1-5-無(wú)窮大與無(wú)窮小

1、一、無(wú)窮小一、無(wú)窮小1、定義、定義:定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿(mǎn)足不等式都滿(mǎn)足不等式 )(xf, ,那末那末 稱(chēng)函數(shù)稱(chēng)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小, ,記作記作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或極限為零的變量稱(chēng)為極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小無(wú)窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)的

2、無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意（1）無(wú)窮小是變量）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù)）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù).2、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx )(

3、lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是當(dāng)是當(dāng)0 xx 時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小.意義意義（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小無(wú)窮小);).(,)()(20 xAxfxxf 誤差為誤差為式式附近的近似表達(dá)附近的近似表達(dá)在在）給出了函數(shù)）給出了函數(shù)（ 3、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理2 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小是無(wú)窮小.證證,時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)及及設(shè)設(shè) x使

4、得使得, 0, 0, 021 NN;21 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)Nx;22 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)Nx,max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nx 22 , )(0 x注意注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .是無(wú)窮小，是無(wú)窮小，時(shí)時(shí)例如例如nn1, .11不是無(wú)窮小不是無(wú)窮小之和為之和為個(gè)個(gè)但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則,0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)又設(shè)又設(shè)xx .0, 0, 0202Mxx

5、恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)推論推論1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小積是無(wú)窮小.推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.,min21 取取恒有恒有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng),00 xx uuMM , .,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大定義定義2 2 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x某某一一去去心心鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)有有定定義義 （或或x大大于于某某一一正數(shù)正數(shù)時(shí)時(shí)有有定

6、義定義） 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M( (不不論它多么大論它多么大),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對(duì)于適合不使得對(duì)于適合不等式等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf總總滿(mǎn)足不等式滿(mǎn)足不等式 Mxf )(, , 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮大時(shí)為無(wú)窮大, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大無(wú)窮大.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大)(lim()(lim)(

7、)(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）無(wú)窮大是變量）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;.)(lim20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在）切勿將）切勿將（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無(wú)窮大但不是無(wú)窮大是一個(gè)無(wú)界變量是一個(gè)無(wú)界變量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充分大時(shí)充分大時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充分大時(shí)充分大時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大無(wú)界，無(wú)界，.11lim1 xx證

8、明證明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線(xiàn)的圖形的鉛直漸近線(xiàn)是函數(shù)是函數(shù)則直線(xiàn)則直線(xiàn)如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為無(wú)窮

9、小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無(wú)窮大為無(wú)窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx , 0)( xf由于由于意義意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論的討論.四、小結(jié)四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1） 無(wú)窮?。o(wú)窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不

10、能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2 2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮?。粺o(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮?。凰伎碱}思考題若若0)( xf，且且Axfx )(lim，問(wèn)問(wèn)：能能否否保保證證有有0 A的的結(jié)結(jié)論論？試試舉舉例例說(shuō)說(shuō)明明.思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空題一、填空題: :1 1、 凡凡無(wú)無(wú)窮窮小小量量皆皆以以_ _ _ _ _ _ _ _ _為為極極限限. .)(,_2的水平漸近線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)是函數(shù)是函數(shù)直線(xiàn)直線(xiàn)條件下條件下、在、在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其中其中、._,)(,4是無(wú)窮小是無(wú)窮小則則是無(wú)窮大是無(wú)窮大若若、在同一過(guò)程中、在同一過(guò)程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能使能使應(yīng)滿(mǎn)足什么條件應(yīng)滿(mǎn)足什么條件問(wèn)問(wèn)是無(wú)窮大是無(wú)窮大函數(shù)函數(shù)