專題32圖形的鑲嵌與圖形的設(shè)計(jì)

1、專題32：圖形的鑲嵌與圖形的設(shè)計(jì)一、選擇題1.（浙江衢州3分）如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為（3）的正方形內(nèi)任意移動(dòng)，則該正方形內(nèi)，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是A、2B、（4）2 C、D、4【答案】 D?！究键c(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】如圖，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是就是邊長為（3）的正方形與圓在兩條邊相切時(shí)，正方形與圓之間的部分，它的面積等于邊長為1的小正方形面積減去四分之一的圓面積，一共四個(gè)角，所以該正方形內(nèi)，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是。故選D。2.（浙江寧波3分）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片(如圖)不重疊地放在一個(gè)底面為長方形(長為

2、m cm，寬為n cm)的盒子底部(如圖)，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示則圖中兩塊陰影部分周長和是(A)4m cm (B)4n cm (C) 2(m+n) cm (D)4(m-n) cm【答案】B?！究键c(diǎn)】整式的加減。【分析】設(shè)圖小長方形的長為，寬為，上面的陰影周長為：2（nm），下面的陰影周長為：2（m2n2），總周長為：4m4n4（2）。又2=m，4m4n4（2）=4n。故選B。3.（湖南岳陽3分）小芳家房屋裝修時(shí)，選中了一種漂亮的正八邊形地磚建材店老板告訴她，只用一種八邊形地磚是不能密鋪地面的，便向她推薦了幾種形狀的地磚你認(rèn)為要使地面密鋪，小芳應(yīng)選擇另一種形狀的地磚是 【答案】B

3、?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥空诉呅蔚囊粋€(gè)內(nèi)角為135°，從所給的選項(xiàng)中取出一些進(jìn)行判斷，看其所有內(nèi)角和是否為360°，并以此為依據(jù)進(jìn)行求解：A、正八邊形、正三角形內(nèi)角分別為135°、60°，顯然不能構(gòu)成360°的周角，故不能鋪滿正；B、正方形、八邊形內(nèi)角分別為90°、135°，由于135×2+90=360，故能鋪滿；C、正六邊形和正八邊形內(nèi)角分別為120°、135°，顯然不能構(gòu)成360°的周角，故不能鋪滿；D、正八邊形、正五邊形內(nèi)角分別為135°、

4、108°，顯然不能構(gòu)成360°的周角，故不能鋪滿。故選B。4.（江蘇泰州3分）如圖，直角三角形紙片ABC的C為90°，將三角形紙片沿著圖示的中位線DE剪開，然后把剪開的兩部分重新拼接成不重疊的圖形，下列選項(xiàng)中不能拼出的圖形是A平行四邊形 B矩形 C等腰梯形 D直角梯形【答案】D?！究键c(diǎn)】圖形的拼接，三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、等腰梯形和直角梯形的判定?！痉治觥堪袲A拼接DC（即把ADE以點(diǎn)D為中心向左轉(zhuǎn)動(dòng)1800）可得平行四邊形；把AE拼接EB（即把ADE以點(diǎn)E為中心向右轉(zhuǎn)動(dòng)1800）可得矩形；把AD拼接DC（即把ADE向下平移使AD與DC重合，再以直線D

5、C為中心向右翻動(dòng)1800）可得等腰梯形。不能拼出直角梯形。故選D。5.（山東濱州3分）如圖，在一張ABC紙片中，C90°，B60°，DE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中位線DE剪開，計(jì)劃拼出以下四個(gè)圖形：鄰邊不等的矩形；等腰梯形；有一個(gè)角為銳角的菱形；正方形那么以上圖形一定能被拼成的個(gè)數(shù)為A、1B、2 C、3D、4【答案】C?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，圖形的拼接?！痉治觥繉⒃撊切渭舫蓛刹糠郑磮D使得ADE和直角梯形BCDE不同的邊重合，即可解題： 使得CE與AE重合，即可構(gòu)成鄰邊不等的矩形，如圖1：C60°，ABBC，BDBC； 使得BD與AD重合，即可構(gòu)成等腰梯形，如圖

