高一 數(shù)學(xué)空間幾何體復(fù)習(xí)(教案版)

1、伯樂教育第一章 空間幾何體復(fù)習(xí)一：教學(xué)目標(biāo)1、熟悉簡單空間幾何體及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，2、能畫出簡單空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，并能識別上述三視圖表示的立體模型。3、了解簡單空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算公式。二：教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：熟悉簡單幾何體及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并會畫出它們的三視圖。教學(xué)難點(diǎn)：區(qū)別各種幾何體結(jié)構(gòu)特征的異同，并能與實(shí)際生活中相聯(lián)系。三：基礎(chǔ)知識（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)結(jié) 構(gòu) 特 征結(jié) 構(gòu) 特 征圖例棱柱（1）兩底面相互平行，其余各面都是四邊形；（2）并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行. 圓柱（1）是以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其

2、余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體,圓柱.棱錐（1）底面是多邊形，各側(cè)面均是三角形；（2）各側(cè)面有一個公共頂點(diǎn). 圓錐（1）底面是圓；（2）是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體. 圓錐棱臺（1）兩底面相互平行；（2）是用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分. 棱臺圓臺（1）兩底面相互平行；（2）是用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分. 圓臺球（1）球心到球面上各點(diǎn)的距離相等；（2）是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體. 球O.知識拓展1.特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；側(cè)棱垂

3、直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫做直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體，其中長方體對角線的平方等于同一頂點(diǎn)上三條棱的平方和.2.特殊的棱錐：如果棱錐的底面為正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐，正棱錐各側(cè)面底邊上的高均相等，叫做正棱錐的斜高；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體.3.特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺，正棱臺的側(cè)面是全等的等腰梯形，正棱臺各側(cè)面等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.4.球心與球的截面圓心的連線垂直于

4、截面.5.規(guī)定：在多面體中，不在同一面上的兩個頂點(diǎn)的連線叫做多面體的對角線，不在同一面上的兩條側(cè)棱稱為多面體的不相鄰側(cè)棱，側(cè)棱和底面多邊形的邊統(tǒng)稱為棱.（二）空間幾何體的三視圖和直觀圖1、中心投影與平行投影中心投影：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實(shí)形.平行投影：把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影線是平行的。在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做斜投影。討論：點(diǎn)、線、三角形在平行投影后的結(jié)果.2、空間幾何體的三視圖正視圖：是光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖。側(cè)視圖：是光

5、線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖。俯視圖：是光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。3、空間幾何體的直觀圖直觀圖”最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實(shí)質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的畫法. 基本步驟如下：（1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，得到直角坐標(biāo)系xoy，直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系，兩軸夾角為.（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x或y軸的線段.（3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半.（三）空間幾何體的表面積和體積 四：典型例題考點(diǎn)一：簡單幾何

6、體結(jié)構(gòu)的理解與應(yīng)用1、下面幾何體的軸截面一定是圓的是 ( C )A圓柱 B圓錐 C球 D圓臺2、下列說法正確的是 ( D ) A有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱.B有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱.C有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐.D棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn).3、以等腰直角梯形的直角腰所在的直線為軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是_圓臺_。4、若三棱錐的底面為正三角形，側(cè)面為等腰三角形，側(cè)棱長為2，底面周長為9，求棱錐的高。解：底面正三角形中，邊長為3，高為，中心到頂點(diǎn)距離為，則棱錐的高為。5、用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截

7、得圓臺上、下底面的面積之比為1：16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長。解：設(shè)圓臺的母線為，截得圓臺的上、下底面半徑分別為，.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，解得.所以，圓臺的母線長為9cm.點(diǎn)評：用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相似），同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面）的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而解得。6、如圖，四邊形ABCD繞邊AD所在直線EF旋轉(zhuǎn)，其中ADBC，ADCD，當(dāng)點(diǎn)A選在射線DE上的不同位置時，形成的幾何體大小、形狀不同，比較其異同點(diǎn).答案：當(dāng)ADBC時，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾

8、何體為底面半徑為CD的圓柱和圓錐拼成；當(dāng)AD=BC時，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱；當(dāng)0ADBC時，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱中挖去一個同底的圓錐；當(dāng)AD=0時，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱中挖去一個同底等高的圓錐.5、連接正方體的相鄰各面的中心（所謂中心是指各面所在正方形的兩條對角線的交點(diǎn)），所得的一個幾何體是幾面體？并畫圖表示該幾何體.活動：先畫出正方體，然后取各個面的中心，并依次連成線觀察即可.連接相應(yīng)點(diǎn)后,得出圖形如圖 (1)，再作出判斷.(1) (2)解：如圖(1)，正方體ABCDA1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分

