【KS5U解析】北京市平谷區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期（期末考試）質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、平谷區(qū)20192020學(xué)年度第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控試卷高二數(shù)學(xué)第卷選擇題（共40分）、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出的坐標(biāo)即可【詳解】，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題2. 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于（ ）a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】b【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程得，求出，即得結(jié)論【詳解】拋物線(xiàn)中，即，

2、 所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是故選b【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為本題屬于基礎(chǔ)題3. 已知等差數(shù)列中那么（ ）a. 17b. 9c. 10d. 24【答案】b【解析】【分析】由得到等差數(shù)列的公差，把首項(xiàng)和公差代入即可得到答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，要熟練掌握.4. 已知直線(xiàn)與圓相切，那么a的值為（ ）a. 3或1b. c. 3或7d. 【答案】a【解析】【分析】由題可知，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，列出等式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，又直線(xiàn)與圓相切，所以,所以或

3、.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5. 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，那么下列說(shuō)法正確的是（ ）a. 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減b. 函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)c. 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值d. 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值【答案】d【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并得出極值與最值情況【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，可知時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，可得a錯(cuò)；則時(shí)，函數(shù)取得極大值，但不是最大值，d對(duì)c錯(cuò)；時(shí)，函數(shù)取得極小

4、值由導(dǎo)函數(shù)圖象無(wú)法判斷極大值與極小值的大小，故函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)法確定，b錯(cuò)故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、最值及零點(diǎn)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力6. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）a. 48b. 32c. 24d. 8【答案】c【解析】【分析】直接根據(jù)數(shù)列項(xiàng)和前項(xiàng)和與項(xiàng)之間的關(guān)系求解即可【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的項(xiàng)和前項(xiàng)和與項(xiàng)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題7. 設(shè)函數(shù)，則f(x)是（ ）a. 有一個(gè)零點(diǎn)的增函數(shù)b. 有一個(gè)零點(diǎn)的減函數(shù)c. 有二個(gè)零點(diǎn)的增函數(shù)d. 沒(méi)有零點(diǎn)的減函數(shù)【答案】a【解析】【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷增減性，利用零點(diǎn)

5、存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】，則，所以函數(shù)是定義域?yàn)樯系倪B續(xù)的增函數(shù)，又，零點(diǎn)存在定理可得在上存在唯一零點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，屬于基礎(chǔ)題8. 某學(xué)校舉辦科技節(jié)活動(dòng)，有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加“智能機(jī)器人”項(xiàng)目比賽，該項(xiàng)目只設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對(duì)這四個(gè)參賽團(tuán)隊(duì)獲獎(jiǎng)結(jié)果預(yù)測(cè)如下：小張說(shuō)：“甲或乙團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小王說(shuō)：“丁團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小李說(shuō)：“乙、丙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)均未獲得一等獎(jiǎng)”；小趙說(shuō)：“甲團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”若這四位同學(xué)中有且只有兩位預(yù)測(cè)結(jié)果是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是（）a

6、. 甲b. 乙c. 丙d. 丁【答案】d【解析】1.若甲獲得一等獎(jiǎng),則小張、小李、小趙的預(yù)測(cè)都正確,與題意不符;2.若乙獲得一等獎(jiǎng),則只有小張的預(yù)測(cè)正確,與題意不符;3.若丙獲得一等獎(jiǎng),則四人的預(yù)測(cè)都錯(cuò)誤,與題意不符;4.若丁獲得一等獎(jiǎng),則小王、小李的預(yù)測(cè)正確,小張、小趙的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,符合題意，故選d.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查演繹推理的定義與應(yīng)用以及反證法的應(yīng)用，屬于中檔題.本題中，若甲獲得一等獎(jiǎng),則小張、小李、小趙的預(yù)測(cè)都正確,與題意不符；若乙獲得一等獎(jiǎng),則只有小張的預(yù)測(cè)正確,與題意不符；若丙獲得一等獎(jiǎng),則四人的預(yù)測(cè)都錯(cuò)誤,與題意不符；若丁獲得一等獎(jiǎng),則小王、小李的預(yù)測(cè)正確,小張、小趙的預(yù)測(cè)錯(cuò)

7、誤,符合題意.第卷非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線(xiàn)上）9. 已知復(fù)數(shù)，那么_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算對(duì)已知復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合模長(zhǎng)公式即可求解【詳解】因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模長(zhǎng)的求解，屬于基礎(chǔ)試題10. 已知直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，那么b_【答案】2【解析】【分析】利用直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的性質(zhì)能求出【詳解】直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，解得故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題11. 已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為（3，0），一個(gè)頂點(diǎn)為（1，0）

8、，那么其漸近線(xiàn)方程為_(kāi)【答案】【解析】【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為，由已知條件即可知的值，再根據(jù)即可求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為，由題意可知，所以，所以雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，以及雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12. 已知等差數(shù)列中，等比數(shù)列中， ，那么數(shù)列的前4項(xiàng)和_【答案】320【解析】【分析】先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出，即可得通項(xiàng)，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得 ， ，所以，所以數(shù)列的公比為 ，所以.故答案為：320【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列求和，涉及等差數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通

