平面向量復(fù)習(xí)講義

1、平面向量復(fù)習(xí)向量有關(guān)概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái) 表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)。2. 零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的;扌3. 單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是 -AB );|AB|4. 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5. 平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作： a / b，規(guī)定零向量和任何向量平行。注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個(gè)向量平

2、行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量 共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無(wú)傳遞性！(因?yàn)橛?); 三點(diǎn)A B、C共線=AB、AC共線；6. 相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a?！揪毩?xí)】耳耳* .1、下列命題：(1)若a三，則。(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同， 終點(diǎn)相同。(3)若= DC，則ABCD是平行四邊形。(4)若fBCD是平行四邊形，則AB =DC。(5)若 a=b,b=c，則 a=c。(6)若 a/b,b/c，則 a/c。其中正確的是二. 向量的表示方法：1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如 A

3、B，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2 .符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如 a，b，c等；3. 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i， j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a = xi yj = x,y，稱x, y為向量a的坐 標(biāo)，a = x, y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向 量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面 內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1、 2，使a= e1 + 2 e2。【練習(xí)】1、若 a =(1,1),b = (1，-1),c=(-1,2

4、)，如何用 a， b 表示 c ?B. © =(-1,2)鳥=(5,7)D.器(2,一3)二_2、下列曙組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. © =(0,0)(2 =(1,-2)C. © =(3,5)»(6,10)3、已知AD, BE分別是 ABC的邊BC,AC上的中線,且AD二a,BE二b，則BC可用向量a,b表示為(答：-a+-b )；3 34、在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，TT且AC = mAE+ nAF，其中 m， n R，貝U m+ n=5、在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，.BAD= 60 , E為CD中點(diǎn)，AE與BD

5、相交于點(diǎn)F,（1）用 AB，AD 表示 AF o（ 2）求出 AE bD .四. 實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作 a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定I 44-_如下：（1 ka 扎|a ,（2）當(dāng)入>0時(shí)，九a的方向與a的方向相同，當(dāng)九<0時(shí)，扎a的方向 一呻 T-與a的方向相反，當(dāng) = 0時(shí)， a = 0，注意： a工0。五. 平面向量的數(shù)量積：，1. 兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a， b，作 OA 鳥,OL b，. AOB二二 0乞二乞二稱 為向量a，b的夾角，當(dāng)二=0時(shí)，a，b同向，當(dāng)二=二時(shí)，a，b反向，當(dāng)二=時(shí)，a，2b垂直?？粕?. 平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零

6、向量a , b，它們的夾角為二，我們把數(shù)量|a|b|cosr 叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a*b，即a*b = Abcos日。規(guī)定：零向 量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量 。如【練習(xí)】1、 ABC 中，| AB | = 3，| AC |=4，| BC |=5，貝U AB BC =（答：-9）;1 T1-2、 已知 a =（1,）,b =（0, -一）,c =a + kb,d =ab， c與d 的夾角為二，貝U k 等于2 24（答：心3、已知 a =2, b| =5,a|_b =-3，貝U a等于I444 -*4 4 4（答：巫）；4、 已知a,b是

7、兩個(gè)非零向量，且a=b = a-b，則a與a+b的夾角為（答：30 ）3.b在a上的投影為|b|cos，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于 0o練習(xí)：已知|a| = 3，|b| = 5，且a，b=12，則向量a在向量b上的投影為_ （答:4. a *b的幾何意義：數(shù)量積a * b等于a的模| a |與b在a上的投影的積。5. 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a， b，其夾角為二，貝U: a_b ab=O ； 當(dāng)a， b同向時(shí)，a *b =b'，特別地，a =a*a=|a；，a = JT ；當(dāng)a與b反向-t|i4r4 4-i 4時(shí)，a *b = a b1 ;當(dāng)日為銳角時(shí)，a *b > 0，

8、且a、b不同向，a b>0是B為銳角的必 一 +呻扌 一 呻扌要非充分條件；當(dāng)二為鈍角時(shí)，a * b v 0，且a、b不反向，a b . 0是二為鈍角的必要非 充分條件；、. r* 非零向量a , b夾角二的計(jì)算公式：cost =1、 已知a=(打2入)，b=(3打2)，如果a與b的夾角為銳角，貝U九的取值范圍是4 1(答：，:-或二、0 且=一);3 32、已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5)，則 ABC 為( )A.直角三角形B銳角三角形 C.鈍角三角形D.不等邊三角形1 丿33、已知 OFQ的面積為S，且OF FQ =1，若：S -,則OF , FQ夾角二的取

