函數(shù)極值與最值研究畢業(yè)論文

1、 函數(shù)極值與最值研究 摘要：在實(shí)際問題中, 往往會(huì)遇到一元函數(shù).二元函數(shù)，以及二元以上的多元函數(shù)的最值問題和極值問題等諸多函數(shù)常見問題。求一元函數(shù)的極值，主要方法有:均值等式法，配方法，求導(dǎo)法等。求一元函數(shù)的最值，主要方法有:函數(shù)的單調(diào)性法，配方法，判別式法，復(fù)數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法，換元法等。求二元函數(shù)極值，主要方法有：條件極值拉格朗日乘數(shù)法，偏導(dǎo)數(shù)法等。求二元函數(shù)最值，主要方法有:均值不等式法，換元法，偏導(dǎo)數(shù)法等。對(duì)于多元函數(shù)，由于自變量個(gè)數(shù)的增加, 從而使該問題更具復(fù)雜性，求多元函數(shù)極值方法主要有：條件極值拉格朗日法, 等，對(duì)于多元函數(shù)最值問題與一元函數(shù)類似可以用極值

2、來求函數(shù)的最值問題.主要方法有：向量法，均值不等式法，換元法，消元法，柯西不等式法，數(shù)形結(jié)合法等， 關(guān)鍵詞：函數(shù)，極值，最值，極值點(diǎn),方法技巧 Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problem

3、s. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc. Fo

4、r two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc.Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc. For multivariate function, due to the increased number of variab

5、les,so that the more complicated the problem, find the function extreme value method mainly has: conditional extremum of multivariate Lagrange method, directional derivative, for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find the functio

6、n extreme value is similar. The main methods are: vector method, the mean value inequality method, substitution, elimination method, the method of Cauchy inequality, the combination method,Keywords: function, extreme value, the value, extreme points, methods and techniques引言作為函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要分支和基本工具，函數(shù)極值和最

7、值在數(shù)學(xué)與其他科學(xué)領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)建模優(yōu)化問題、概率統(tǒng)計(jì)等學(xué)科都有廣泛應(yīng)用。不僅如此，函數(shù)極值理論在航海、保險(xiǎn)價(jià)格策劃、航空航天等眾領(lǐng)域中也是最富變現(xiàn)性和靈和性，并起著不可替代的數(shù)學(xué)工具作用，許多實(shí)際問題最終都?xì)w結(jié)為函數(shù)極值和最值問題，生活中遇到的實(shí)際問題，可以通過數(shù)學(xué)建模的方式，表示為函數(shù)形式，而在求解具體問題時(shí)往往需要應(yīng)用到極值和最值的求解，來為生產(chǎn)生活做保證！由此可見，研究函數(shù)極值和最值，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的理論基礎(chǔ)，是生活生產(chǎn)中的必備工具。它為我們對(duì)于數(shù)學(xué)的進(jìn)一步研究起到很大幫助；同時(shí)，它對(duì)于其它相關(guān)學(xué)科的理解、學(xué)習(xí)與應(yīng)用也起著十分重要的作用，更對(duì)其他學(xué)科領(lǐng)域的展開有很大的促進(jìn)作用。函數(shù)

8、的極值和最值不僅是函重要的基礎(chǔ)性質(zhì),在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中也有著重要的應(yīng)用,對(duì)于不同類型的問題，我們應(yīng)有一個(gè)系統(tǒng)而簡便的方法，巧妙地運(yùn)用進(jìn)而達(dá)到熟練地掌握這些方法。而恰恰這些方法的終極解決，都?xì)w結(jié)于對(duì)函數(shù)極值和最值的求解。下面，就讓我們做一些簡單的歸納，研究函數(shù)的極值和最值，詮釋一些方法和技巧，并附上具體的例子加以說明，讓我們明白函數(shù)極值和最值的相關(guān)問題及在生活實(shí)際中的各種應(yīng)用！目錄摘要.（1）引言.（2） 1 函數(shù)極值.（4） 1.1 極值概述.（4） 1.2 極值判斷條件.（5） 1.3 極值應(yīng)用實(shí)例.（6） 1.4 求極值思想方法總結(jié).（10）2 函數(shù)最值.（11） 2.1 函數(shù)最值概述.（1