9、項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.13. 已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，且焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，那么雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)【答案】【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，再由拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)的距離列式，求解離心率即可【詳解】如圖，由拋物線(xiàn)方程，得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為不妨取，化為一般式：則，即，又，聯(lián)立解得：，則雙曲線(xiàn)的離心率為：故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)及拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn)，還考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題14. 日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過(guò)凈化的，隨著水純凈度的提高，

10、所需凈化費(fèi)用不斷增加已知1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為那么凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是_元/t【答案】40.15【解析】【分析】?jī)艋M(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可算出結(jié)果【詳解】?jī)艋M(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗?，又因?yàn)?，所以?xún)艋郊儍舳葹闀r(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是40.15元，故答案為：40.15【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15. 已知函數(shù) （）求曲線(xiàn)在點(diǎn)(1，f(

11、1)處的切線(xiàn)方程；（）求函數(shù)f（x）在2，2上的最大值和最小值【答案】（）；（），.【解析】【分析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算（1），（1）的值，利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程即可；（）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值和端點(diǎn)處函數(shù)值，比較大小求出最值即可【詳解】，的定義域是，（），故（1），（1），故切線(xiàn)方程是：，即；（），令，解得：或，令，解得：，故在，遞增，在遞減，在，遞增，而，（2），故（2），【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，是一道常規(guī)題16. 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，_（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答（注

12、：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（）答案見(jiàn)解析；（）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差，由題設(shè)條件求出首項(xiàng)與公差，即可求得；（）由（）中求得的判斷出數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，即可求得的最值【詳解】選：（）設(shè)等差數(shù)列的公差，由題設(shè)知：，解之得：，；（）由（）知：，數(shù)列遞增數(shù)列，選：（）設(shè)等差數(shù)列的公差，由題設(shè)知：，；（）由（）知：，令，故選：（）設(shè)等差數(shù)列的公差，由題設(shè)知：，解得，；（）由（）知：，令，故【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算及其前項(xiàng)和的最值的求法，屬于中檔題17. 已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)（）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)f

13、2的直線(xiàn)l與橢圓c相交于a、b兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)l方程.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根據(jù)橢圓離心率和過(guò)點(diǎn)，再結(jié)合 ，可求出，的值，可得橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程 （）分情況討論直線(xiàn)斜率不存在與存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè):，、，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得、，將轉(zhuǎn)化為，用坐標(biāo)表示，將、代入，即可得的值，進(jìn)而可得直線(xiàn)l方程.【詳解】（），且過(guò)點(diǎn).， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：； （）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè):，得顯然不滿(mǎn)足條件. 當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè):，、聯(lián)立整理得：，因?yàn)?，所以即?整理得 化簡(jiǎn)：直線(xiàn)方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線(xiàn)與橢圓相交求直線(xiàn)的方程，涉及向量垂直數(shù)量積為0，

14、屬于中檔題.18. 已知函數(shù)（）若函數(shù)f(x)在xe處取得極值，求a的值；（）若對(duì)所有，都有f（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（）0；（） 【解析】【分析】（）由題意可得（e），代入即可求解；（）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍，即可求得的取值范圍【詳解】（）函數(shù)，則，由函數(shù)在處取得極值，可得（e），解得經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.（）若對(duì)所有，都有，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（1），所以故實(shí)數(shù)的取值范圍是，【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問(wèn)題，屬于中檔題19. 已知橢圓c：的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足（）求橢圓c

15、的方程；（）已知橢圓c上兩點(diǎn)m、n關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)p為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與m、n重合），若直線(xiàn)pm，pn與 軸分別交于g、h兩點(diǎn)，證明：為定值【答案】（）；（）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（）運(yùn)用橢圓的定義和滿(mǎn)足橢圓方程，解方程可得，即可得到所求橢圓方程；（）設(shè)，求得直線(xiàn)的方程，可得的橫坐標(biāo)，同理可得的橫坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得定值【詳解】（）由橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，可得，即，且，所以，故橢圓的方程為；（）證明：因?yàn)椋P(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以可設(shè)，則，可得直線(xiàn)的方程為，令，可得的橫坐標(biāo)為，同理可得的橫坐標(biāo)為，所以，因?yàn)椋?，可得為定值【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，以及定值問(wèn)題，考查方

16、程思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于難題探索圓錐曲線(xiàn)的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種： 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)； 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.20. 定義首項(xiàng)為1，且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為"m數(shù)列”（）已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若是和1的等差中項(xiàng)，證明：數(shù)列是"m數(shù)列"；（）在（）的條件下，若存在"m數(shù)列”，對(duì)于任意正整數(shù)k，都有成立求此時(shí)數(shù)列公比q的最小值【答案】（）；（）證明見(jiàn)解析；（）.【解析】【分析】（）由已知，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得，從而求出公差，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（）由等差中項(xiàng)性質(zhì)和數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和“數(shù)列”的定義，即可得證；（）由“數(shù)列”的定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，比較（2），（3），即可得到所求最小值【詳解】（）數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，滿(mǎn)足，即為，又，解得，則公差為1，；（）證明：若是和1的等差中項(xiàng)，則，當(dāng)時(shí)，即，又時(shí)，又，兩式相減可得，