6、2：使得BD與DE重合，即可構(gòu)成有一個(gè)角為銳角的菱形，如圖3：圖1故可拼出故選C。6.（山東棗莊3分）如圖，這是一個(gè)正面為黑、反面為白的未拼完的拼木盤，給出如下四塊正面為黑、反面為白的拼木，現(xiàn)欲拼滿拼木盤使其顏色一致那么應(yīng)該選擇的拼木是【答案】B。【考點(diǎn)】拼圖?！痉治觥堪袮圖旋轉(zhuǎn)1800后即可直接得出結(jié)果。故選B。7.（山東棗莊3分）如圖，邊長為(m+3)的正方形紙片剪出一個(gè)邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無縫隙)，若拼成的矩形一邊長 為3，則另一邊長是Am+3Bm+6 C2m+3 D2m+6【答案】C?！究键c(diǎn)】拼圖?！痉治觥繌膱D形可直接得出結(jié)果：拼成的矩形另一邊較長部分

7、是m+3，較短部分是m，相加為2m+3。故選C。8. （湖北十堰3分）現(xiàn)有邊長相同的正三角、正方形和正六邊形紙片若干張，下列拼法中不能鑲嵌成一個(gè)平面圖案的是 A正方形和正六邊形 B正三角形和正方形C正三角形和正六邊形 D正三角形、正方形和正六邊形【答案】A?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥空噙呅蔚慕M合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360°若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿：A、正方形和正六邊形內(nèi)角分別為90°、120°，由于90m+120n=360，得m=4n，顯然n取任何正整數(shù)時(shí)，m不能得正整數(shù)，故不能鋪滿；B

8、、正三角形和正方形內(nèi)角分別為60°、90°，由于60°×3+90°×2=360°，故能鋪滿；C、正三角形和正六邊形內(nèi)角分別為60°、120°，由于60°×2+120°×2=360°，故能鋪滿；D、正三角形、正方形和正六邊形內(nèi)角分別為60°、90°、120°，由于60°+90°+90°+120°=360°，故能鋪滿。故選A。9.（四川內(nèi)江3分）下列多邊形中，不能夠單獨(dú)鋪滿地面的是

9、 A、正三角形 B、正方形 C、正五邊形 D、正六邊形【答案】C?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），多邊形內(nèi)角和定理。【分析】由鑲嵌的條件知，在一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角和為360°，用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正方形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案，不能鋪滿地面的是正五邊形。故選C。10.（安徽蕪湖4分）如圖，從邊長為()cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為（）cm的正方形（），剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無縫隙)，則矩形的面積為A B C D【答案】D。【考點(diǎn)】圖形的剪拼。【分析】從圖中可知，矩形的長是兩個(gè)正方形邊長的和，寬是兩個(gè)正方形邊長的差3，因此矩形的面積為。11.（

10、遼寧朝陽3分）如圖，沿RtABC的中位線DE剪切一刀后，用得到的ADE和四邊形DBCE拼圖，下列圖形：平行四邊形；菱形；矩形；等腰梯形一定能拼出的是 A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 【答案】C?！究键c(diǎn)】圖形的拼接，三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、等腰梯形和直角梯形的判定。【分析】把DA拼接DC（即把ADE以點(diǎn)D為中心向左轉(zhuǎn)動(dòng)1800）可得平行四邊形；把AE拼接EB（即把ADE以點(diǎn)E為中心向右轉(zhuǎn)動(dòng)1800）可得矩形；把AD拼接DC（即把ADE向下平移使AD與DC重合，再以直線DC為中心向右翻動(dòng)1800）可得等腰梯形。不能拼出菱形。故選C。12.（貴州貴陽3分）有下列五種正多邊形地磚

