二階加滯后系統(tǒng)的PID穩(wěn)定性參數(shù)(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上摘要這篇文章著眼于使用PID控制器來控制有一對復雜極點的加滯后的二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性，參數(shù)約束控制系統(tǒng)存在的PID控制首先提供了穩(wěn)定。然后按適用于準多項式的Hermite-Biehler定理推導出比例增益的穩(wěn)定性范圍。然后，基于滯后系統(tǒng)的圖像穩(wěn)定性判據(jù)，然后確定并畫出積分環(huán)節(jié)區(qū)域的穩(wěn)定區(qū)間,然后一個用來尋找PID穩(wěn)定參數(shù)集的算法也被開發(fā)出來。最后舉例說明設計的步驟和穩(wěn)定區(qū)域的圖形。1.介紹PID控制器由于其簡單的結構和許多實際過程中的穩(wěn)定而廣泛的應用于工業(yè)過程控制。對于PID控制器傳統(tǒng)的研究注重于參數(shù)的協(xié)調(diào)，例如，著名的Ziegler-Nichols定則適用于S型反應曲線

2、的過程。最近對于PID控制器研究的趨勢轉(zhuǎn)變成確定所有的穩(wěn)定性參數(shù)，自從作者使用Pontrayagin適用于準多項式Hermite-Biehler定理的推論研究一階加滯后裝置。運用傳統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，作者獲得了相似的結果。使用的方法是普通的二階滯后積分過程。對于一階加上空白時間的不穩(wěn)定過程，微分分離技術適用于分別描繪穩(wěn)定域的過程參數(shù)和控制器參數(shù)。筆者在研究二階時滯裝置有兩個真正的時間常數(shù)，用圖解法繪制了PID控制器的穩(wěn)定區(qū)域。在文獻11中，只有一個零點的二階延時裝置的傳遞函數(shù)詳細的描述了過程參數(shù)平面的穩(wěn)定區(qū)域。在最近的研究中，許多作者用不同的分析方法研究用pid控制的任意時序延時設備控制，

3、包括Hermite-Biehler理論，線性規(guī)劃，和微分方法。在本文，我們著重于有一對復雜極點的二階延時系統(tǒng)，它與我們之前考慮的在文獻10中的不同，那里只提出了實數(shù)極點的模型。我們的工作重點在于在許多過程中控制引擎能接近二階加滯后模型，特別是高階系統(tǒng)控制一對明顯的復雜極點。我們的圖解法簡單而直接的決定了pid控制器的穩(wěn)定區(qū)域，避免了分析方法的復雜的數(shù)學計算。2比例系數(shù)的范圍單輸入單輸出反饋配置在圖一中表現(xiàn)出來，G（s）和C（s）分別描繪了過程控制的傳遞函數(shù)和控制器，他們由二階過程給出，其中是阻尼系數(shù)，n是無阻尼固有頻率，L是延時，Kp、Ki、Kd是PID控制器參數(shù)。已知當-1<<1

4、時，G（s）在s平面有一對復雜的極點，他們有負的（0<<1）或正的（-1<<0）實部，當-1或1時，G（s）的實數(shù)極點向左或右移動。這篇文章感興趣的問題是確定圖1中閉環(huán)系統(tǒng)Kp、Ki、Kd的參數(shù)穩(wěn)定性范圍是穩(wěn)定的。為此，閉環(huán)特性準多項式先計算（3）的兩邊都乘以e-Ls。得到代入s=j到（4）得把上面分成實部和虛部的形式得到其中接下來，我們考慮無延時穩(wěn)態(tài)的目的是給Kp一個穩(wěn)定范圍，因為對于任何一個延時系統(tǒng)的最低要求是無延時閉環(huán)特征多項式穩(wěn)定。當不存在延時因素時，閉環(huán)特性多項式（3）變?yōu)槭褂煤站S茨穩(wěn)定性判據(jù)的穩(wěn)定條件再給出比例系數(shù)的穩(wěn)定范圍的結果前，證明下面的論點，他給出了

