平面向量-章末檢測

1、第二章平面向量（B）（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. 已知向量a = （4,2）, b = （x,3）,且a/ b,則x的值是（）A . 6B . 6C . 9D . 122. 下列命題正確的是（）A .單位向量都相等B. 若a與b共線,b與c共線,則a與c共線C. 若|a+ b|= |a b|,則 a b= 0D. 若a與b都是單位向量，貝U a b= 1.3. 設(shè)向量a= (m 2, m + 3), b= (2m+ 1, m 2),若a與b的夾角大于90°則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4A . (一 3， 2)4B . ( a ,

2、3)U (2, +8)4c. ( 2, 3)4D . ( a , 2) U (3, +a )4. 平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若Ab= （2,4）, AC = （1,3）,則AD BD等于（A . 8B. 6C. 8D. 65. 已知|a|= 1, |b|= 6, a （b a）= 2,則向量a與向量b的夾角是（）B.nD.nC.36. 關(guān)于平面向量a, b, c,有下列四個(gè)命題： 若a / b, a 0,則存在 氐R,使得b= :a; 若 a b= 0,貝V a = 0 或 b= 0; 存在不全為零的實(shí)數(shù)人卩使得c=掃+血； 若 a b= a c,貝U a丄（b c）.其中正確的

3、命題是（）A .B .C .D .7. 已知|a| = 5, |b|= 3,且a b= 12,則向量a在向量b上的投影等于（）12 12A . 4B . 4C. D.&設(shè)O, A, M , B為平面上四點(diǎn)，OM = OB + （1 為OA，且入 （1,2）,則（）A .點(diǎn)M在線段AB上B .點(diǎn)B在線段AM上C. 點(diǎn)A在線段BM上D. O, A, B, M四點(diǎn)共線1 9. P是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，AP= 3（AB + AC）,則厶ABC的面積與厶ABP的面積之比為（）3A.2B . 2C . 3D . 610. 在厶 ABC 中，AR= 2RB, CP= 2PR,若 AP= mAB + n

4、AC ,則 m+ n 等于()278A. 3B.9C.9D. 111. 已知 3a + 4b+ 5c= 0,且|a|= |b|= |c|= 1,則 a (b+ c)等于()433A . -5B.- 5C. 0D.512. 定義平面向量之間的一種運(yùn)算"O”如下：對任意的a= (m, n), b= (p, q),令aO b= mq np.下面說法錯(cuò)誤的是()A .若a與b共線，則a O b= 0B. aO b= bO aC. 對任意的入 R,有(?a)O b= “O b)2222D. (aO b) + (a b) = |a| |b|題號123456789101112答案二、填空題(本大題

5、共4小題，每小題5分，共20分)13. 設(shè)向量a= (1,2), b= (2,3),若向量：a + b與向量c= (- 4, 7)共線，貝U入=.14. a, b的夾角為 120 ° |a|= 1, |b|= 3,則 |5a b|=.115. 已知向量a = (6,2) ,b= (4込)，直線I過點(diǎn)A(3, 1)，且與向量a + 2b垂直，則直線I的方程為.16. 已知向量OP = (2,1), 0A = (1,7), 0B= (5,1),設(shè)M是直線0P上任意一點(diǎn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn)),則MA MB的最小值為.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17. (10分)如圖所示,以向量0A =

6、 a, 0B= b為邊作?AOBD ,又Bm = 3BC, CN = CD ,用a, b表示0M、 oN、Mn.18. (12 分)已知 a, b 的夾角為 120 ° ,且|a|= 4 , |b|= 2 , 求：(1)( a 2b) (-a+ b);(2) | a+ b|;(3) |3 a 4b|.19. (12 分)已知 a= ( .3 , 1) , b= 2 , -2 ,且存在實(shí)數(shù) k和 t,使得 x = a+ (t2 3)b , y= ka+ tb ,且 x 丄y,試求j 的最小值.20. (12分)設(shè)0A = (2,5) , 0B = (3,1), 0C = (6,3).在

7、線段 0C上是否存在點(diǎn) M ,使MA丄MB?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21. (12分)設(shè)兩個(gè)向量e仆e2滿足|ei|= 2, |e2|= 1, ei、e2的夾角為60 ,若向量2tei + Te與ei+1e2的夾角 為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.22. (12分)已知線段PQ過厶OAB的重心G,且P、Q分別在OA、OB上，設(shè)0A= a, OB= b, OP = ma, OQ = nb.1 1求證：+ 一 = 3.m n第二章平面向量(B)答案1. B T a / b，二 4 X3 2x= 0， x= 6.2. C v |a + b|2= a2+ b2+ 2a b |a b|

8、2= a2+ b2 2a b |a+ b|= |a b|. a b= 0.3. A v a 與 b 的夾角大于 90 ° ab<0,. (m 2)(2m + 1) + (m+ 3)(m 2)<0,即即 3m2 2m 8<0 , a 43<m<2.4. A v AD = BC= Ac Ab= ( 1, 1) , Bd = AD Ab = ( 1 , 1)-(2,4) = ( 3, 5), - Ad bd = ( 1, 1) (- 3, 5) = 8.2a b 31n7. A& B9. Ca b a b 12向量a在向量b上的投影為|a|cosa,

