范解答】(1)由s2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由s3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由題設(shè)知a11.當(dāng)n>1時(shí)，有ansnsn1anan1，整理得anan1.于是a2a1，a3a2，an1an2，anan1.將以上n1個(gè)等式中等號(hào)兩端分別相乘，整理得an.綜上可知，an的通項(xiàng)公式an.(1)已知數(shù)列an，a12，且an1an2，則an_.(2)已知

14、數(shù)列bn，b12，且bn12bn，則bn_.解析：(1)n>1時(shí)，a2a12，a3a22，anan12，相加得ana1(n1)×2，an2n.(2)n2時(shí)，2，2，2，2, 2n1，bn2n.答案：(1)2n(2)2n一、選擇題1下列敘述正確的是(a)a同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn)b數(shù)列的通項(xiàng)公式是定義域?yàn)檎麛?shù)集n的函數(shù)c任何數(shù)列的通項(xiàng)公式都存在d數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的解析：數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義域是正整數(shù)集n或它的有限子集，選項(xiàng)b錯(cuò)誤；并不是所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式，選項(xiàng)c錯(cuò)誤；數(shù)列1，1，1,1，的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成an(1)n，也可以寫(xiě)成an(1)n2，選項(xiàng)d錯(cuò)誤故選a.2下列數(shù)列的關(guān)系是(b)(1)1,4,9,16,25；(2)25,16,9,4,1；(3)9,4,1,16,25.a都是同一個(gè)數(shù)列 b都不相同c(1)，(2)是同一數(shù)列 d(2)，(3)是同一數(shù)列解析：三個(gè)數(shù)列中的數(shù)字相同，但排列的順序不同，故三個(gè)數(shù)列均不相同3以下通項(xiàng)公式中，不是數(shù)