9、1） 2.2 函數(shù)最值求法. .（14） 2.3 求函數(shù)最值思想方法總結(jié).（16） 學(xué)習(xí)心得.(17)致謝辭.(18)附錄. (19) 附錄一 組員名單. (19) 附錄二 開題報(bào)告. (20)參考文獻(xiàn).（21） 1 函數(shù)極值 1.1 極值概述 1.1.1 函數(shù)極值的引入什么叫極值？在詮釋這個(gè)概念之前我們引入一個(gè)定理費(fèi)爾馬定理，下面給出他的定義：（） 若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)滿足：則稱函數(shù)在點(diǎn)取極大值，點(diǎn)稱為極大值點(diǎn)（） 若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)滿足：則稱函數(shù)在點(diǎn)取極小值，點(diǎn)稱為極小值點(diǎn)圖極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，即在某鄰域內(nèi)作比較而獲得，而且曲線在極值點(diǎn)的切線是一條水平線如圖，這就

10、是費(fèi)爾馬定理費(fèi)爾馬定理簡單的描述就是：若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)，則點(diǎn)為極值點(diǎn)他的實(shí)質(zhì)就是可導(dǎo)與極值點(diǎn)的必要條件是穩(wěn)定點(diǎn)，但非充分。1.1.2 一元函數(shù)的極值定義：若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則有費(fèi)爾馬定理，點(diǎn)為極值點(diǎn)，而此時(shí)就是所謂的極值。而是極大值還是極小值呢？現(xiàn)在從圖2可以得到如下結(jié)論(1)在內(nèi)，；在內(nèi)時(shí)，此時(shí)為極小值圖(2)在內(nèi)，；在內(nèi)時(shí)，此時(shí)為極大值1.1.3 二元函數(shù)的極值定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)異于的點(diǎn)，若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極大值；若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極小值，極大值和極小值統(tǒng)稱極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。 1.2 極值判別條件1.2.1

11、一元極值判別條件(1)必要條件：費(fèi)爾馬定理(2)充分條件.第一充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在鄰域和內(nèi)可導(dǎo)，則 (i)在鄰域上，在鄰域上， (ii)在鄰域上，在鄰域上， 由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可知函數(shù)的單調(diào)性，故結(jié)論成立。一般地，用極值的充分條件判別極值點(diǎn)時(shí)，常用列表法。.第二充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在點(diǎn)二階可導(dǎo)，且，則證明:由二階泰勒公式得=,所以1.2.2 二元極值判別條件(1)必要條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)必然為零有。(2) 充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又，令，則在點(diǎn)處是否取得極值的條件如下：(i)時(shí)具有極值，當(dāng)時(shí)具有極大值，當(dāng)時(shí)

12、具有極小值； (ii)時(shí)沒有極值。 (iii)時(shí)可能有極值，也可能沒有極值。1.3 極值應(yīng)用實(shí)例前面介紹了極值和極值的判別，那到具體的應(yīng)用中如何應(yīng)用呢？理論要結(jié)合實(shí)踐，那么我們結(jié)合一些經(jīng)典題型說說到底如何求解極值的問題，來說明其方法和技巧1.3.1 極值的第一充分條件(列表法) 例1.3.1 求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值。 解:函數(shù) 當(dāng)可見列表如下:(0,1)+-+單調(diào)性 所以x=0為極大值點(diǎn)，極大值為0，x=1為極小點(diǎn)，極小值為-3(如圖1)圖(1) 1.3.2 極值的第二充分條件 例1.3.2 求函數(shù)解:函數(shù)定義域?yàn)榱顇=6,如果當(dāng)1.3.3 極值的第一充分條件和極值的第二充分條件 例1.3.3

