條件概率_全概率公式_貝葉斯公式謝

1、下下回回停停一、條件概率一、條件概率二、全概率公式二、全概率公式 與貝葉斯公式與貝葉斯公式第四節(jié)第四節(jié) 條件概率、條件概率、 全概率公式全概率公式 與貝葉斯公式與貝葉斯公式三、內(nèi)容小結(jié)三、內(nèi)容小結(jié)一、條件概率一、條件概率甲乙兩臺(tái)車(chē)床加工同一種機(jī)械零件甲乙兩臺(tái)車(chē)床加工同一種機(jī)械零件, 質(zhì)量質(zhì)量 表如下表如下:正品數(shù)正品數(shù)次品數(shù)次品數(shù) 合計(jì)合計(jì)甲車(chē)床甲車(chē)床 35 5 40乙車(chē)床乙車(chē)床 50 10 60總總 計(jì)計(jì) 85 15 100從這從這100個(gè)零件中任取一個(gè)個(gè)零件中任取一個(gè), 求下列事件的概率求下列事件的概率:引例引例1. 問(wèn)題的引入問(wèn)題的引入(1)取出的一個(gè)為正品取出的一個(gè)為正品;(2)取出的

2、一個(gè)為甲車(chē)床加工的零件取出的一個(gè)為甲車(chē)床加工的零件;(3)取出的一個(gè)為甲車(chē)床加工的正品取出的一個(gè)為甲車(chē)床加工的正品;(4)已知取出的一個(gè)為甲車(chē)床加工的零件已知取出的一個(gè)為甲車(chē)床加工的零件, 其為其為ABABC 100 15 85總 計(jì) 60 10 50乙車(chē)床 40 5 35甲車(chē)床 合計(jì)次品數(shù)正品數(shù)解解 (1)85. 010085)(= = =AP(2)40. 010040)(= = =BP35(3)10035. 0)(= = =ABP正品正品. 已知取出的一個(gè)為甲車(chē)床加工的零件，已知取出的一個(gè)為甲車(chē)床加工的零件， 其為正品其為正品. .(4)發(fā)發(fā)生生”發(fā)發(fā)生生的的條條件件下下，事事件件“事事件

3、件ABBAC:= =附加條件附加條件BA的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)必必然然出出現(xiàn)現(xiàn)的的中中屬屬于于“樣樣本本空空間間B .的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)出出現(xiàn)現(xiàn)”條條件件下下，屬屬于于A此時(shí)此時(shí), 樣本空間已不再是原來(lái)包含樣本空間已不再是原來(lái)包含100個(gè)樣本個(gè)樣本點(diǎn)的點(diǎn)的 , 而縮減為只包含而縮減為只包含40個(gè)樣本點(diǎn)的個(gè)樣本點(diǎn)的 B=B. .875. 04035)()(= = = =BAPCP).(85. 0)(BAPAP = =).(35. 0)(BAPABP = =BA () :.P AB以以為為樣樣本本空空間間():P A B這是巧合嗎這是巧合嗎? 不是不是.注注10為樣本空間為樣本空間. .以以BB= = .

4、)()(10040100354035)(BPABPBAP= = = =2030設(shè)設(shè)A, B是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件, 且且P(B) 0, 則稱則稱)()()(BPABPBAP= =為事件為事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件A發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率. .注注 10:)(的兩種方法的兩種方法計(jì)算計(jì)算BAP 樣本空間縮減法樣本空間縮減法; 用定義用定義.2. 定義定義1.8 (條件概率的定義條件概率的定義):)()(的的區(qū)區(qū)別別與與BAPABP;:)(為樣本空間為樣本空間以以ABP;:)(為為樣樣本本空空間間以以BBAPB= =如如: 對(duì)于古典概型對(duì)于古典概型,)(包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本

