導(dǎo)數(shù)中含參數(shù)單調(diào)性及取值范圍

1、.含參數(shù)函數(shù)求單調(diào)性(求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:(1)確定函數(shù)定義域；(2)求導(dǎo)數(shù);(3)令導(dǎo)數(shù)大于0,解得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0,解得減區(qū)例1 (2012西2)已知函數(shù)f (x) 2ax 2 a之 x 1(I)當a 1時，求曲線y f(x)在原點處的切線方程;(H )求f (x)的單調(diào)區(qū)間.2x工解當a 1時f (x) f (x)x 1(x 1)(x 1)/ 22 .2(x 1)由 f (0) 2得曲線 y f (x) 在原點處的切線方程是2x(口)解:f (x)(x a)(ax 1)當a(x)2x2x-2 x-.所以f (x)在(0, 1)單調(diào)遞增，在 (,0) 單調(diào)遞減*0 f

2、(x)(x a)(x 1)2a3-x2 1當a10時，令f (x)0,得x1 a x2 f(x)與f (x)的情況如下1、，1、故f (x)的單調(diào)減區(qū)間是(,a),(,)；單調(diào)增區(qū)間是(a,)aa當a 0時，f (x)與f (x)的情況如下：一、11所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間是(,一)；單調(diào)減區(qū)間是( 一,a) ( a, )aa''ax(，x1)x1(XE)*2M，)f (x)00f(x)f (X)仁)7分x(，x2)*2出得)x1(x,)f (x)00f(x)f %)f(x)9分皿)解：由(口)得，a0時不合題意.10分C、10時，由(n)得，f (X)在(0,)單調(diào)遞增，在

3、 'a)單調(diào)遞減，所以f(x)在(0,)上存在最大值1f(-)a2a2 0設(shè)Xo為f(x) 的零點，易知X01 a22a，且x01一從而 X X0時，f (x) 0 ； X X0 時，f (x) 0 a若 f (x)在0,)上存在最小值，必有 f (0)0,解得1 a 1所以a 0時，若f (x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范圍是 (0,112分)單調(diào)遞增，所以f (x)在(0,)上存在最小值當a 0時，由(n)得，f (x)在(0, a)單調(diào)遞減，在(a,f( a) 1若 f(x)在0,)上存在最大值，必有 f (0)0，解得a 1,或a 1所以a0時，若 f(x)在0,)

4、 上存在最大值和最小值，a的取值范圍是(,1.綜上，a的取值范圍是 (,1U(0,114分例 2 設(shè)函數(shù) f (x)=ax(a+1)ln(解析】由已知得函數(shù) f (X)的定義域為(1,)，且X+1),其中a' ax 1f (x) -(ax 1-1 ,求f (x)的單調(diào)區(qū)間.1),當 1 a 0 時，f (x) 0,函數(shù)(2)當a 0時，由f (x)0,解得f(x)在(11)上單調(diào)遞減,1 一 ,i1-X ( 1 _!_)時，f (x) 0,函數(shù)f (x)在(1 _!_)上單調(diào)遞減.'a'aX(1,()1 a1(-,) af (X)0+f(x)極小值Zf (X)、 f (

5、X)隨X的變化情況如下表從上表可知當當x (1)時，f'(x) 0,函數(shù)f (x)在(1)上單調(diào)遞增.a'a'綜上所述：當 1 a 0時，函數(shù)f(x)在(1)上單調(diào)遞減.當a 0時，函數(shù)f (x)在(1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在()上單調(diào)遞,aa,增.3已知函數(shù)f(x) X2 1,其中a 0.(I)若曲線y f(x)在(1,f(1)處的切線與直線y 1平行，求a的值;(II )求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的最小值333、2a 2(x a ).解 f (x) 2x - 2 x 0 .x x,23、(D由題意可得f (1) 2(1 a )0解得a 1,3此時f(1) 4

6、,在點 (1,f(1) 處的切線為y 4,與直線y 1平行故所求a值為1，4分(ii)由 f (x)0 可彳# x a , a 05分當0 a 1時f (x) 0在(1,2 上恒成立，所以y f(x)在1,2 上遞增，.6分一3所以f(x)在1,2上的最小值為f (1) 2a 2 .當1 a 2時，x(1,a)a(a,2)f (x)一0十f(x)極小 «、 r 2 d- , 、-2由上表可得y f (x)在1,2 上的最小值為 f (a) 3a 1 11分當a 2時，f (x) 0在1,2)上恒成立，所以yf (x)在1,2上遞減.12分 «、 r 3 d 3_所以f (x

