2015年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽遼寧省初賽試卷

1、2015年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽遼寧省初賽試卷(7月5日上午8:30-11:00)一.選擇題(本題滿分30分,每小題5分)本題共有6道小題,每小題給出(A),(B),(C),(D)四個結(jié)論,其中只有一個是正確的.請把正確結(jié)論的代表字母寫在題后答后面的圓括號內(nèi).每小題選對得5分,不選,選錯或選出的代表字母超過一個(不論是否寫在圓括號內(nèi)),一律得0分.1.設(shè)a=,其中x表示不超過x的最大整數(shù),集合A=x|xN*且x|a,則A中元素的個數(shù)是A.4 B.6 C.8 D.122.若ABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列,邊a,b,c的所對的角依次為A,B,C,且sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1

2、,則角B為A. B. C. D. 3.已知函數(shù)f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|,則f(1)+f(2)+f(50)=A.660 B.664 C.668 D.6724.已知數(shù)列an是由正整數(shù)組成的遞增數(shù)列,且an+2=an+1+2an(nN*),若a5=52,則a7=A.102 B.152 C.212 D.2725.長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,AD=2,則異面直線A1D與B1D1間的距離為A.1 B. C. D. 6.如圖,M,N分別為正六邊形ABCDEF的對角線AC,CE的內(nèi)分點,且=l,若B,M,N三點共線,則l=MBACDEFNA. B. C

3、. D. 二.填空題(本題滿分30分,每小題5分)7.已知復數(shù)z=a+i(aR)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,且|z(1+i)|>2,則實數(shù)a的取值范圍是_.8.若實數(shù)a,b滿足a+lga=10,b+10b=10,則lg(a+b)= _.9.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=,且對任意正整數(shù)m,n,都有am+n=aman,若Sn<a對任意nN*恒成立,則實數(shù)a的最小值為_.10.立方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N分別在線段AB,BB1上(不包括線段的端點),并且AM=B1N,則A1M與C1N所成角的取值范圍是_.11.一道數(shù)學競賽題,甲,乙,丙單獨解出此題的概率分別為,其

4、中a,b,c都是小于10的正整數(shù).現(xiàn)甲乙丙同時獨立解答此題,若三人中恰有一人解出此題的概率為,則甲乙丙三人都未解出此題的概率為_.12.設(shè)F1,F2為橢圓C的兩個焦點,若AB為橢圓一條過點F2的弦,且在F1AB中,|F1A|=3,|AB|=4,|BF1|=5,則tanÐF2F1B=_.三.解答題(本題共4道小題,滿分90分)13.(本小題滿分20分)設(shè)實數(shù)a,b,l滿足0<a<b,0l1.(1)證明:lna+1<<lnb+1.(2)證明: la+(1-l)bln la+(1-l)blalna+(1- l)blnb.14.(本小題滿分20分)如圖,直角三角形AB

5、C外接圓圓心為O,ÐC=90o,過C作AB的垂線,垂足為D,作圓O1分別切弧,邊CD,DB于E,F,G,同樣作圓O2與弧,邊CD,DA相切,設(shè)圓O1半徑為r1,圓O2半徑為r2,ABC內(nèi)切圓半徑為r,證明:r=(r1+r2).CBAODEFGO2O115. (本小題滿分25分)已知數(shù)列an中a1=1,關(guān)于x的方程x2-an+1cosx+2an+1=0有唯一解.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=1+n,求證:bn<3.(3)設(shè)cn=n2an,求數(shù)列cn的前n項和Sn.16. (本小題滿分25分)雙曲線C:-=1的左右兩個焦點分別為F1,F2,P為雙曲線上一動點,且在第一象限內(nèi),已知PF1F2的重心為G,內(nèi)心為I.(1)問是否存在點P,使得IGF1F2?若存在,求出點P