9、別是各表面的中心.由點(diǎn)O1、O2、O3、O4、O5、O6組成了一個八面體，而且該八面體共有6個頂點(diǎn)，12條棱.該多面體的圖形如圖（2）所示.點(diǎn)評：本題中的八面體，事實(shí)上是正八面體八個面都是全等的正三角形，并且以每個頂點(diǎn)為其一端，都有相同數(shù)目的棱.由圖還可見，該八面體可看成是由兩個全等的四棱錐經(jīng)重合底面后而得到的，而且中間一個四邊形O2O3O4O5還是正方形，當(dāng)然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.為了增強(qiáng)立體效果，正方體應(yīng)畫得“正”些，而八面體的放置應(yīng)稍許“傾斜”些，并且“后面的”線，即被前面平面所遮住的線，如圖中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4應(yīng)畫成虛線.考點(diǎn)二：簡單幾何體的三視圖

10、及其應(yīng)用1、兩條相交直線的平行投影是（ ）A.兩條相交直線 B.一條直線 C.兩條平行直線 D.兩條相交直線或一條直線分析：借助于長方體模型來判斷，如圖18所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，一束平行光線從正上方向下照射.則相交直線CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一條直線CD，相交直線CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是兩條相交直線CD和BD。 答案：D2、如圖甲所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影可能是圖12乙中的_. 甲 乙活動：要畫出四邊形AGFE在該正方

11、體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點(diǎn)A、G、F、E在每個面上的投影，再順次連接即得到在該面上的投影，并且在兩個平行平面上的投影是相同的。分析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖12乙（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖12乙（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是圖12乙（3）.答案：（1）（2）（3）點(diǎn)評：本題主要考查平行投影和空間想象能力.畫出一個圖形在一個平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)等，畫出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影.如果對平行投影理解不充分，做該類題目容易出現(xiàn)不知所措的情形，避免出現(xiàn)這種情況的方法是依據(jù)

12、平行投影的含義，借助于空間想象來完成.3、下列各項(xiàng)不屬于三視圖的是（ ）A.正視圖 B.側(cè)視圖 C.后視圖 D.俯視圖分析：根據(jù)三視圖的規(guī)定，后視圖不屬于三視圖.答案：C4、如果一個空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個圓及其圓心，那么這個幾何體為（ ）A.棱錐 B.棱柱 C.圓錐 D.圓柱分析：由于俯視圖是一個圓及其圓心，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，則該幾何體是圓錐.答案：C5、某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是（ ）A.三棱錐 B.四棱錐 C.四棱臺 D.三棱臺分析：由所給三視圖可以判定對應(yīng)的幾何體是四棱錐.答案：B6、如圖所示

13、，甲、乙、丙是三個立體圖形的三視圖，甲、乙、丙對應(yīng)的標(biāo)號正確的是（ ） 甲 乙 丙長方體 圓錐 三棱錐 圓柱A. B. C. D.分析：由于甲的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因正視圖和側(cè)視圖均是矩形，則甲是圓柱；由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又因正視圖和側(cè)視圖均是三角形，則該多面體的各個面都是三角形，則乙是三棱錐；由于丙的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因正視圖和側(cè)視圖均是三角形，則丙是圓錐.答案：A點(diǎn)評：本題主要考查三視圖和簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.根據(jù)三視圖想象空間幾何體，是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據(jù)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的幾何特征，想象整個幾何體的幾何

14、特征，從而判斷三視圖所描述的幾何體.通常是先根據(jù)俯視圖判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖確定具體的幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體。7、.圖是一幾何體的三視圖，想象該幾何體的幾何結(jié)構(gòu)特征，畫出該幾何體的形狀. 分析：由于俯視圖有一個圓和一個四邊形，則該幾何體是由旋轉(zhuǎn)體和多面體拼接成的組合體，結(jié)合側(cè)視圖和正視圖，可知該幾何體是上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體.答案：上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體.該幾何體的形狀如圖所示.8、.畫出如圖所示的正四棱錐的三視圖.分析：正四棱錐的正視圖與側(cè)視圖均為等腰三角形，俯視圖為正方形，對角線體現(xiàn)正四棱錐的四條側(cè)

15、棱.答案：正四棱錐的三視圖如圖9、下列圖形表示水平放置圖形的直觀圖，畫出它們原來的圖形.。解：依據(jù)斜二測畫法規(guī)則，逆向進(jìn)行，如圖所示.10、（1）畫水平放置的一個直角三角形的直觀圖；（2）畫棱長為4cm的正方體的直觀圖。解：（1）畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角邊CB所在的直線為x軸，與BC垂直的直線為y軸，畫出對應(yīng)的軸和軸，使.第二步，在軸上取，過作軸的平行線，取.第三步，連接，即得到該直角三角形的直觀圖.（2）畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使.第二步，過A作軸，使. 分別過點(diǎn)作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截

16、取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.。點(diǎn)評：直觀圖的斜二測畫法的關(guān)鍵之處在于將圖中的關(guān)鍵點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的水平方向與垂直方向的坐標(biāo)長度，然后運(yùn)用“水平長不變，垂直長減半”的方法確定出點(diǎn)，最后連線即得直觀圖. 注意被遮擋的部分畫成虛線.。11、如右圖所示，梯形是一平面圖形的直觀圖。 若，.。請畫出原來的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的面積.解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取；.在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取.在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取.連接BC，即得到了原圖形.由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為，直角腰長度為，所以面積為.點(diǎn)評：給出直觀圖來研究原圖形，