13、求函數(shù)解:,得又有;再1.3.4 極值的第一充分條件 例1.3.4 由一寬為的長方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解: 設(shè)折起來的邊長為，傾斜角為，那么梯形斷面的下底長為，上底長為，高為，則斷面面積 即 ，D：，下面是求二元函數(shù)在區(qū)域：，上取得最大值的點(diǎn)。令 由于，上式為將代入（2）式得，再求出，則有，于是方程組的解是， 在考慮邊界，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為的一元函數(shù)，求最值點(diǎn)，由，得 。所以，。根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在，并且在區(qū)域：，內(nèi)取得，通過計(jì)算得知時(shí)的函數(shù)值比，時(shí)函數(shù)值為小，又函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，因此可以斷定，當(dāng)，時(shí)，就能使斷面的面

14、積最大。1.3.5 偏導(dǎo)數(shù)法例1.3.5 某公司可通過電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入（萬元）與電臺(tái)廣告費(fèi)用（萬元）及報(bào)紙廣告費(fèi)（萬元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式： ,廣告費(fèi)用無限的情況下，求最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤最大。解: 利潤等于收入與費(fèi)用之差，利潤函數(shù)為： 根據(jù)極值存在的必要條件，令 得，即為駐點(diǎn)，利潤函數(shù)在駐點(diǎn)處的Hesinn矩陣，易驗(yàn)證Hesinn矩陣為負(fù)定矩陣，所以在駐點(diǎn)處達(dá)到極大值，也是最大值，即最優(yōu)廣告策略為：電臺(tái)廣告費(fèi)用和報(bào)紙廣告費(fèi)用分別為萬元和萬元，此時(shí)可獲得最大利潤。1.3.6 條件極值拉格朗日數(shù)乘法 用條件極值的方法，把問題轉(zhuǎn)化為無條件極值，

15、正確寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件。例1.3.6 經(jīng)過點(diǎn)(1,1,1)的所有平面中，哪一個(gè)平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最小并求此最小體積解:設(shè)所求平面方程為：因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)(1,1,1),所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足此平面方程，即有(1)設(shè)所求平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍立體的體積為v,則 (2)原問題化為目標(biāo)函數(shù)(2)在約束條件(1)下的最小值，作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)L的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令他們?yōu)?,得方程組:解方程組得a=b=c=3,由于最小體積存在，函數(shù)又有唯一的駐點(diǎn)，故a=b=c=3為所求，即平面為：x+y+z=1,與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小最小體積為。1.3.7 均值不等式法用均值不等式求解問題的

16、極值時(shí)，一定要注意自變量的要求：一正，二定，三能等的關(guān)系。 例1.3.7 當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y=取得極值。 解: 式子兩邊都是非負(fù)數(shù)，分別去算術(shù)平均根，得1.3.8 配方法用配方法求解極值問題，可以將整個(gè)函數(shù)的極值問題轉(zhuǎn)化為局部函數(shù)的最值問題來求解，使問題更加簡單化。例1.3.8 求函數(shù)解:令 取最大值 1.4 求極值思想方法總結(jié). (1)求解函數(shù)極值的問題，由以上的例題求解一元函數(shù)，二元函數(shù),以及多元函數(shù)極值的解答方法來看，求取極值的方法很多，但一般極值問題能用多種方法求解，具體極值問題得看具體情況，可以根據(jù)自己對(duì)方法掌握的程度來選擇，由于求解極值的方法很多，我這里只是其中一部分，大多數(shù)的思