5、點(diǎn)數(shù)樣本空間樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù)ABABP= =.)(包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù)BABBAP= = ABAB20 女孩的概率女孩的概率(設(shè)男孩與女孩是等可能的設(shè)男孩與女孩是等可能的).解解,3個(gè)全是男孩”個(gè)全是男孩”“= =A,3個(gè)中至少有一個(gè)女孩”個(gè)中至少有一個(gè)女孩”“= =A男男女女123樣本點(diǎn)總數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù): 23,例例1,8121)(3= = =AP(1)求在有求在有3個(gè)小孩的家庭中個(gè)小孩的家庭中, 至少有一個(gè)至少有一個(gè).87811)(1)(= = = = = =APAP(2)在有在有3個(gè)小孩的家庭中個(gè)小孩的家庭中, 已知已知至少有至少有1

6、個(gè)女個(gè)女孩孩, 求該家庭求該家庭至少有至少有1個(gè)男孩個(gè)男孩的概率的概率.解解,3孩”孩”個(gè)小孩中至少有一個(gè)女個(gè)小孩中至少有一個(gè)女“= =A,3孩孩”個(gè)個(gè)小小孩孩中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)男男“再再設(shè)設(shè)= =B,1”“有有一一個(gè)個(gè)男男孩孩兩兩個(gè)個(gè)女女孩孩設(shè)設(shè)= =A,2”“有有兩兩個(gè)個(gè)男男孩孩一一個(gè)個(gè)女女孩孩= =A).(2121= = = =AAAAAB則則.87811)(1)(= = = = = =APAP則則 ?= =ABP)()()(21APAPABP = =.8622323= = = =C)()()(APABPABP= =從從而而.768/78/6= = =; 1)(0 BAP證證BAB

7、 )()(0BPABP 0)( BP又又1)()(0 BPABP.1)(0 BAP即即證證BB = = . 1)()()()()(= = = =BPBPBPBPBP; 0)(, 1)(= = = BPBP3. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)(2)規(guī)范性規(guī)范性:(1)非負(fù)性非負(fù)性:,:21AA列列對(duì)對(duì)于于兩兩兩兩互互斥斥的的事事件件序序證證)()()(11BPBAPBAPkkkk = = = = =)()(1BPBAPkk = = =1().kkP A B = = = (3) 可列可加性可列可加性:)()(11BAPBAPkkkk = = = = =有有 BPBAPBAPkk= =證證1212()

8、 )()PAA BP A BA B= = )()()(2121BAAPBAPBAP = =).(1)( BAPBAP = =(5) 逆事件的條件概率逆事件的條件概率:1212()()()( )P A BP A BP A A BP B= =1212(|)(|)(|).P ABP ABP A AB= = (4) 加法公式加法公式:).()()()(212121BAAPBAPBAPBAAP = =)()()(2121BPBAAPBAAP= =. )()()(, 0)(BAPBPABPBP= = 則則有有若若. )()()(, 0)(ABPAPABPAP= = 則則有有若若意義意義:兩事件積的概率等于

9、其中某一事件的概率兩事件積的概率等于其中某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已發(fā)生的條件下乘以另一事件在前一事件已發(fā)生的條件下的條件概率的條件概率.推廣推廣:則有則有且且為事件為事件設(shè)設(shè), 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB=4.乘法公式乘法公式,0)(121 nAAAP = =)()()()(21312121AAAPAAPAPAAAPn).(121 nnAAAAP則則 一般地一般地, 設(shè)設(shè)個(gè)事件個(gè)事件, 若若是是，nAAAn21例例 2 摸球試驗(yàn)摸球試驗(yàn)(卜里耶模型卜里耶模型)把原球放回把原球放回, 并加進(jìn)與抽出球同色的球并加進(jìn)與抽出球同