5、pid控制器的參數(shù)約定。論點1：若那么二階系統(tǒng)（1）存在一個穩(wěn)定的pid控制器。證明：依照文獻10里的思路（其中論點1和注意2，還允許趨近于0），通過觀察圖像能夠得到條件（10）.注意1：根據(jù)條件（8）得出條件（10）相當于不等式（11）就是有穩(wěn)定pid控制器的二階系統(tǒng)的參數(shù)約束?，F(xiàn)在我們得出了Kp的穩(wěn)定范圍。定理1：Kp范圍的必要條件是傳函為（1）的系統(tǒng)能被pid控制器穩(wěn)定滿足參數(shù)約束（11），和等式1屬于（0，）然后Kp不在范圍內(nèi)就沒有穩(wěn)定的pid控制器。下面我們給出兩個命題來證明定理1。命題1：讓（z）=P(z,ez),其中P（z，w）是一個有主項的多項式。假設（jy），yR，的實部與虛

6、部分離。（jy）=r(y)+j i(y)。如果所有（z）的零點的實部都是負的，那么r(y)和i(y)的有且只有一個零點。命題2：用p和q分別表示（z）中的z和ez ，讓一個合適的常量使得當y=時r(y)和i(y)的最高次項不為零。等式r(y)=0和i(y)=0有實根，這是區(qū)間-2l+y2l+，l=1，2,3，的充要條件，當有一個充分大的l時r(y)和i(y)為N=4lq+p的實根。證明定理1：顯然，從論點1和注意1中，被控系統(tǒng)（1）的約束參數(shù)（11）應該滿足pid控制器的穩(wěn)定性。用換元法使z=l，（6）中的i（）可以表示成對于要求（14），我們先證明（14）中i（）有且只有一個實根的充要條件。

7、令(4)中的z=l，一個最高次的z和ez有p=3，q=1。i(z)必須滿足有且只有一個穩(wěn)定控制器。命題2中，l足夠大，i(z)=0恰好是4lq+p=4l+3在區(qū)間-2l+y2l+里的實根。注意i(z)=0的根是唯一的?，F(xiàn)在讓i(z)=0，根據(jù)（15）z=0或。我們有一個根在原點另一個有（16）得出。等式16為非線性，用圖解法得到根的分布。根據(jù)(16),得到函數(shù)（17）兩邊的圖像在圖2中對應了不同的kp值。交叉部分用Zj表示，j=1,2,3。在遞增的順序的排列的兩條曲線的幅度表示17有正的實根?，F(xiàn)在，讓=0來滿足i(z)最高項系數(shù)的要求但不能z=0，和cos（）0。接下來我們考慮Kp的兩個不同情

8、況。情況1：-1<Kp<Kpu,在這種情況下，在圖2（a）中的兩個曲線在區(qū)間0, 2 i(z)有4個根。包括一個原點。（17）兩邊的函數(shù)都是奇函數(shù)，推斷出在-2，2上，i(z)有4l+3=4*1+3=7個根。繼續(xù)觀察，在區(qū)間-2l，2l，對任意正整數(shù)l>0，i(z)有4l+3個根。因此，命題2若-1<Kp<Kpu, i(z)有且只有一個實根。情況2：KpKpu，若Kp=Kpu，在圖2（b）的兩條曲線相切，根的分布否定了命題2。若Kp>Kpu，那么圖2（b）中的根z1就沒有了，這也違背了命題2。結合1，2兩種情況，Kp的最大值是由Kpu給出的。:然后,Kp的最

9、大值由（14）給出，從圖2（b）中，兩個曲線相切于1=z1在區(qū)間（0，）中。有給出了另一方面，從（17）中，令z=1（0，），有排除了（18）和（19）的Kp值，1是（13）在（0，）的值。一旦1確定了，（14）中的Kpu最大值能在（19）中使用。因此我們證明i(z)有且只有一個實根的充要條件由（14）給出。最后，我們證明結論的定理。在命題1中，存在一個穩(wěn)定pid控制器的必要條件是i(z)有唯一實數(shù)零點，相當于（14）的判斷。這就完成了定力的證明。注意2：定理1只給出了Kp穩(wěn)定的必要條件。你能證明，在下個部分使用這個算法，當Kp在（19）或（22）給出的范圍中時,穩(wěn)定區(qū)域在（Ki，Kd）平面為