17、逆向運(yùn)用斜二測畫法規(guī)則，更要求我們具有逆向思維的能力. 畫法關(guān)鍵之處同樣是關(guān)鍵點(diǎn)的確定，逆向的規(guī)則為“水平長不變，垂直長增倍”，注意平行于y軸的為垂直.考點(diǎn)三：會計(jì)算簡單幾何體的表面積與體積1、如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底面為，腰和上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（ A ）A. B. C. D. 2、半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為（ A ）A. B. C. D. 3、正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（D ）A. B. C. D. 4、長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別是3、4、5，且它的8個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是 （ B ） A、 B、 C、

18、D、都不對5、已知圓臺的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長.解：設(shè)圓臺的母線長為,則 圓臺的上底面面積為 圓臺的下底面面積為 所以圓臺的底面面積為 又圓臺的側(cè)面積于是 9分即為所求6、直三棱柱ABC-A1B1C1中，各側(cè)棱和底面的邊長均為a，點(diǎn)D是CC1上任意一點(diǎn)，連接A1B,BD, A1D,AD,則三棱錐A- A1BD的體積為（ B ）A. B. C. D. 7、一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積與的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域.。解:如圖,設(shè)所截等腰三角形的底

19、邊邊長為.在中, , 3分所以, 6分于是 10分依題意函數(shù)的定義域?yàn)?、已知兩個幾何體的三視圖如下，試求它們的表面積和體積。單位：CM圖（2圖（1）（1）圖（1）中的幾何體可看成是一個底面為直角梯形的直棱柱。直角梯形的上底為，下底為，高為；棱柱的高為?？汕蟮弥苯翘菪蔚乃臈l邊的長度為1，1，2，。所以此幾何體的體積(2)由圖可知此正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為，可求得底面邊長為4。所以9、養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12M，高4M。養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽?，F(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4M（

20、高不變）；二是高度增加4M(底面直徑不變)。分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積；分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；哪個方案更經(jīng)濟(jì)些？解:（1）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16M,則倉庫的體積如果按方案二，倉庫的高變成8M，則倉庫的體積（2）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16M,半徑為8M.，棱錐的母線長為則倉庫的表面積如果按方案二，倉庫的高變成8M.棱錐的母線長為則倉庫的表面積（3） ，能力提升想一想：正方體的截面可能是什么形狀的圖形？活動：靜止是相對的，運(yùn)動是絕對的，點(diǎn)動成線，線動成面.用運(yùn)動的觀點(diǎn)看幾何問題的形成，容易建立空間想象力，這樣對于分割和組合圖形是有好處的.明確棱柱

21、、棱錐、棱臺等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺的生成過程，以及柱、錐、臺的相互關(guān)系，對于我們正確的割補(bǔ)圖形也是有好處的.對于正方體的分割，可通過實(shí)物模型，實(shí)際切割實(shí)驗(yàn)，還可借助于多媒體手段進(jìn)行切割實(shí)驗(yàn).對于切割所得的平面圖形可根據(jù)它的定義進(jìn)行證明，從而判斷出各個截面的形狀.探究：本題考查立體幾何的空間想象能力，通過嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否定性的答案：（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形.（2）截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形.（3）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面為四邊形時，這個四邊形至少有一組對

22、邊平行.（4）截面不能是直角梯形.（5）截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等；截面五邊形不可能是正五邊形.（6）截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時有兩個角相等.（7）截面六邊形可以是等角（均為120°）的六邊形，即正六邊形.截面圖形如圖12中各圖所示：五：課后練習(xí)1一個棱柱是正四棱柱的條件是（ ）.A.底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形 B.底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面C.底面是菱形，且有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直 D.每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱2下列說法中正確的是（ ）. A. 以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐 B.

23、 以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C. 圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓D. 圓錐側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑3下列說法錯誤的是（ ）. A. 若棱柱的底面邊長相等，則它的各個側(cè)面的面積相等 B. 九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形 C. 六角螺帽、三棱鏡都是棱柱 D. 三棱柱的側(cè)面為三角形4、在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有（ ）. A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個解：在長方體中，取四棱錐，它的四個側(cè)面都是直角三角形. 選D.5、下列說法正確的是（ ）. A. 相等的線段在直觀圖中仍然相等B. 若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行C. 兩個全等三角形的直觀圖一定也全等 D. 兩個圖形的直觀圖是全等的三角形，則這兩個圖形一定是全等三角形6、如圖所示，E、F分別為正方體面ADDA、面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的各個面上的投影可能是圖13(2)的_. (1) 分析：四邊形BFDE在正方體ABCDABCD的面ADDA、面BCCB上的投影是C；在面DCCD上的投影是B；同理，在面ABBA、面ABCD、面ABCD上的投影也全是