9、b>= |a|茴血=両= 4J> > > > > > > > v OM = QB + (1 ?)OA= OA+ AOB OA) AM = AB,(1,2)，點(diǎn)B在線段 AM上，故選 B.設(shè)厶ABC邊BC的中點(diǎn)為D,則S abc= 2Sabd = 2AD0 abpS abpAP5. C va(b- a)= a b |a|= 2,a ab= 3,a cosa,b=廠= 2二a, b>= § B 由向量共線定理知正確；若 a b = 0,貝U a = 0或b = 0或a丄b，所以錯(cuò)誤；在 a , b能夠作為 基底時(shí)，對平面上任意向

10、量，存在實(shí)數(shù)入，卩使得c= Aa + pb，所以錯(cuò)誤；若 a b = a c,則a(b c)= 0,所以a丄(b c),所以正確，即正確命題序號是.v AP = 1(AB + AC) = |aD , AD = |ap,a |AD|= 2|AP|.a 鑒=3.18.解 a b= |a|b|cos 120 =4x 2x(1) (a 2b) (a + b)= a2 2a b+ a b 2b2= 42 2 x ( 4) + ( 4) 2 x 22= 12.(2) / |a+ b|2= (a+ b)2 = a2 + 2a b+ b2= 16 + 2x ( 4) + 4 = 12. |a + b|= 2

11、,3.(3) |3a 4b|2 = 9a2 24a b+ 16b? = 9x 4? 24 x ( 4) + 16 x 2?= 16x 19,|3a 4b| = 4 . 19.19.解由題意有|a|= 7問+(-仃=2,冋=寸£2+歲丿2-廠/ a b= 3 x1 仆嚴(yán)=0 , a 丄 b.* 2 2，/ x y= 0, a + (t2 3)b( ka+1b) = 0.化簡得2 .k+t t=1.：(t2+ 4t 3)=+ 2)2-7.即 t = 2 時(shí),20.解 設(shè)COM = tOC , t 0,1，則 OM = (6t,3t),k = 4'2k+L有最小值為7.t4即 M(

12、6t,3t).MA= O)A OM = (2 6t,5 3t),10. b AP = AC+CP = AC + #CR= AC+ 3(3/b- AC)=fAB+*AC故有 m+ n=善+g=£11. B 由已知得4b=- 3a 5c,將等式兩邊平方得(4b)2= (-3a 5c)2,化簡得a c=-3同理由5c=-33a 4b兩邊平方得 a b= 0，二 a (b+ c)= a b+ a c= 5.12. B 若a= (m , n)與b = (p, q)共線，則 mq np = 0,依運(yùn)算 O"知aOb = 0,故A正確.由于aO b =mq np ,又b O a = np

13、 mq ,因此a Ob = b Oa ,故B不正確.對于C,由于 掃=(入m,入1),因此(?a) O b =入 me入 np 又"aO b) = %mq np)=入 me入 np 故 C 正確.對于 D, (a O b)2+ (a b)2= m2q2 2mnpq + n p + (mp + nq) = m (p + q ) + n (p + q ) = (m + n )(p + q )= |a| |b|，故 D 正確.13. 2解析/ a= (1,2 ), b= (2,3),?a + b=(入 2 ?)+ (2,3)=(入+ 2,2 H 3).向量 掃+ b與向量c= ( 4, 7

14、)共線， 7( H+ 2) + 4(2 入 + 3) = 0.= 2.14. 7解析 / |5a b|2= (5a b)2= 25a2+ b2 10a b= 25 x 12+ 32 10X 1 x 3 x (1)= 49. |5a b|= 7.15. 2x 3y 9 = 0解析 設(shè)P(x, y)是直線上任意一點(diǎn)，根據(jù)題意，有AP (a + 2b) = (x 3, y+ 1) ( 2,3) = 0,整理化簡得2x3y 9 = 0.16. 8解析 設(shè)OM = O = (2t, t),故有 MA Mb = (1 2t,7 t) (5 2t,1 t)= 5t2 20t + 12= 5(t 2)2 8,

15、故當(dāng) t=2時(shí)，MA Mb取得最小值8.17. 解 BA = OA OB = a b. OM = OB+ BM = OB + -BC= OB + -BA =-a+'b.3666又 OD = a+ b.ON = OC + CN= 2(Od + 6od = |<OD = |a + |b, MN = ON OM = 3a+ 3b-6 a 6 b= a- fb.3366262. = -4.2 211,5 .MB = O)B O)M = (3 6t,1 3t).若 MA丄 MB ,貝U MA MB = (2 6t)(3 6t) + (5 3t)(1 3t)= 0.即 45t2 48t +1

16、 、 1111 = 0, t = 3或t= 15. 存在點(diǎn) M , M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或21 .解 由向量2te1 + 7e2與& + te：的夾角為鈍角，<0,得 2t ei + 7 e ei + te2 得 |2tei+ 7剣 |ei+ te2|即(2tei + 7e2)(e + te2)<0.= .14整理得：2tei+ (2tm n + 7) e1 e2+ 7te2<0.(PG= OG OP = 3(a+ b) ma= (3 m) a+ 3 b.)(*)式化簡得：2 12t2+ 15t + 7<0.解得：一7<t< 2.-|ei|= 2, |e2|= 1, ei, e2= 60 . e-i e2= 2 x 1 x cos 60 = 1當(dāng)向量 2tei + 7e2 與 ei +1e2 夾角為 180 時(shí)，設(shè) 2tei + 7e2= Xei +1e2)( XO