10、色的球c只只, 再取再取第二次第二次, 這樣下去共取了這樣下去共取了n次球次球, 問(wèn)前問(wèn)前n1次取到黑次取到黑球球, 后后n2=n-n1次取到紅球的概率是多少次取到紅球的概率是多少?解解11,nAA以以表表示示第第一一次次取取出出黑黑球球一一事事件件,表,表示示11111nnAn 第第次次取取出出黑黑球球; ;表表示示第第次次取取出出紅紅球球, ,nAn表表示示第第 次次取取出出紅紅球球, ,則則 1(),bP Abr= = 21(|).bcP AAbrc = =箱中有箱中有b只黑球只黑球, r只紅球只紅球, 隨機(jī)取出一只隨機(jī)取出一只,.)1()1()(1112111cnrbcnbAAAAPn

11、n = = .)(121111cnrbrAAAAPnn = = .)1()(1121211cnrbcrAAAAPnn = = .)1()1()(2121cnrbcnrAAAAPnn = = 此模型被卜里耶用來(lái)作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型此模型被卜里耶用來(lái)作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.因此因此111(1)(1)bncrbrnc brn c 21(1).(1)(1)rncrcbrncbrnc )(21nAAAPrbb = =crbcb crbcb22 121312121() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AA AA = =二、全概率公式與貝葉斯公式二、全概率公式與貝葉斯公式12

12、,.nA AA 則則稱稱為為樣樣本本空空間間的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的樣本空間，的樣本空間，為實(shí)驗(yàn)為實(shí)驗(yàn)設(shè)設(shè)定義定義nAAAE,211A2A3A1nAnA1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分的一組事件，若的一組事件，若E(1), ,1,2, ;ijA Aij i jn= = =12(2).nAAA = = 全概率公式全概率公式定理定理 )|()()()|()()|()()|()(12211iniinnABPAPAPABPAPABPAPABPBP = = = = =2. 全概率公式全概率公式1,2,EBEA A 設(shè)設(shè) 為為實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn) 的的樣樣本本空空間間， 為為 的的事事件件，,()0(1,2, )

13、,niAP Ain=為為的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分，且且則則= =jiAA由由= =)(jiBABA)()()()(21nBAPBAPBAPBP = =圖示圖示B1A2A3A1nAnA.21nBABABA= =化整為零化整為零各個(gè)擊破各個(gè)擊破)(21nAAABBB= = = =).|()()|()()|()()(2211nnABPAPABPAPABPAPBP = =證證全概率公式中的條件全概率公式中的條件: = = = =niiA1可換為可換為.1 = = niiAB注注B1A2A3A1nAnA 某事件某事件B的發(fā)生由各種可能的的發(fā)生由各種可能的“原因原因”Ai (i=1,2, ,n)引起，而引起，

14、而Ai與與Aj (i j) 互斥，互斥，則則B發(fā)生的概率與發(fā)生的概率與 P(AiB)(i=1,2, ,n)有關(guān)，有關(guān)，且等于它們的總和：且等于它們的總和：1( )().niiP BP A B= = = 3.全概率公式的意義全概率公式的意義 全概率公式的主要用處在于全概率公式的主要用處在于: 它可以將一它可以將一個(gè)個(gè)復(fù)雜事件復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題的概率計(jì)算問(wèn)題,分解分解為若干個(gè)為若干個(gè)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單事件事件的概率計(jì)算問(wèn)題的概率計(jì)算問(wèn)題, 最后應(yīng)用概率的可加性求最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果出最終結(jié)果.個(gè)黑球個(gè)黑球; 乙箱中裝有一個(gè)白球乙箱中裝有一個(gè)白球, 兩個(gè)黑球兩個(gè)黑球.現(xiàn)由甲現(xiàn)由甲箱中任取一球放

