西華2013高數(shù)模擬題答案

1、年級(jí)專業(yè)： 教學(xué)班號(hào)： 學(xué)號(hào)： 姓名：裝 訂 線這幾套題中沒(méi)有羅爾定理的證明題目，先補(bǔ)充一個(gè)中值定理的題目：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。證明至少存在一點(diǎn)使得成立。p證明：設(shè)易知在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又。由羅爾定理得，使得，即，故有。西華大學(xué)2009年專升本考試試題（高等數(shù)學(xué)）一、 填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、設(shè)向量的模長(zhǎng)分別為，則（ 23 ）2、設(shè)是一個(gè)三階方陣，且，則=（ 9 ）3、若方程組有無(wú)窮多解，則=（ 3 ）4、定積分=（ 0 ）5、曲面在點(diǎn)處的切平面方程為（ ）二、選擇題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、的收斂區(qū)間是（ A ）A. B

2、. C. D. 2、若，則（ C ）A. B. C. D. 3、為（ C ）A. B. 不存在 C. 1 D. 2 4、已知曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則分別為（ B ）A. B. C. D. 5、下列等式中正確的是（ B ）A. B. C. D. 三、判斷題（正確的打勾，錯(cuò)誤的打叉，本大題共5個(gè)小題，每小題2分，總計(jì)10分）1、級(jí)數(shù)條件收斂. （ ）2、微分方程是6階微分方程.（ X ）3、曲線積分，其中是上從沿逆時(shí)針?lè)较虻剑傺剌S回到點(diǎn). （ ）4、反常積分是發(fā)散的. （ X ）5、設(shè)是一個(gè)階方陣，則可逆的充要條件是的秩. （ ）四、求解下列各題（本大題共5個(gè)小題，每小題6分，共30分）1、解：2

3、、已知，求及.解：方程兩邊求導(dǎo)得，故。令，則有，故。3、設(shè)求.解：令，則。4、求微分方程的通解.解：，即。通解為：。5、計(jì)算二重積分,其中.解：五、求解下列各題（本大題共5個(gè)小題，每小題6分，共30分）1、判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性.（1） （2）解：（1），取，因?yàn)?，而收斂，由比較審斂法的極限形式得收斂。（2），取，因?yàn)?，而發(fā)散，由比較審斂法的極限形式得發(fā)散。2、將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù).解：又，而。故，3、某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)才使用料最??？解：設(shè)長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，則目標(biāo)函數(shù)： 約束方程為： 作函數(shù)令，解得，即駐點(diǎn)由題意知體積一定的長(zhǎng)方體，

4、表面積有最小值，而駐點(diǎn)唯一，故長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng)、寬、高分別時(shí)，用料最省。4、已知3階矩陣滿足，其中求.解：（上課已經(jīng)講了，略）5設(shè)函數(shù)的圖像上有一拐點(diǎn)，在拐點(diǎn)處曲線的切線的斜率為，又已知這個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，求.解：因?yàn)闉榈墓拯c(diǎn)，故。而，故。于是。因此 。又由題意，所以，因此，。而，所以，故。模擬題一一、填空題（把答案填在題中括號(hào)中。本大題共5個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、已知函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則（ 4 ）2、已知關(guān)于的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)特解，則該方程為（ ）3、已知函數(shù)在上滿足羅爾定理，則相應(yīng)的（ ）4、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（ ）5、設(shè)均為3階矩陣，則（ ）二、選擇題（在每小題列出

5、的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。）（本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的是（ B ）A. B. C. D. 2、設(shè)有區(qū)域，則（ D ）A. B. C. D. 3、微分方程的特解形式可設(shè)為（ A ）A. B. C. D. 4、當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是（ A ）A. B. C. D. 5、設(shè)是階可逆矩陣，則下列各式正確的是（ C ）A. B. C. D. 三、判斷級(jí)數(shù)的斂散性（本大題共5分）解：，取，而收斂，由比較審斂法的極限形式得收斂，故絕對(duì)收斂。四、求積分或微分（本大題共45個(gè)小題，每小題5分，共2