17、想一致，少數(shù)思想比較特別。通過前面的應(yīng)用實(shí)例，不難看出求一元函數(shù)，二元函數(shù)，以及多元函數(shù)極值的思想和方法 2 函數(shù)最值2.1 最值概述.提到函數(shù)，就不難會(huì)想到函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等等，下面就對(duì)此進(jìn)行簡單說說2.1.1 函數(shù)最值的定義一般地，若一元函數(shù)在閉區(qū)間上a,b上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必取得最大值和最小值，函數(shù)的最大(小)值與函數(shù)的極值是有區(qū)別的，前者是指整個(gè)區(qū)間a,b所有函數(shù)值中的最大(小)值，因此最大(小)值是全局概念。但如果函數(shù)的最大(小)值在區(qū)間(a,b)取得，那么函數(shù)的最大(小)值也是極大(小)值。一般地，對(duì)二元函數(shù)的最值問題定義而言，與一元函數(shù)類

18、似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最值。若函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上必取得最值，且函數(shù)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)比在函數(shù)的極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)上。因此只需求出在這個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值及在邊界點(diǎn)上的最值。推廣到多元函數(shù)也是如此，其核心思想不變！但定義過程比較麻煩，求解更是如此。2.1.2 初等函數(shù)與性質(zhì) 2.1.2.1 有界性函數(shù)的值域有上界稱為函數(shù)的上界，有下界稱為函數(shù)下界，函數(shù)值域有界稱為函數(shù)有界定義：設(shè)是定義在上的函數(shù)，是的子集，如果存在數(shù)，使得對(duì)于中的任意，則稱在上有界 2.1.2.2 單調(diào)性如圖，當(dāng)由小到大的變化時(shí)，函數(shù)值增加，而由大到小時(shí)，函數(shù)減小Oy圖定義：設(shè)是定義在上的函數(shù)，是的

19、子集，如果對(duì)于中任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則稱在上單調(diào)增，相反，單調(diào)減 2.1.2.3 奇偶性為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱 2.1.2.4 周期性在上，為周期函數(shù)，則k為的一個(gè)周期，顯然周期并不唯一 2.1.2.5 可導(dǎo)與連續(xù)若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)由此，可據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)求極值點(diǎn)，進(jìn)而討論函數(shù)最值2.1.3 6種基本初等函數(shù) 2.1.3.1 常數(shù)函數(shù)定義域?yàn)椋瑘D像平行于x軸 2.1.3.2 冪函數(shù) 2.1.3.3 指數(shù)函數(shù)，（）奇圖像如圖2圖2圖3 2.1.3.4 對(duì)數(shù)函數(shù)，（）圖像如圖3 2.1.3.5 三角函數(shù)余弦函數(shù)y=cosx正弦函數(shù)y=sinx余切函數(shù)y=cotx正切

20、函數(shù)y=tanx 2.1.3.6 反三角函數(shù)反余弦函數(shù)y=arccosx反正弦函數(shù)y=arcsinx1 反余切函數(shù)y=arccotx反正切函數(shù)y=arctanx 2.2 函數(shù)最值求法函數(shù)最值求法，其方法多種多樣，下面我們列舉出如下8中并結(jié)合例題來說明其數(shù)學(xué)思想2.2.1 復(fù)數(shù)法用復(fù)數(shù)方法求解函數(shù)的最值問題，就是運(yùn)用復(fù)數(shù)的模以及絕對(duì)值的性質(zhì)來求解，關(guān)鍵是構(gòu)造復(fù)數(shù)。例2.2.1 。解:，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)2.2.2配方法用配方法求解最值問題，可以將整個(gè)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為局部函數(shù)的最值問題來求解，使問題更加簡單化。例2.2.2 解:即為所求。 2.2.3 判別式法用判別式法，可以將函數(shù)的最值問題化為一元