15、入乙箱箱中任取一球放入乙箱, 再?gòu)囊蚁渲腥稳∫磺蛟購(gòu)囊蚁渲腥稳∫磺?問(wèn)取到白球的概率是多少問(wèn)取到白球的概率是多少?解解 以以A1表示事件表示事件“從甲箱中取出一個(gè)白球從甲箱中取出一個(gè)白球”,A2表示表示“從甲箱中取出一個(gè)黑球從甲箱中取出一個(gè)黑球”這一事件這一事件,以以B表示表示“從乙箱中取出一個(gè)白球從乙箱中取出一個(gè)白球”這一事件這一事件, 則則:12,AA = 12,A A = = 且且例例3 甲、乙兩個(gè)箱子甲、乙兩個(gè)箱子, 甲箱中裝有兩個(gè)白球甲箱中裝有兩個(gè)白球, 一一21115.323412=,32)(1= =AP,31)(2= =AP,2142)(1= = =ABP.41)(2= =ABP

16、因而因而)()()()()(2211ABPAPABPAPBP = =子子, 1.5%的三等種子的三等種子, 1.0%的四等種子的四等種子. 用一等用一等, 二二 等等, 三等三等, 四等種子長(zhǎng)出的穗含四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概顆以上麥粒的概率為率為0.5,0.15,0.1,0.05. 求這批種子所結(jié)的穗含有求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率顆以上麥粒的概率.解解以以Ai( (i = 1, 2, 3, 4)分別記任選一顆種子是分別記任選一顆種子是i等等任選一顆且這顆任選一顆且這顆種子所結(jié)的穗含種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒顆以上麥粒則則 Ai( (i = 1, 2, 3, 4)是

17、一個(gè)劃分是一個(gè)劃分.例例4 播種用的一等小麥種子中混和播種用的一等小麥種子中混和2.0%的二等種的二等種(i = 1, 2, 3, 4)這一事件這一事件, 用用B表示在這批種子中表示在這批種子中這一事件這一事件.則由全概率公式則由全概率公式)()()(41iiiABPAPBP = = =15. 002. 05 . 0955. 0 = =05. 001. 01 . 0015. 0 .4825. 0= =稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式.貝葉斯資料貝葉斯資料則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)), 2 , 1(0)(, 0)(,21niAPBPAAA

18、EBEin= = 定理定理., 2 , 1,)()|()()|()|(1niAPABPAPABPBAPnjjjiii= = = = =4. 貝葉斯公式貝葉斯公式)(BAPi., 2 , 1ni= =證畢證畢.)|()()|()(1 = = =niiiiiABPAPABPAP()(|)()iiP AP BAP B= =證證)()(BPBAPi= =解解例例5.90. 0)(,95. 0)(= = =CAPCAP,95. 0)(= =CAP因?yàn)橐驗(yàn)? 1 . 0)(1)(= = = =CAPCAP示示“被檢驗(yàn)者患有肝癌被檢驗(yàn)者患有肝癌”這一事件這一事件, 以以A表示表示“ 判判斷被檢驗(yàn)者患有肝癌斷

19、被檢驗(yàn)者患有肝癌”這一事件這一事件. 假設(shè)這一檢驗(yàn)假設(shè)這一檢驗(yàn)法相應(yīng)的概率為法相應(yīng)的概率為檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌, 求此人真正患有肝癌的求此人真正患有肝癌的又設(shè)在人群中又設(shè)在人群中. 現(xiàn)在若有一人被此現(xiàn)在若有一人被此( )0.0004P C = =假定用血清甲胎蛋白法診斷肝癌假定用血清甲胎蛋白法診斷肝癌, 以以C表示表示).(ACP概率概率 ,9996. 0,0004. 0= = =CPCP由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為即平均即平均10000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有38人人0.0004 0.950.0004 0.950.999

20、6 0.1 = =0.0038.= =患有癌癥患有癌癥.)(ACP)()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCP = =上題中概率上題中概率 0.0004 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.0038,先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率叫做先驗(yàn)概率叫做先驗(yàn)概率.叫做后驗(yàn)概率叫做后驗(yàn)概率.乘船乘船, 乘汽車(chē)乘汽車(chē), 乘飛機(jī)來(lái)的概率分別為乘飛機(jī)來(lái)的概率分別為1/5, 1/10, 2/5. 若他乘火車(chē)來(lái)若他乘火車(chē)來(lái), 遲到的概率是遲到的概率是1/4;如果乘船如果乘船,乘汽車(chē)來(lái)乘汽車(chē)來(lái), 遲到的概率是