6、0分）1、設(shè)函數(shù)是由方程所確定的函數(shù)，求.解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，解得，故。2、設(shè),而是由方程所確定的函數(shù),求.解：方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得，故因此。當(dāng)時(shí)，故3、求.解：4、求.解：令，則五、求的值,使函數(shù)在內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo).(本大題5分)解：（此題已經(jīng)講了，略）六、（本大題共2個(gè)小題，每個(gè)小題5分，總計(jì)10分）1、確定常數(shù)，使得.解：故，解得2、計(jì)算解：七、已知函數(shù)連續(xù)、二階可導(dǎo)，且，求函數(shù)解：方程兩邊求導(dǎo)得上式再求導(dǎo)得，即，又初始條件為，特征方程為，故通解為。又，得，故八、求向量組，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組和秩（本大題6分）解：故一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為，九、求曲線積分，其中L是半圓周自點(diǎn)A（1，0）至B（0，1）

7、。（本大題10分）十、求齊次線性方程組的向量形式的通解。（本大題6分）解：， 即，亦即，故因此通解為，其中為任意常數(shù)。模擬題二得 分一、填空題（把答案填在題中括號(hào)中。本大題共5個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、設(shè)向量，則=（ 60 ） 2、（ ）3、若 ，則( )4、= ( 5 ) 5、若(其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)),則=（ ）得 分二、選擇題（在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。）（本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、若，則（ C ）. (A) (B) (C) (D) 2、（ A ）時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解.(A)

8、 -4 (B) -3 (C) 4 (D) 03、設(shè)，則在處（ D ）.(A) 不連續(xù) (B) 連續(xù)但不可導(dǎo)(C) 可導(dǎo) 且 (D) 可導(dǎo) 且4、（ B ）. （A） （B） （C） （D）15、若矩陣, 則矩陣的秩= ( C ).三、解答題（本大題共9個(gè)小題，每小題7分，共63分）得分1、 求不定積分 解：得分2、 解矩陣方程.解：所以得分3、 計(jì)算曲線積分,其中是在圓周上由點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较虻近c(diǎn)的一段弧。解：添加路徑，則又，因此得分4、 求微分方程的通解。 解：特征方程為，故齊次方程的通解為。又，故設(shè)，代人原方程比較系數(shù)得，即，因此原方程通解為。得分5、計(jì)算二重積分，其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域

9、解： 0得分6、 求函數(shù)的極值 解：，令得駐點(diǎn)又在駐點(diǎn)處：，故在處取得極小值。得分7、判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） 解：，故發(fā)散（2） 解：，由比值審斂法知收斂得分8、設(shè)，求 解：令，則，所以，又，得，因此得 分9、（1）求由曲線和軸所圍圖形的面積； 解：所圍圖形的面積為（2）求由，所圍成的圖形繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解： 得 分10、求線性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解。解：即，即故基礎(chǔ)解系為；特解為。因此，通解為，其中為任意常數(shù)。得 分11、設(shè)函數(shù)，為了使在處可導(dǎo)，問(wèn)：a, b應(yīng)取什么值？答案：解：在處可導(dǎo)，故在處連續(xù)，即。，故。又，故得 分12、求曲面在點(diǎn)處的切平面方程和法線方程。解

10、：設(shè)故切平面的法向量為故切平面方程為；法線方程為得 分四、證明：當(dāng)時(shí)， （7分）證明：設(shè)， 當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)單調(diào)增。 故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， 。模 擬 題 三年級(jí)專業(yè)： 教學(xué)班號(hào)： 學(xué)號(hào)： 姓名：裝 訂 線得 分一、填空題（把答案填在題中括號(hào)中。本大題共5個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、 函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ）；2、（ ）； 3、設(shè)，則（ ）； 4、（ ）；5、若將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)，其收斂區(qū)間為（ ）得 分二、選擇題（在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。）（本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、當(dāng)時(shí)，下列變量中是無(wú)窮小的為（ A