21、二次函數(shù)的問題，進(jìn)而化為判斷一元二次函數(shù)判別式的問題，關(guān)鍵是二次項(xiàng)系數(shù)不為零。例2.2.3 求函數(shù)解:由原函數(shù)可得關(guān)于x的一個(gè)二次方程。 2.2.4導(dǎo)數(shù)法用導(dǎo)數(shù)法是在，極值點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)，端點(diǎn)中，通過對(duì)函數(shù)值的比較而得最值點(diǎn)，若函數(shù)在某區(qū)間只有極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值。若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間都不連續(xù)的，就把它分為多連續(xù)的個(gè)區(qū)間，分別求出每個(gè)區(qū)間的極值，最后在求出最值。例2.2.4 求函數(shù)解:.值是-8.2.2.5 函數(shù)的單調(diào)性法當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時(shí)，常用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值，若函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)性的，那么函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)取得最值，若函數(shù)在該區(qū)間不是單調(diào)的，把該區(qū)間分成各個(gè)

22、小區(qū)間，使得函數(shù)函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，在求出各個(gè)區(qū)間上的最值，在比較，最后求得整個(gè)區(qū)間上的最值。例2.2.5 求函數(shù)。解:由題意得定義域 又。2.2.6換元法用換元法求函數(shù)的最值，就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，把某一部分看作一個(gè)整體或用新元來代替，達(dá)到問題化難為易，化陌生為熟悉，從而使原問題得到解答。換元法通有三角代換和代數(shù)代換兩種。例2.2.6 正數(shù)x,y,滿足解:時(shí)上式取等號(hào)，故。2.2.7 消元法 消元法是指通過消去變量(未知數(shù))從而達(dá)到解題的目的。該方法是求多元函數(shù)最值最基本的方法。例2.2.7.已知解:條件又而。2.3.8 柯西不等式法 柯西不等式:設(shè)時(shí)取得。例2.2.8 解:由柯西

23、不等式可得，由。 2. 求函數(shù)最值思想方法總結(jié) 求解函數(shù)的最值問題，涉及到函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何、向量等諸多數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)，更體現(xiàn)了函數(shù)思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等若干核心數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。掌握一元函數(shù)問題最值的求解，是求其它多元函數(shù)最值的關(guān)鍵。 求解二元函數(shù)最值，核心思想是化二元為一元將復(fù)雜問題化歸為簡單模型是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，也是本質(zhì)。通過消元或換元，將一個(gè)二元問題簡化為一元函數(shù)問題，依托于學(xué)生所熟識(shí)的一元函數(shù)達(dá)到求解二元函數(shù)最值的目的。應(yīng)用實(shí)例中敘述的消元法和換元法都是這一思想的具體運(yùn)用。 同時(shí)，求解多元函數(shù)最值問題時(shí)，聯(lián)系題目中條件與最值問題

24、所對(duì)應(yīng)的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合的思想，將多元函數(shù)問題化歸為二元函數(shù)和一元函數(shù)變換關(guān)系，通過觀察圖形的幾何意義來解決問題，是此類問題其求解的又一寶。 此外，結(jié)合已知條件，利用重要不等式來解決問題是我們可以借助的又一重要工具。均值不等式法就體現(xiàn)了這一思想，求解函數(shù)最值問題的方法很多，這里我們只是研究了其中一些方法，通過多種求解最值方法我們得到一題可以用多種方法來求解，一種方法亦可以用于多種問題的思想。 學(xué)習(xí)心得我們組的論文題目是函數(shù)極值與最值研究，從第四周選題后，經(jīng)過開題、檢索文獻(xiàn)、整理分析文獻(xiàn)、擬定寫作方案， 小組進(jìn)行分工、討論等。通過此次論文寫作使我們充分認(rèn)識(shí)了函數(shù)極值和最值以及掌握其