7、)在1,2上的最小值為f (2) a 5 .13分3綜上討論，可知：當0 a 1時，y f (x)在1,2 上的最小值為 f(1) 2a 2 ；當 1 a 2 時，y f(x)在1,2上23 一的最小值為 f (a) 3a 1 ；當 a 2 時 y f (x)在1,2 上的最小值為f (2) a 5.練習1已知函數(shù)f (x) aln x1 ,-(a R且a 0) . (2012 海江一模) 2(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(n)是否存在實數(shù)a,使得對任意的x1,，都有f(x) 0?若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由2 (2012順義2文)(.本小題共14分)已知函數(shù) f(x) (a

8、1)x2 2ln x, g(x) 2ax,其中 a 1(i)求曲線y f (x)在(1,f (1)處的切線方程；(n )設(shè)函數(shù)h(x) f (x) g(x),求h(x)的單調(diào)區(qū)間.3 (2012朝1) 18.(本題滿分14分)已知函數(shù) f (x)ax2 1 ex, a R .(i)若函數(shù)f (x)在x 1時取得極值，求a的值；(n)當a 0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.有單調(diào)性時分離常數(shù)法1 O7例(東2)已知函數(shù)f(x) -x2 2x aex. 2(I)若a 1,求f(x)在x 1處的切線方程;(n)若f (x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍/一、12c x 、3解 1)由 a 1,

9、f (x)x 2x e , f (1) - e,1 分2 2所以 f (x) x 2 ex.3 分又 f (1) 1 e,3所以所求切線方程為y (一 e) (1 e)(x 1)即2(1 e)x 2y 10. 21 2xx印)由已知 f (x) x 2x ae ,得 f (x) x 2 ae . 2因為函數(shù) f (x)在R上是增函數(shù)，所以f (x) 0恒成立，即不等式x 2 aex 0恒成立. 9分整理得a令 g(x),g (x)11分x, g (x), g(x)的變化情況如下表:由此得a3g(3) = e ,即a的取值范x(,3)3(3,)g (x)0+g(x)極小值圍是13分練習1 (20

10、12懷柔2)設(shè)，函數(shù).(I)若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；(n)若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.解：(工).因為是函數(shù)的極值點，所以，即，所以.經(jīng)檢驗，當時，是函數(shù)的極值點.即 6分(n)由題設(shè)，又，所以這等價于,不等式對恒成立.令。，則,10分所以在區(qū)間上是減函數(shù)，所以的最小值為. 12分所以.即實數(shù)的取值范圍為. 13分22 (2012石景山1)已知函數(shù)f (x) x 2aln x .(I)若函數(shù)f(x)的圖象在(2, f (2)處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值;(n)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；2(出)若函數(shù)g(x) f (x)在1,2上是減函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍. x分類討

11、論求參數(shù)1例2 (2012昌平1)已知函數(shù).f (x) ln x ax( a為實數(shù))(I)當a 0時，求f(x)的最小值;(II )若f(x)在2,)上是單調(diào)函數(shù)，求 a的取值范圍解：(I)由題意可知:當a 0時f (x)x 0x 12x.2分當 0 x 1 時，f (x)1時，f(x)0.4分故 f(x)minf(1).5分(n)由 f (x)2 ax由題意可知a0時,f (x)x 1上,在2,x)時，f (x)0符合要求.7分2當a 0時令g(x) ax故此時f (x)在2,)上只能是單調(diào)遞減f (2) 04a 2 1即40解彳導(dǎo)a.9分當a 0時，f(x)在2,)上只能是單調(diào)遞增八 4a

12、 2 1c(2) 0 即0,得 a4.11分1.13分,口 0,4根據(jù)性質(zhì)求范圍)2(零點例(2012昌平2)已知函數(shù)f(x) 4ln x ax 6x b ( a , b為常數(shù))，且x 2為f (x)的一個極值點.(i)求a的值；(n)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(m)若函數(shù)yf (x)有3個不同的零點，求實數(shù) b的取值范圍.4解：(I )函數(shù)f (x)的定義域為(0, 2 1 分: f ' ( x)= 一 2ax 62分xf (2)2 4a 60,則a= 1.4 分(n)由(i)知 f (x) 4ln x x2 6x b4 c -x) = 2x 6 x22x 6x 4x2(x 2)(