11、 ）AB；C；D；2、下列廣義積分中，發(fā)散的是（A）A. ； B. ； C. D. 3、 設(shè)二階常系數(shù)齊次線性方程的兩個(gè)特征根是1和2，則該方程中的分別是（ D ）A. 1，2； B. 2，1； C. 3，2； D. ，2.4、=（ A ）.A. 5 B. -5 C. 3 D. -35、設(shè)，則交換積分次序后等于（ C ）A. B.C. D.三、解答題（本大題共9個(gè)小題，每小題7分，共63分）得分5、 求極限 解：得分6、 求方程滿足初始條件的特解。解：特征方程為，故齊次方程的通解為。又，故設(shè)，代人原方程比較系數(shù)得，即，因此原方程通解為。又 即；，而，即。解得。故特解為得分AOxy7、 計(jì)算曲線

12、積分,其中為上半圓周沿逆時(shí)針?lè)较?。解：添加路徑，則又，因此得分8、 為何值時(shí)，線性方程組無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多個(gè)解。解： 顯然：，得分5、設(shè)是由曲線所圍成的閉區(qū)域，求二重積分。 解：得分7、 求矩陣 的逆矩陣。 解：，故；得分7、判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） （2） 解：，取 解，又發(fā)散， 故由比值審斂法得收斂，比較由比較審斂法的極限形式得發(fā)散。 審斂法知絕對(duì)收斂， 故收斂。得分8、將展為的冪級(jí)數(shù)。解：， 因此，得 分9、在曲線上一點(diǎn)處作一條切線，使其與曲線及軸圍成的平面圖形的面積為，求（1）切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)的切線方程；（3）該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故切

13、線方程為，即。由題意切線、曲線及軸圍成的平面圖形的面積故，因此（1）切點(diǎn)的坐標(biāo)為。（2）過(guò)點(diǎn)的切線方程為（3）。得 分10、求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解。解：，即即故一個(gè)基礎(chǔ)解系為，通解為，其中為任意常數(shù)。得 分11、設(shè)由方程確定，求。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得：解得 故 又當(dāng)時(shí)，因此0得 分12、求向量組 的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解：故；一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為；，得 分四、設(shè)，證明：不等式。證明：設(shè)，易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。由拉格朗日中值定理得： 其中，即，又，故。模 擬 題 四得 分一、填空題（把答案填在題中括號(hào)中。本大題共5個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、設(shè)=（ ）；2、設(shè),則（ 1 ）； 3

14、、設(shè)，如果則（ ）； 4、（ ）；5、=（ ）得 分二、選擇題（在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。）（本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分）1、函數(shù)在處取得極大值，則必有（ C ）。（A）； （B）；（C）或不存在； （D）且。2、如果向量組線性無(wú)關(guān)，那么（ D ）(A) (B) (C) (D) 3、設(shè)函數(shù)都是二階常系數(shù)齊次線性方程的兩個(gè)特解，是任意常數(shù)，則該方程的通解是（ D ）（A）； （B）； （C）； （D）以上都不對(duì)。4、向量組的秩=（ C ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，

15、且 則（B）A. B. ； C. D. 三、解答題（本大題共9個(gè)小題，每小題7分，共63分）得分9、 計(jì)算 解： 得分10、 設(shè)在上可微分,且滿足,求。解：兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：，解得，又，故。故，。得分11、 求求微分方程的通解.解：特征方程為，故齊次方程的通解為。又，故設(shè)，代人原方程比較系數(shù)得，即，因此原方程通解為。得分4、計(jì)算二重積分，其中是由直線，以及所圍成的封閉區(qū)域解：得分5、設(shè)階方陣滿足 ,其中為階單位矩陣,證明是可逆矩陣并求它的逆矩陣.。 證明：，即亦即，故可逆，且。得分8、 設(shè)，求。 解：得分7、計(jì)算曲線積分，其中L是拋物線上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段。解：所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)選擇新路徑OAB，其中則得分8、將展為的冪級(jí)數(shù)。解：，又，即。故。得 分9、設(shè)函數(shù)（其中），求的單調(diào)區(qū)間和極值解：，令得駐點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故單調(diào)增區(qū)間