25、求解方法，求解函數(shù)的極值和最值問題，涉及到函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)、柯西不等式、向量等諸多高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)，更體現(xiàn)了函數(shù)思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等若干核心數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，讓我們感受到了數(shù)學(xué)的真正魅力，數(shù)學(xué)來源于生活，而又高于生活，生活中處處離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)讓我們明白只有理論與實(shí)際相結(jié)合才能真正實(shí)現(xiàn)它的價(jià)值，我們才能用它來創(chuàng)造價(jià)值，滿足我們的需要。時(shí)光飛逝，我們大三的生活即將結(jié)束，課程也差不多結(jié)束了，在此學(xué)校為我們開了數(shù)學(xué)分析研究這門課，對(duì)此老師安排了這次論文寫作，它不僅是對(duì)我大學(xué)幾年對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)成果的檢驗(yàn)和總結(jié)，更是對(duì)能力的一種提升。寫作前，我們查閱了大量文獻(xiàn)資料，進(jìn)行整理分

26、析，提取有用信息，對(duì)此我們真的學(xué)到好多新知識(shí)，提高了文獻(xiàn)檢索能力和分析問題能力;在寫論文過程中，我們體會(huì)到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，體現(xiàn)了團(tuán)隊(duì)合作的默契，雖然有些意想不到的問題出現(xiàn)，弄的我們很頭疼，但通過大家的努力還是能解決，然而解決問題后看到大家的喜悅及成就感真的很棒，增強(qiáng)了我們學(xué)習(xí)的自信心，相信對(duì)以后的學(xué)習(xí)、工作、生活都將有著很深的影響，鍛煉了邏輯思維能力，提高了動(dòng)手能力，以及在word中繪數(shù)學(xué)圖形的操作能力，還有培養(yǎng)了我們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。當(dāng)然我們也發(fā)現(xiàn)了自身存在的很多問題，比如知識(shí)的儲(chǔ)備不夠，發(fā)現(xiàn)自己還有許多東西需要學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)是一個(gè)長期積累的過程，在以后的學(xué)習(xí)工作生活中

27、，都要做好準(zhǔn)備，隨時(shí)學(xué)習(xí)，時(shí)刻注意自身素質(zhì)和能力的全面提高;在論文的寫作過程中感觸最深的是注意細(xì)節(jié)的重要性，寫論文時(shí)，常常會(huì)遇到一些細(xì)小問題，如：字體、字間距、符號(hào)等，這些細(xì)節(jié)問題常常導(dǎo)致我們的論文一遍又一遍的修改，浪費(fèi)了很多時(shí)間，造成很多麻煩，這也使我們意識(shí)到細(xì)節(jié)的重要性，使我們?cè)谝院蟮纳罟ぷ髦懈拥淖⒁饧?xì)節(jié)，有時(shí)往往就是一些細(xì)節(jié)問題決定了成敗。最后在寫論文的過程中，得到了老師和同學(xué)們的幫助，在此，要感謝大家對(duì)我們的幫助和支持，謝謝! 致謝辭 這次論文在徐波老師的教導(dǎo)下完成的，X老師淵博的專業(yè)知識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)于律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，以及平

28、易近人的人格魅力對(duì)我們影響深遠(yuǎn)。讓我們樹立了考研等學(xué)習(xí)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，明白了許多為人處事的道理。在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！ 時(shí)光匆匆如流水，轉(zhuǎn)眼間大學(xué)三年過去了，春夢(mèng)秋云，聚散真容易。修讀課程也隨之進(jìn)入了尾聲。在此，在大三下學(xué)校開了數(shù)學(xué)分析研究這課，為了讓我們更好的掌握知識(shí)，老師安排了本次論文寫作，對(duì)于此次論文的順利完成，一直離不開老師、同學(xué)們給我們熱情的幫助，在這里請(qǐng)接受我們誠摯的謝意！這里我們要特別的對(duì)徐波老師表示衷心的感謝，謝謝你辛勤栽培，謝謝你在教學(xué)的同時(shí)還更多的是傳授我們做人的道理，謝謝你孜孜不倦的教誨！ 通過本次論文寫作，我們所收獲的不僅僅是愈加豐厚的知識(shí)，更重要的是在閱讀