多元函數(shù)的全微分PPT課件

1、 第八章 第三節(jié)一元一元可微可微函數(shù)函數(shù))(xoxAy xxf )(0多元函數(shù)的全微分yd y很小時(shí)）很小時(shí)）（當(dāng)（當(dāng)x yydxyoxx0)(xfy 0 x幾何意義：幾何意義： 可微函數(shù)的可微函數(shù)的曲線在切點(diǎn)附近可用該曲線在切點(diǎn)附近可用該點(diǎn)的切線段近似。點(diǎn)的切線段近似。微分微分( (可微函數(shù)的局部線性化可微函數(shù)的局部線性化) )(xfy 上一節(jié)課我們討論了多元函數(shù)中只有一個(gè)上一節(jié)課我們討論了多元函數(shù)中只有一個(gè)自變量變化的情況下因變量相對(duì)于該自變自變量變化的情況下因變量相對(duì)于該自變量的瞬時(shí)變化率（偏導(dǎo)數(shù)）量的瞬時(shí)變化率（偏導(dǎo)數(shù)）.本節(jié)我們考慮多元函數(shù)中所有自變量都作本節(jié)我們考慮多元函數(shù)中所有自

2、變量都作微小變化的情況下因變量與自變量的變化微小變化的情況下因變量與自變量的變化關(guān)系。關(guān)系。. .00的的改改變變量量求求面面積積作作微微小小變變化化時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng)矩矩形形的的長(zhǎng)長(zhǎng)寬寬由由引引例例Syx00yxS yx yx 0 xy 0解：解：0000)(yxyyxx yxxyyx 00的線性函數(shù)的線性函數(shù)關(guān)于關(guān)于yx ,高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小比比yx ,很小時(shí)，很小時(shí)，、當(dāng)當(dāng)yx .00 xyyxS xyS S0 x0yx y 由此引入由此引入二元可微函數(shù)二元可微函數(shù)的概念的概念. .一、全微分的定義一、全微分的定義可可表表示示為為如如果果的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函

3、數(shù)數(shù)),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz 22)()( ).(yxoyBxAz 其中其中。全全微微分分的的在在點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為，而而可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)),(),(),(),(0000yxyxfyBxAyxyxfz . yBxAdzzd ，即，即記作記作上例，上例，.00 xyyx dS oyx),(00yx),(00yyxx .高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小的的差差是是比比與與的的線線性性函函數(shù)數(shù)，、是是關(guān)關(guān)于于由由定定義義可可知知， zdzyxdz .),(去去近近似似的的線線性性函函數(shù)數(shù)即即全全微微分分、可可用用的的改改變變量量量量改改變變很很小小時(shí)時(shí)，因

4、因變變量量可可微微，則則當(dāng)當(dāng)自自變變所所以以如如果果函函數(shù)數(shù)dzyxzyxfz 全微分的意義全微分的意義: :.的的是是用用來(lái)來(lái)近近似似zdz 前例，前例，很小時(shí)，很小時(shí)，、當(dāng)當(dāng)yx .00 xyyxdS 此性質(zhì)稱(chēng)為二元可微函數(shù)的此性質(zhì)稱(chēng)為二元可微函數(shù)的局部線性化局部線性化. . S簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化計(jì)算計(jì)算二、可微的條件二、可微的條件很很小小時(shí)時(shí)，可可微微，則則當(dāng)當(dāng)所所以以如如果果yxyxfz ,),(.),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 存存在在，的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微，則則在在點(diǎn)點(diǎn)（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理),(),(),(),(10000yxyxfyxyx

5、fz yyzxxzdzyxyx ),(),(0000可微可微連續(xù)連續(xù)).( oyBxAz . 0 z，當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx且且證：證：)( oyBxAz 總成立總成立,),(),(0000yxfyxxf |),(|xoxA A xyxfyxxfx ),(),(lim00000同理可得同理可得.),(00yxyzB 可微，可微，在點(diǎn)在點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)?,(),(00yxyxfz oyx),(00yx),(00yyxx ),(00yxx ，得得，然然后后令令上上式式兩兩邊邊同同除除以以0 xx,),(00yxxz ，令令0 y，此時(shí)此時(shí)| x 上式化為上式化為證證*：),(),(0000yxf

6、yyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf .),(),(),(),( 20000可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，則則在在點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)（充充分分條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理yxyxfyxyxfz xxyyxfx 100),( ,),(2001yyyxfxy xyxfx ),(300 （偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）,),(200yyyxfy yxyyxfxyxfyx 210000),(),( （一元可微函數(shù)的性質(zhì)）（一元可微函數(shù)的性質(zhì)）oyx),(00yx),(00yyxx ),(00yyx . 0,)0 , 0(),( 21 ，當(dāng)當(dāng)y

7、x yx 21, 00 .),(),(00可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù)yxyxfz )(21 oyx 21 二元函數(shù)全微分的幾何意義：二元函數(shù)全微分的幾何意義： 全微分就是切面高全微分就是切面高很小時(shí)，很小時(shí)，當(dāng)當(dāng)yx ,.dzz 小曲面高小曲面高切面高（全切面高（全微分）微分）yyxfxyxfyx ),(),(0000 xyzO PQMN00(,)xy00(,)xx yy所以可微函數(shù)的曲面所以可微函數(shù)的曲面在切點(diǎn)附近可用該點(diǎn)在切點(diǎn)附近可用該點(diǎn)的切平面近似的切平面近似. .dzz .),(NMPyxfz增量增量的的的切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)表示曲面表示曲面 （以后證明）（

8、以后證明）),(yxfz dz可微函數(shù)的曲面在切點(diǎn)附近可用該點(diǎn)的可微函數(shù)的曲面在切點(diǎn)附近可用該點(diǎn)的切平面近似切平面近似. .的的形形式式也也可可寫(xiě)寫(xiě)為為dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù),),(可微可微如果如果zyxfu 全微分的計(jì)算全微分的計(jì)算yyzxxzdz , x yyyxxydy dx. dzzudyyudxxudu 則則yyxxxx y 例例 1 1 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 2(處的全微分處的全微分.解：解：xz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxe

9、所求全微分所求全微分dyyzdxxzdz ,xyye 解：解：所求全微分所求全微分. . 2222的的全全微微分分求求函函數(shù)數(shù)例例zyxr xr,rx.dzzrdyyrdxxrdr .dzrzdyrydxrx yr.rzzr ,ry多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的關(guān)系:函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)一元函數(shù): : 可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微連續(xù)連續(xù)選擇題選擇題全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用*)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx ),( ),(),(0000很很小小當(dāng)

10、當(dāng)yxyyxfxyxfzyx ),(00yyxx 可可微微，則則如如果果),(yxfz 或者或者應(yīng)用：應(yīng)用：. ),(yxfz或或函函數(shù)數(shù)值值近近似似計(jì)計(jì)算算 解：解：.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), 2, 100 yx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得 02. 2)04. 1(.08. 1 )(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx 08245. 1.02. 0 ,04. 0 yx02. 0004. 021 要點(diǎn)要點(diǎn):第三節(jié) 多元函數(shù)的全微分二元可微函數(shù)的定義二元可微函數(shù)的定義: ),( oyBxAz zyyzxxz dz可可微的意義微的意義: :全微分的幾何意義：全微分的幾何意義：可微函數(shù)的曲面在切點(diǎn)附可微函數(shù)的曲面在切點(diǎn)附近可用該點(diǎn)的切平面近似近可用該點(diǎn)的切平面近似. .),(很小很小當(dāng)當(dāng)yx 22)()(yx 其中其中.dy