10、非空。3.圖解穩(wěn)定性判據(jù)在這部分，（Ki，Kd）平面上的穩(wěn)定區(qū)域的繪圖為了修正Kp在由定理1給出的穩(wěn)定性范圍，圖解穩(wěn)定性判據(jù)適用于延時系統(tǒng)。為了這個目的，定義換元。把s平面的虛數(shù)軸轉(zhuǎn)為z平面的z=垂直線，把（20）代入（4），隨后z的特征多項式得到讓z=jy，沿著z平面的虛數(shù)軸，劃分相應的*（jy，Ki，Kd，Kp，）實部或虛部，其中假如，為了修正Kp和，一個確定了，以某種方式，點（y,Ki0，Kd0，Kp，）在虛軸上，x=0。有一個根在z平面的虛軸上，根據(jù)隱函數(shù)定理，如果雅克比矩陣是非奇異的，等式（24）有唯一的局部曲線解（Ki（y），Kd（y），下面的問題保留。命題3：關鍵的根在平面右側的

11、參數(shù)區(qū)間，在曲線（Ki（y），Kd（y）的左側當我們沿Y增加的方向延伸，無論如何行列式J<0，在右面行列式J>0。這就是（25）中定義的J。從（22），（23）和（25）得到然后解決（24）中Ki，Kd和Kp，y的關系，得到因為特征多項式系數(shù)和L為實數(shù)，如果jy是（21）的一個根，所以這是一個復雜的結合。因此他充分考慮到y(tǒng)0,+ 。當y=0（x=0）時,(21)給出了Ki和Kd的線性關系。他給出了一個穩(wěn)定的界限。當y0,+ ，后面部分表示（27）決定了其他的邊界，然后穩(wěn)定性區(qū)域能被定義為在（Ki，Kd）平面使用命題3來展示例子。4 穩(wěn)定區(qū)域在這部分，一格為了確定PID控制器穩(wěn)定性參

12、數(shù)的算法被開發(fā)出來。下面與一個例子來展示設計過程和穩(wěn)定性區(qū)域的圖像。算法1：用來確定PID控制器的穩(wěn)定性參數(shù)。步驟1：對于一個已給出的二階系統(tǒng)（1），檢查約束條件（11）是否滿足。若滿足進行下一步，否則系統(tǒng)（1）不能被穩(wěn)定的控制。步驟2：根據(jù)定理1計算Kp的范圍.步驟3：根據(jù)（14）選擇范圍內(nèi)Kp的值，在（Ki，Kd）平面上畫出穩(wěn)定分界線，使用了線性關系（28）對于足夠小的>0。步驟4：對于步驟3中的相同的Kp和，畫出對于足夠大的y在y0,+ 由（27）給出的曲線，然后定義基于命題3的穩(wěn)定性區(qū)域。對于更多的細節(jié)，請看下面的例子。例1：考慮由（1）給出的二階系統(tǒng)，讓L=0.2，=0.5，n

13、=2，相當于一對穩(wěn)定的極點。設置這個系統(tǒng)的參數(shù)，通過參數(shù)約束（11）計算得因此，穩(wěn)定的PID控制器存在。給句定理1,使用（13）和（14），得到1=1.25，Kpu=5.73，取Kp=1.00，對于不同的>0，在圖3中畫出（Ki，Kd）平面上穩(wěn)定分界線。曲線的箭頭代表y增加的方向，根據(jù)（26）中的行列式J和命題3,穩(wěn)定性區(qū)域被定義在整個平面。很明顯，當減小，穩(wěn)定性區(qū)域增加，對于充分小的>0，=0.0001，穩(wěn)定區(qū)域恢復成圖3（c）中的三角區(qū)域。用這個方法，用網(wǎng)格化Kp的范圍-1<Kp<5.73,3D穩(wěn)定區(qū)域顯示在圖4中。接下來，讓L=0.2，=-0.1，n=2，相當于一

14、對不穩(wěn)定的極點，這種情況下，計算得，穩(wěn)定的PID控制器存在。3D穩(wěn)定區(qū)域顯示在圖5中,這種情況比=0.5的穩(wěn)定性區(qū)域小。5總結在這篇文章里，我們討論了有一對復雜極點的二階加延時系統(tǒng)的PID控制器穩(wěn)定性參數(shù)。推導出這種控制系統(tǒng)的參數(shù)約束，它保證了穩(wěn)定的PID控制器的存在。然后，PID控制器3個參數(shù)的穩(wěn)定性區(qū)域用Hermite-Biehler 定理和準多項式的圖像穩(wěn)定判據(jù)來確定。這篇文章的圖解法簡單而直接的描述了穩(wěn)定性區(qū)域，避免了對于穩(wěn)定分界線復雜的數(shù)學計算。參考文獻1 K. Astrom, and T. Hagglund, PID controllers: Theory, Design, and

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