21、遲到的概率是1/3, 1/12; 如果乘飛機(jī)如果乘飛機(jī)便不會(huì)遲到便不會(huì)遲到, 即遲到的概率為即遲到的概率為0. 在結(jié)果是遲到在結(jié)果是遲到解解 設(shè)設(shè)A1, ,A2, A3, A4分別表示乘火車(chē)、乘船、分別表示乘火車(chē)、乘船、 以以B表示遲到這一事件表示遲到這一事件,例例6 有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)訪有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)訪, 乘火車(chē)來(lái)的概率乘火車(chē)來(lái)的概率3/10,的情形下的情形下, 求他是乘火車(chē)的概率求他是乘火車(chē)的概率.乘汽車(chē)乘汽車(chē), 乘飛機(jī)來(lái)的事件乘飛機(jī)來(lái)的事件.3 10 1 43 10 1 4 1 5 1 3 110 1122 5 012. = = = =)(1BAP = = =4111)()()()(iiiA

22、BPAPABPAP)()(BPBAP= =由由Bayes公式公式, 有有()()( )P ABP A BP B= =全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式1122( )() ( |)() ()() ()nnP BP A P B AP A P B AP A P B A=1() ()(),1,2, .() (|)iiinjjjP A P B AP A BinP A P B A=()( ) ()P ABP A P B A=乘法定理乘法定理三、內(nèi)容小結(jié)三、內(nèi)容小結(jié)1.條件概率條件概率2. 條件概率條件概率 P(A|B)與積事件與積事件P(AB)概率的區(qū)別概率的區(qū)別B().ABP A B = = 基基

23、本本事事件件數(shù)數(shù)中中基基本本事事件件數(shù)數(shù)().ABP AB = = 中中基基本本事事件件數(shù)數(shù)中中基基本本事事件件數(shù)數(shù)發(fā)生的概率發(fā)生的概率. 用古典概率公式用古典概率公式, 則則.)()(大大比比一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，ABPBAPP(AB)表示在樣本空間表示在樣本空間中中, 計(jì)算計(jì)算AB發(fā)生的概率發(fā)生的概率, 而而P(A|B)表示在縮小的樣本空間表示在縮小的樣本空間中中, 計(jì)算計(jì)算AB 條件概率也是概率條件概率也是概率, 故具有概率的性質(zhì)故具有概率的性質(zhì):; 1)(= =AP ;11 = = = = = iiiiABPABP3. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)(1)非負(fù)性非負(fù)性(2)歸一性歸一性(3

24、)可列可加性可列可加性; 0)( ABP; )(1)()5(ABPABP = =);()()()()4(212121ABBPABPABPABBP = =).()()()6(21121ABBPABPABBP = = 貝葉斯資料貝葉斯資料Thomas BayesBorn:1702 in London, EnglandDied:17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England活到活到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的歲的這種動(dòng)物這種動(dòng)物, 問(wèn)它能活到問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少歲以上的概率是多少? 設(shè)設(shè) A

25、 = “ 能活能活 20 歲以上歲以上 ” 的事件的事件; 則有則有, 8 . 0)(= =AP因?yàn)橐驗(yàn)?)()()(APABPABP= =, 4 . 0)(= =BP),()(BPABP= =.218 . 04 . 0= = =)()()(APABPABP= =所以所以解解),(BABAB= = 備用題備用題例例1-1 某種動(dòng)物由出生算起活某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為歲以上的概率為0.8, B = “ 能活能活 25 歲以上歲以上”的事件的事件;例例1-2BA 從混有從混有5張假鈔的張假鈔的20張百元鈔票中任意張百元鈔票中任意抽出抽出2張張, 將其中將其中1張放在驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)上