11、：正三角形；正方形；正五邊形；正六邊形；正八邊形，現(xiàn)要用同一種大小一樣、形狀相同的正多邊形地磚鋪設(shè)地面，其中能做到此之間不留空隙、不重疊地鋪設(shè)的地磚有 A、4種B、3種 C、2種D、1種【答案】B?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥扛鶕?jù)一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360°求解即可：正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，能整除360°，能夠鋪滿地面；正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，能整除360°，能夠鋪滿地面；正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°360°÷5=108°，不能整除360°，不能

12、夠鋪滿地面；正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，能整除360°，能夠鋪滿地面；正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°360°÷8=135°，不能整除360°，不能夠鋪滿地面。故選B。13.（福建泉州3分）下列正多邊形中，不能鋪滿地面的是 A、正三角形 B、正方形 C、正六邊形 D、正七邊形【答案】D?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥坑啥噙呅蝺?nèi)角和定理分別求出所給圖形的內(nèi)角，根據(jù)密鋪的性質(zhì)（內(nèi)角的度數(shù)能被360°整除）進(jìn)行判斷即可：解：A、正三角形的內(nèi)角是60°，6×60°=360

13、°，正三角形能鋪滿地面，故本選項(xiàng)正確；B、正方形的內(nèi)角是90°，4×90°=360°，正方形能鋪滿地面，故本選項(xiàng)正確；C、正六邊形的內(nèi)角是120°，3×120°=360°，正六形能鋪滿地面，故本選項(xiàng)正確；D、正七形的內(nèi)角是， 同任何一個(gè)正整數(shù)相乘都不等于360°，正七邊形不能鋪滿地面，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選D。14.（福建南平4分）有一等腰梯形紙片ABCD（如圖），ADBC，AD1，BC3，沿梯形的高DE剪下，由DEC與四邊形ABED不一定能拼成的圖形是A直角三角形B矩形C平行四邊形D正方形【答案】

14、D?！究键c(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形的判定，平行四邊形的判定，矩形的判定，正方形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)題意，由等腰梯形的性質(zhì)，知BCE是等腰直角三角形。畫出符合條件的所有圖形：如圖放置分別得到直角三角形，矩形，平行四邊形，但得不到正方形。故選D。二、填空題1.（浙江湖州4分）如圖，甲類紙片是邊長為2的正方形，乙類紙片是邊長為1的正方形，丙類紙片是長、寬分別為2和1的長方形如果現(xiàn)有甲類紙片1張，乙類紙片4張，那么應(yīng)至少取丙類紙片 張，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形【答案】4?！究键c(diǎn)】完全平方公式的幾何背景，不定方程的最小正整數(shù)解?！痉治觥坑蓸?gòu)成的新正方形的面積一定是一個(gè)完全平方數(shù)，根據(jù)三張紙片的面

15、積即可確定：設(shè)至少取丙類紙片張，才能用它們拼成一個(gè)新的邊長為的正方形，新的正方形面積為442=82，要使它是完全平方數(shù)，即82=2，解得。它的最小正整數(shù)解是當(dāng)時(shí)的值：。2.（浙江臺州5分）如圖，CD是O的直徑，弦ABCD，垂足為點(diǎn)M，AB20，分別以CM、DM為直徑作兩個(gè)大小不同的O1和O2，則圖中陰影部分的面積為 (結(jié)果保留) 【答案】50?！究键c(diǎn)】垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等量代換?！痉治觥咳鐖D，連接AC，AD，ABCD，AB=20，AM=MB=10。又CD為直徑，CAD=90°，RtMACRtMDA。，即MA2=MCMD=100。S陰影部分=SOS1S2=

16、。3.（湖南株洲3分）按下面擺好的方式，并使用同一種圖形，只通過平移方式就能進(jìn)行平面鑲嵌(即平面密鋪)的有 （寫出所有正確答案的序號）.【答案】?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），平移的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)一種圖形平面鑲嵌的條件，即能整除360°的多邊形，而且只通過平移就能進(jìn)行平面鑲嵌，得出每個(gè)內(nèi)角必須是90°，分別分析即可：正三角形雖然能平面鑲嵌但是需通過旋轉(zhuǎn)得出，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；正方形，每個(gè)內(nèi)角等于90°，通過平移就能進(jìn)行平面鑲嵌，故此選項(xiàng)正確；矩形，每個(gè)內(nèi)角等于90°，通過平移就能進(jìn)行平面鑲嵌，故此選項(xiàng)正確；正五邊形，每個(gè)內(nèi)角等于108°，不能平面鑲