9、2 2值范圍是(答:匸二)；-3六. 向量的運(yùn)算：1.幾何運(yùn)算： 向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”丄適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用二角形法則”：設(shè)益鳥蟲"，那么向量AC叫 做a與b的和，即a b Ab BC Ac ； 耳_ 斗 斗彳_I AppC =_ ; (AB_CD)_(AC _BD) =貝U | a + b + c| = 向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)ab二a,AC二b,那么a_b二忑-忑=ca，由減向 量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同?！揪毩?xí)】_ T _1、 化簡(jiǎn)： AB + BC+CD= ;

10、74; AB-2、若正方形ABCp的邊長(zhǎng)為J，AB二；,BC二b,AC二c，2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a=(X2,y2)，貝U： 向量的加減法運(yùn)算：a二b=(x一二x2， %二y2) 實(shí)數(shù)與向量的積： ax一， Ux一，y一。 若A%, yj B(X2, y2)，則AB =x2 % y 2-y 一 ，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的 有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)?！揪毩?xí)】11、設(shè) A(2,3), B(-1,5)，且 AC=§AB，AD=3AB，則 C、D 的坐標(biāo)分別是2、已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4)，C(7,10)，若 A = AB + aTC(九R)，則當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) P在第一、三

11、象限的角平分線上.3、已知 A(2,3), B(1,4),且 AB=(si n x,cos y)，x, y (,)，則 x y-2 2 2 平面向量數(shù)量積：ab = %x2 %2。女口1、已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1)若 x = 一，求33:向量a、c的夾角；Jx丁訂，函數(shù)f(x) = *的最大值為i，求的值 向量的模：|a|f：x2 y2, a =|a|2 = x2 y2。女口1、已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么| a 3b | =(答:屈)；2、(2009年廣東卷)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力Fi， F

12、2， F3 (單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知Fi,F2成60角，且Fi, F2的大小分別為2和4,貝U F3的大小為 1 1 弓3、已知共面向量a, b , c均為單位向量，它們的夾角兩兩相同，求2 3兩點(diǎn)間的距離：若 A xi, y1 , B x2,y2，則 | AB |=，, x2 - x,亠y2 - ?。 七向量的運(yùn)算律：I1 交換律：的值。a b = b a，遷.'-a = - J a , a b = b a ;4444444444-*444a b c=a b c, a-b-c=a -：；：bc,a*b=ab=a*b；呻44 -t 4>4呻TT*呻4彳a = a a

13、, a b = a r,b,ab *a*cb*c。練習(xí)：下列命題中：a (b - c) = a b- a c :a(bc (a b)c:(a - b)=| a |-2|a| | b| |b| : 若 ab=O，則 a=O 或 b=O;若 a b=c b,則 a = c ;4 o H2 42424 4 2:(a b) =a b :(a-b) =a -2a b+b。其中正確的是 2結(jié)合律:3 分配律: aM2;4 242422aa b古二a注：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)， 兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同 除

14、以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘 法”不滿足結(jié)合律，即a(b *cp- (a *b)c，為什么？，*八. 向量平行(共線)的充要條件：ab a =，b：= (a b)2 = (|a|b|)2 ：= xy -曲2 = 0。【練習(xí)】44*1、 若向量a=(x,1),b=(4,x)，當(dāng)x = _時(shí)a與b共線且方向相同片呻*F呻片P弓4 口 F片2、 已知 a =(1,1),b =(4,x)， u=a+2b， v =2a+b，且 u/v，貝U x=TI3、 設(shè) PA=(k,12),PB=(4,5), P$ =y0,k，嚴(yán) k= _ _時(shí)，A申,C 共線九. 向量垂直的充要條件：a _ b a b 0 ：= | a b |=| a - b | ：= X1X2 yy = 0 .1、已知 0A=(-1,2),OB =(3,m)，若 0A_OB，貝U m 二TT * Hi *沖一2、 已知n =(a,b),向量n丄m，且h1 ='m'，則m的坐標(biāo)是十一、向量中一些常用的結(jié)論：(1) 一個(gè)封閉圖形首尾連接而