26、張放在驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)上假鈔假鈔. 求求2張都是假鈔的概率張都是假鈔的概率.令令 A表示表示“抽到抽到2 張都是假鈔張都是假鈔”B表示表示“2 張中至少有張中至少有1張假鈔張假鈔”解解),)!()(APBAP而不是而不是則所求概率是則所求概率是.)()(22025CCAPABP= = =.)()(2201151525CCCCBP = =所以所以 )()()(BPABPBAP= =.118. 08510)(1151522025= = = = =CCCC因而他隨意地?fù)芴?hào)因而他隨意地?fù)芴?hào). 求他撥號(hào)不超過(guò)求他撥號(hào)不超過(guò)3次而接次而接通電話的概率通電話的概率.解解,3次次接接通通電電話話”“撥撥號(hào)號(hào)不

27、不超超過(guò)過(guò)設(shè)設(shè)= =A,321321211AAAAAAAAAA= = = =則則次次接接通通電電話話”“撥撥號(hào)號(hào)),3 , 2 , 1( = = =iiAi,321211AAAAAAA = =(撥號(hào)撥號(hào)3次都未接通次都未接通)()(321AAAPAP= =例例2-1 某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字,地抽取兩次地抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽求在兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅球的概率到一個(gè)紅球的概率? (2) 若無(wú)放回的抽取若無(wú)放回的抽取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求: (a)第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第二次與

28、第三次均是第二次與第三次均是白球的概率白球的概率? (b)第一次與第二次均是白球的情況下第一次與第二次均是白球的情況下, 第三次是第三次是白球的概率白球的概率?例例2-2 設(shè)袋中有設(shè)袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球, (1)無(wú)放回隨機(jī)無(wú)放回隨機(jī).1514546252645364= = = =)()()()(212121AAPAAPAAPAP = =則有則有,212121AAAAAAA = =解解)()(121AAPAP= =)()(121AAPAP (1)設(shè)設(shè)為事件為事件“兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅A抽到紅球抽到紅球“.球球”事事件件為為“第一次抽取到紅球第一次抽取

29、到紅球”，為為“第二次第二次2A1A)()(121AAPAP . 3 , 2 , 1,)2(= =iiAi次次取取出出的的是是白白球球第第為為設(shè)設(shè)事事件件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP= =.1033251)()()(1321132= = = =APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211= = = = = =AAAPAP因?yàn)橐驗(yàn)?522624)(21= = = =AAP因?yàn)橐驗(yàn)?215251)()()(21321213= = = =AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb= =,513634)(3

30、21= = = =AAAP)()(321AAAPAP= =)()()(213121AAAPAAPAP= =.1078798109= = = =.1031071)(1)(= = = = = =APAP故故時(shí)打破的概率為時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次第二次落下打破的概率為落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破若前兩次落下未打破, 第第三次落下打破的概率為三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而試求透鏡落下三次而未打破的概率未打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破”.,321AAAB = =因?yàn)橐驗(yàn)?

31、()(321AAAPBP= =所以所以121312() () ()P A P A A P A A A=)1091)(1071)(211( = =.2003= =,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第表表示示事事件件以以iiAi= =例例2-3 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下第一次落下摸球試驗(yàn)摸球試驗(yàn)(卜里耶模型卜里耶模型) 解解例例2-4 設(shè)袋中裝有設(shè)袋中裝有r只紅球只紅球,t只白球只白球.每次自袋中每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只只與取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)去球與取出的那