17、嵌，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤。故答案為。4.（江蘇宿遷3分）將一塊直角三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，展開后平鋪在桌面上（如圖所示）若C90°，BC8cm，則折痕DE的長度是 cm【答案】4?！究键c(diǎn)】折疊，三角形中位線的性質(zhì)?！痉治觥空郫B后DE是ABC的中位線，從而根據(jù)三角形的中位線等于第三邊一半的性質(zhì)，得DE4 cm。5.（廣東臺山4分）如圖，用同樣規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察圖形并解答下列問題。 n=1 n=2 n=3在第n個(gè)圖中，共有 白塊瓷磚。（用含n的代數(shù)式表示）【答案】n（n1）。【考點(diǎn)】分類歸納?！痉治觥坑^察圖形可知，第1個(gè)圖中，白色正方形瓷磚的塊數(shù)是1&

18、#215;（11）；第2個(gè)圖中，白色正方形瓷磚的塊數(shù)是2×（21）；第3個(gè)圖中，白色正方形瓷磚的塊數(shù)是3×（31）；則第n個(gè)圖中，白色正方形瓷磚的塊數(shù)是n（n1）。6. （江西省A卷3分）將完全相同的平行四邊形和完全相同的菱形鑲嵌成如圖所示的圖案設(shè)菱形中較小角為x度，平行四邊形中較大角為y度，則y與x的關(guān)系式是 【答案】2yx=180?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，得ADC=180x，CDB=ADB =y，根據(jù)平面鑲嵌的性質(zhì)得，ADCCDBADB=360，即180xyy=360，即2yx=180。7.

19、（四川自貢4分）如圖，ABC中，AB=BC=6，AC=10，分刷以AB，BC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為 【答案】?！究键c(diǎn)】圖形分的割拼接，勾股定理?！痉治觥糠治鰣D形，將圖形分割拼接可見，圖中陰影部分的面積為四個(gè)扇形即圓的面積減去ABC的面積。 圓半徑為AB=3，面積為。ABC的底AC=10，AC邊上的高=，面積為。圖中陰影部分的面積為。三、解答題1.（浙江溫州8分）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，用它可以拼出多種圖形，請你用七巧板中標(biāo)號為的三塊板（如圖1）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)拼成圖形（1）拼成矩形，在圖2中畫出示意圖（2）拼成等腰直角三角形，在圖3中畫出示意圖注意：相鄰兩塊板之間無空隙，無

20、重疊；示意圖的頂點(diǎn)畫在小方格頂點(diǎn)上【答案】解：（1）（2）【考點(diǎn)】作圖（應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖），平移和旋轉(zhuǎn)。【分析】（1）根據(jù)七巧板中有兩個(gè)較小的等腰直角三角形，由一個(gè)小正方形進(jìn)行拼湊即可。（2）根據(jù)七巧板中有兩個(gè)較小的等腰直角三角形，且小正方形的邊長與等腰三角形的腰長相等進(jìn)行拼湊。2.（浙江杭州8分）在平面上，七個(gè)邊長為1的等邊三角形，分別用至表示（如圖）。從組成的圖形中，取出一個(gè)三角形，使剩下的圖形經(jīng)過一次平移，與組成的圖形拼成一個(gè)正六邊形（1）你取出的是哪個(gè)三角形？寫出平移的方向和平移的距離；（2）將取出的三角形任意放置在拼成的正六邊形所在平面，問：正六邊形沒有被三角形蓋住的面積能否等于？請說