13、x 1)x由 f ' ( x) > 0 可彳x x >2 或 x <1,由 f ' ( x) < 0 可彳1 1< x <2.函數(shù)f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0 , 1)和(2 , + s ),單調(diào)遞減區(qū)間為(1 , 2 )(明由(II)可知函數(shù)f (x)在(0, 1)單調(diào)遞增，在(12)單調(diào)遞減，在(2,+»)單調(diào)遞增.且當 x =1 或 x =2 時，f ' ( x) = 0 .10分f (x)的極大值為f (1) 4ln1 1 6 b b 511分f(x)的極小值為 f(2) 4ln 2 4 12 b 4ln 2

14、 8 b12分由題意可知f (1) b 5 0f (2) 4ln2 8 b則 5 b 8 4ln2 014分最值 例(2012海2)已知函數(shù)f (x)x a2-2x 3a(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當a 1時，若對任意xi,X2 3,)，有 f (Xi)f(x2) m成立，求實數(shù)m的最小值.解：f '(x)(x a)(x 3a)(x2 3a2)2令f '(x) 0 ,解得x a或x 3a(I)當a 0時，f '(x), f (x)隨著x的變化如下表x(,33a(3a,a) a(af '(x)00f(x)極小值極大值函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3a,

15、a)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，3a)(a,). 4 分當a 0時，f '(x), f (x)隨著x的變化如下表x(,a)a(a, 3a)3a(3a,f'(x)00f (x)極小值極大值函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(a, 3a)，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，a)(3a,). 6分5)當a 1時，由(I)得f (x)是(3,1)上的增函數(shù)，是(1,)上的減函數(shù)./x 1-又當 x 1 時，f(x) -0. 8分x2 31、1所以f (x)在3,)上的取小值為f ( 3),最大值為f (1) 10分62所以對任意x1,X2 3,)，f(xj fd)f(1) f( 3)

16、 2.32所以對任意x1,x2 3,)，使f(xj f (x2) m恒成立的實數(shù) m的最小值為 一.13分31。C不等式例3 (2012房山1)設(shè)函數(shù)f(x) - x 2ax3a x a(a R).3(i)當a 1時，求曲線y f (x)在點3, f (3)處的切線方程；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(出)若對于任意的 x (3a,a),者B有f (x) a 1,求a的取值范圍.1 32極值例4 (2012豐臺1)已知函數(shù)f(x) -x ax 1 (a R).(I)若曲線y=f (x)在(1 , f(1)處的切線與直線 x+y+1=0平行，求a的值;(n)若a>0,函數(shù)y=f(x

17、)在區(qū)間(a, a 2-3)上存在極值，求a的取值范圍；(出)若a>2,求證：函數(shù) y=f(x)在(0, 2)上恰有一個零點.1 。(單倜性)已知函數(shù)f(x)- x mx 3m x 1 (m 0).3(i)若m 1,求曲線y f(x)在點(2, f (2)處的切線方程;m的取值范圍.(n)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2m 1,m 1)上單調(diào)遞增，求實數(shù)解：(I)當 m 1 時，f (x)1 3285-x x 3x 1, f (2) -461333f'(x) x2 2x 3, f'(2) 4 4 3 55所以所求切線方程為 y 35(x 2)即 15x 3y 25 022(口)f

18、'(x)x 2mx 3m .令 f'(x) 0,得 x3m£x m.由于 m 0 , f (x), f(x) 的變化情況如下表:x(,3m)3m(3m, m)m(m,)f'(x)+00+f(x)單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增所以函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 (,3m)和(m,).9分要使 f (x) 在區(qū)間 (2 m 1,m1)上單調(diào)遞增,應(yīng)有 m 1 v 3m 或 2m 1 > m解得m « 一或m“1.11分又 m 0 且 m 1 2m 112分所以1m 2即實數(shù)m的取值范圍 m 1 m 213分基本性質(zhì)(2012 朝 2)設(shè)函數(shù) f (x) aln”(a 0).(D已知曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線l的斜率為2 3a,求實數(shù)a的值;(n)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性;(出)在(I)的條件下，求證：對于定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(x) 3 x.單調(diào)區(qū)間(2012門頭溝2)已知函數(shù)在處有極值.(I)求實數(shù)的值；(II )求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2012東1)已知x 1是函數(shù)f(x) (ax 2)ex的一個極值點.(I)求實數(shù)a的值；(n)當 x1，x20,2 時，證明：f(x1) f(x2) e實用(2012西城一模)如圖，拋物線 yx2