32、只球同色的球，若在袋中連續(xù)去球4次，次，試求第一，二次取到紅球且第三，四次取到白球試求第一，二次取到紅球且第三，四次取到白球的概率的概率.,)4 , 3 , 2 , 1(次取到紅球”次取到紅球”為事件“第為事件“第設(shè)設(shè)iiAi= =,43到到白白球球”為為事事件件第第三三，第第四四次次取取則則AA因因此此所所求求概概率率為為)(4321AAAAP1213124123() () () ()P A P A A P A A A P A A A A=rrt= = 此模型被卜里耶用來(lái)作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型此模型被卜里耶用來(lái)作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.rarta 2trta .3tarta 由甲、乙、丙三

33、廠生產(chǎn)的分別有由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱箱產(chǎn)品中任取一箱 , 再?gòu)倪@箱中任取一件產(chǎn)品再?gòu)倪@箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取得的產(chǎn)品為正品取得的產(chǎn)品為正品”, 分別表示分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,321BBB由題設(shè)知由題設(shè)知.102)(,103)(,105)(321= = = =BPBPBP解解例例3-1設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品箱同種規(guī)格的產(chǎn)品,

34、 其中其中, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321= = = =BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP = = =107102108103109105 = =.82. 0= =“有有”字字, 3個(gè)鬮內(nèi)不寫(xiě)字個(gè)鬮內(nèi)不寫(xiě)字, 5人依次人依次抓取抓取, 問(wèn)各人抓到問(wèn)各人抓到“有有”字鬮的概率字鬮的概率是否相同是否相同?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1= =i則有則有,52)(1= =AP)()(22 = =APAP).(112AAAP= =,的事件的事件人抓到有字鬮人抓到有字鬮第第表示表示設(shè)設(shè)iAi抓鬮是否與次序有關(guān)抓鬮是否與次序有關(guān)? 例例3-25

35、個(gè)鬮個(gè)鬮, 其中其中2個(gè)鬮內(nèi)寫(xiě)著個(gè)鬮內(nèi)寫(xiě)著)()()(212121333AAAAAAAPAPAP= = = =)()()(321321321AAAPAAAPAAAP = =42534152 = =,52= =)()()()(121121AAPAPAAPAP = =)(2121AAAAP = =)()(2121AAPAAP = =)()()(213121AAAPAAPAP= =)()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 = =,52= =依此類(lèi)推依此類(lèi)推.52)()(54= = =APAP故抓鬮與次序無(wú)關(guān)故抓鬮與次

36、序無(wú)關(guān).的占的占 30% , 二廠生產(chǎn)的占二廠生產(chǎn)的占 50% , 三廠生產(chǎn)的占三廠生產(chǎn)的占 20%, 又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問(wèn)問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件設(shè)事件 A 為為“任取一件為次品任取一件為次品”,. 3 , 2 , 1,= =iiBi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為事事件件123,BBB = 解解. 3 , 2 , 1,= = =jiBBji例例4 -1 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)已知其中由一廠生產(chǎn)由全概率公式得由全概率公式

37、得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321= = = =BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P A BP B P A BP B P A B=.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0= = = =,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321= = = =BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B P ABP B P AB=故故例例4-2有有3箱同型號(hào)的燈泡箱同型號(hào)的燈泡, 已知甲箱次品率為已知甲箱次品率為1%,

38、乙箱次品率為乙箱次品率為2%, 丙箱次品率為丙箱次品率為3%, 現(xiàn)從現(xiàn)從3乙乙, 丙兩箱的概率相等丙兩箱的概率相等, 求取到次品的概率求取到次品的概率.解解箱中任取一燈泡箱中任取一燈泡, 設(shè)取到甲箱的概率為設(shè)取到甲箱的概率為, 而取到而取到乙乙, 丙箱丙箱”. B表示表示“取到次品取到次品”.設(shè)設(shè)分別分別表示表示“燈泡燈泡分別取自分別取自甲甲, 321,AAA已知已知,21)(1= =AP.41)(3= =AP,41)(2= =AP%,1)(1= =ABP%,2)(2= =ABP%.3)(3= =ABP21所以所以)()()(31 = = =iiiABPAPBP03. 04102. 04101