21、明理由?！敬鸢浮拷猓海?）取出，向上平移2個(gè)單位。 （2）可以做到.因?yàn)槊總€(gè)等邊三角形的面積是，所以正六邊形的面積為。而所以只需用的面積覆蓋住正六邊形就能做到.【考點(diǎn)】正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)。平移的性質(zhì)【分析】（1）取出，觀察圖象，根據(jù)圖象進(jìn)行平移即可。（2）可以做到先求出每個(gè)等邊三角形的面積 ，得到正六邊形的面積為 ，覆蓋住正六邊形即可。3.（浙江衢州6分）有足夠多的長方形和正方形卡片，如下圖：（1）如果選取1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個(gè)長方形（不重疊無縫隙），請畫出這個(gè)長方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說明這個(gè)長方形的代數(shù)意義這個(gè)長方形的代數(shù)意義是

22、（2）小明想用類似方法解釋多項(xiàng)式乘法（+3）（2+）=22+7+32，那么需用2號卡片 張，3號卡片 張【答案】解：（1）這個(gè)長方形如下：或這個(gè)長方形的代數(shù)意義是2+3+22=（+）（+2）。故答案為2+3+22=（+）（+2）。（2）1號正方形的面積為2，2號正方形的面積為2，3號長方形的面積為，用類似方法解釋多項(xiàng)式乘法（+3）（2+）=22+7+32，需用2號卡片3張，3號卡片7張。故答案為3，7。【考點(diǎn)】拼圖，整式的混合運(yùn)算。【分析】（1）先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出長方形的長和寬，長為+2，寬為+，從而求出長方形的面積；（2）先求出1號、2號、3號圖形的面積，然后由（+3）（2+）=2

23、2+7+32得出答案。4.（江蘇常州、鎮(zhèn)江6分）已知：如圖1，圖形 滿足AD=AB，MD=MB，A=72°，M=144°。圖形與圖形恰好拼成一個(gè)菱形（如圖2）。記AB的長度為，BM的長度為圖形中B= °，圖形中E= °；小明有兩種紙片各若干張，其中一種紙片的形狀及大小與圖形相同，這種紙片稱為“風(fēng)箏一號”；另一種紙片的形狀及大小與圖形相同，這種紙片稱為“飛鏢一號”。 小明僅用“風(fēng)箏一號”紙片拼成一個(gè)邊長為的正十邊形，需要這種紙片 張；小明若用若干張“風(fēng)箏一號”紙片和“飛鏢一號”紙片拼成一個(gè)“大風(fēng)箏”（如圖3），其中P=72°，Q=144°

24、;，且PI=PJ=，IQ=JQ。請你在圖3中畫出拼接線并保留畫圖痕跡。（本題中均為無重疊、無縫隙拼接）【答案】解：72，36。 5。 “風(fēng)箏一號”紙片用兩張和“飛鏢一號”紙片用一張， 畫法如下： （一）以點(diǎn)P為圓心，長為半徑畫弧，分別交PI、PJ于點(diǎn)M、N； （二）分別以點(diǎn)M、N為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O； （三）連接OQ，OM，ON。 畫出拼接線如圖所示：【考點(diǎn)】全等三角形判定和性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，正十邊形?！痉治觥浚?） 在圖1圖形中，連接AM，如圖所示： ADAB，DMBM，AMAM， ADMABM（SSS）。 DB。 又四邊形ABMD的內(nèi)角和等于3

25、60°，DAB72°，DMB144°， B 72°。 在圖2中，四邊形ABCD為菱形，ABCD， AADCAADMCEF180°，A72°，ADM72°。 CEF180°72°72°36°。 （2）用“風(fēng)箏一號”紙片拼成一個(gè)邊長為b的正十邊形，得到“風(fēng)箏一號”紙片的點(diǎn)A與正十邊形的中心重合，A72°，需要這種紙片的數(shù)量。 考慮如圖3的“大風(fēng)箏”中Q=144°，而如圖1的“風(fēng)箏一號”中D72°，恰恰兩個(gè)是144°，這樣在PI和PJ上都剩下一個(gè)長，正好放下一個(gè)“飛鏢一號”。5. （湖北宜昌8分）如圖，某商標(biāo)是由邊長均