39、. 021 = =0175. 0= =%.75. 1= =例例5-1 炮戰(zhàn)中炮戰(zhàn)中, 在距目標(biāo)在距目標(biāo)250m,200m,150m處射擊處射擊的概率分別為的概率分別為0.1, 0.7, 0.2, 而在該處射擊命中目標(biāo)而在該處射擊命中目標(biāo)的概率分別為的概率分別為0.05, 0.1, 0.2. 現(xiàn)在已知目標(biāo)被現(xiàn)在已知目標(biāo)被擊毀擊毀,求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距目標(biāo)求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距目標(biāo)250m處射出處射出的概率的概率.解解 設(shè)設(shè)B表示表示“目標(biāo)被擊毀目標(biāo)被擊毀”,分別表示分別表示321,AAA距距目標(biāo)目標(biāo)250m,200m,150m處射擊處射擊, 則所求概率為則所求概率為)()()(11BPBAPB

40、AP= = = = =3111)()()()(iiiABPAPABPAP2 . 02 . 01 . 07 . 005. 01 . 005. 01 . 0 = =.04535. 0= =例例5-2 設(shè)有設(shè)有5個(gè)袋子中放有白球個(gè)袋子中放有白球, 黑球黑球, 其中其中1號(hào)號(hào)袋中白球占袋中白球占另外另外2, 3, 4, 5號(hào)號(hào)4個(gè)袋子中白球都個(gè)袋子中白球都,31取取1個(gè)球個(gè)球, 結(jié)果是白球結(jié)果是白球, 求這個(gè)球是來(lái)自求這個(gè)球是來(lái)自1號(hào)袋子中號(hào)袋子中的概率的概率.解解占占今從中隨機(jī)取今從中隨機(jī)取1個(gè)袋子個(gè)袋子, 從所取的袋子中隨機(jī)從所取的袋子中隨機(jī),41求概率求概率由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得，取到白球

41、取到白球= =B),(1BAP. 5 , 4 , 3 , 2 , 1= = =iiAi，號(hào)袋子號(hào)袋子取到第取到第設(shè)設(shè) = = =51111)()()()()(iiiABPAPABPAPBAP)41414141(5131513151 = =.41= =例例5-3,21)(= =BP,05. 0)(= =BAP,21)(= =BP已知已知5%的男人和的男人和0.25%的女人是色盲患者的女人是色盲患者,現(xiàn)隨機(jī)地選取一人現(xiàn)隨機(jī)地選取一人, 此人恰為色盲患者此人恰為色盲患者, 問(wèn)問(wèn)此人是男此人是男人的概率是多少人的概率是多少? (假設(shè)男人假設(shè)男人,女人各占人數(shù)的一半女人各占人數(shù)的一半).解解 設(shè)設(shè)A=選

42、取的人患色盲選取的人患色盲, 設(shè)設(shè)B=選取的人是選取的人是男人男人則則選取選取的人是女人的人是女人, 依依題意得題意得= =B.0025. 0)(= =BAP根據(jù)逆概公式根據(jù)逆概公式(貝葉斯公式貝葉斯公式), 所求概率為所求概率為)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP = =0025. 02105. 02105. 021 = =.2120= =例例6-1制造廠提供的制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠元件制造廠次品率次品率 提供元件的份額提供元件的份額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05設(shè)

43、這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的， 且且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志無(wú)區(qū)別的標(biāo)志.(1)在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率；率；某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示設(shè)設(shè) A.家工廠提供的家工廠提供的所取到的產(chǎn)品是由第所取到的產(chǎn)品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( = =iBi,321的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分是樣本空間是樣本空間則則BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321= = = =BPBPBP且且(2)在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件,若已知取到的是次若已知取到的是次品品,為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠,需求出此次品出由三需求出此次品出由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少. 試求這些概率試求這些概率.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321= = = =BAPBAPBAP(1) 由全概率公式得由全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP = =.0125. 0= =(2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得