全等三角形三種證明方法經(jīng)典例題

1、全等三角形經(jīng)典例題典型例題：知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形判定 1例1:如圖，在 AFD和 EBC中，點(diǎn)A, E, F, C在同一直線上，有下面四個(gè)論斷：(1) AD = CB; (2) AE = CF; (3) DF=BE; (4) AD / BC。請(qǐng)將其中三個(gè)論斷作為條件，余下 的一個(gè)作為結(jié)論，編一道證明題，并寫出證明過程。7思路分析:1)題意分析：本題一方面考查證明題的條件和結(jié)論的關(guān)系，另一方面考查全等三角形 判定1中的三邊對(duì)應(yīng)關(guān)系。2)解題思路：根據(jù)全等三角形判定1 :三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。首先確定命題的條件為三邊對(duì)應(yīng)相等， 而四個(gè)論斷中有且只有三個(gè)條件與邊有關(guān)，因此應(yīng)把論斷中的(1)(

2、2) (3)作為條件，來證明論斷(4)。在證明全等之前，要先證明三邊分別對(duì)應(yīng)相等。解答過程：已知：如圖，在 AFD和 EBC中，點(diǎn) A, E, F, C在同一直線上， AD=CB, AE =CF, DF=BE。求證:AD / BC。證明：.AE = CF.AE + EF=CF+EF . AF = CE在 AFD和 CEB中,AD CBAF CEDF BEAFDA EBC (SSS) ./ A = Z CAD / BC解題后的思考：在運(yùn)用全等三角形判定 1判斷三角形全等時(shí)，一定要找準(zhǔn)三邊的對(duì)應(yīng)關(guān) 系，然后給出證明。小結(jié)：本例題一方面考查了命題的書寫與證明，另一方面通過本題的嚴(yán)格證明鍛煉學(xué)生的邏輯

3、思維能力，進(jìn)一步規(guī)范了三角形全等證明題的書寫。知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形判定 2例2：已知：如圖， OP是 AOC和 BOD的平分線，OA OC, OB OD。求證：(1) OABOCD ; (2) AB CD。思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定 2:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 在證明三角形全等之前，要先證明兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等。解答過程：證明：（1） .OP是 AOC和 BOD的平分線， AOP = Z COP, / BOP=Z DOP AOP-Z BOP=Z COP/ DOPAOB = / COD在 OAB和OCD

4、中，OA OCAOB CODOB ODOABA OCD （SAS）（2）由（1）知 OABOCDAB =CD解題后的思考：在判斷三角形全等時(shí)，一定要根據(jù)全等三角形判定2,找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。例3:已知：如圖,AD = BCAB / CD, AB =CD,求證：AD / BC,思路分析:1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2的應(yīng)用。2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定 2:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 在證明三角形全等之前， 要先將用于證明三角形全等的條件準(zhǔn)備好。即如何由已知條件證明出兩邊和一角相等，以及如何用上AB / CD這個(gè)條件。解答過程：連接BD AB / CD1=/ 2在

5、4ADB和4CBD中，AB CDABD CDBBD DB*.ADBACBD （SAS） .AD = BC, Z ADB =Z CBD .AD / BC綜上：AD / BC, AD =BC解題后的思考：本題中證明三角形全等用到了公共邊，這是解決問題的關(guān)鍵所在； 在解決這類問題時(shí)要善于從題目中發(fā)現(xiàn)這些重要的隱含條件。例4: （1）在圖1中， ABC和 DEF滿足 AB = DE , AC = DF , Z A = Z D,這兩個(gè)三 角形全等嗎？ （ 2）在圖2中， ABC和 ABD滿足AB = AB , AC = AD , / B=/ B,這 兩個(gè)三角形全等嗎？思路分析：1）題意分析：本題主要考查

6、應(yīng)用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的問題。2）解題思路：在圖1中， ABC和4DEF滿足 AB = DE , AC = DF, /A = / D,即 兩個(gè)三角形滿足 SAS的條件，所以這兩個(gè)三角形全等。（2）在圖2中，4ABC和 ABD滿足AB=AB, AC=AD, /B = /B,這兩個(gè)三角形雖然也有兩邊和一角相等，但兩個(gè)三角 形的形狀、大小完全不相同，所以這兩個(gè)三角形不全等。解答過程：（1）全等；（2）不全等。解題后的思考：有兩邊和一角相等的兩個(gè)三角形不一定全等，要根據(jù)所給的邊與角的位置進(jìn)行判斷：（1）當(dāng)兩個(gè)三角形滿足兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等即“SAS”時(shí)，這兩個(gè)三角形全等；（2）

7、當(dāng)兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即“SSA”時(shí)，這兩個(gè)三角形不一定全等。在證明題中尤其要注意這一點(diǎn)。小結(jié)：本題組主要考查了對(duì)全等三角形判定2的掌握情況，即兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。另一方面，也提醒我們要注意兩邊和一角相等的另外一種情形，即“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定不全等?！绷硗?，在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意挖掘題目中的隱含條件如公共邊或公共角等。知識(shí)點(diǎn)三：全等三角形判定 3例 5:如圖，BEXAE, CFXAE,ME = MF。求證：AM是4ABC的中線。思路分析：1）題意分析：要證明AM是4ABC的中線，就要證明BM=CM,要證明線段相等，就

8、要證明與BM、CM有關(guān)的三角形全等，即4 BEMCFM ,然后從已知條件中找出能夠判斷這兩個(gè)三角形全等的條件。2）解題思路：結(jié)合已知條件和對(duì)頂角相等可由ASA來判定 BEMA CFM,從而得出 BM =CM ,進(jìn)而彳#到AM是4ABC的中線。解答過程： BEXAE , CF± AE ./ BEM =/ CFM = 90°在 BME和4CMF中，BME CMF ME MFBEM=CFM . BMEA CMF （ASA ） BM = CMAM 是ABC的中線。解題后的思考：要證明AM是4ABC的中線，需要證明 M是BC的中點(diǎn)，因此，轉(zhuǎn)化 為證明BM=CM,結(jié)合已知條件，應(yīng)考慮證

9、明與這兩條相等線段有關(guān)的可能全等的兩個(gè)三 角形，結(jié)合題目中已有的條件和能夠求出的相等關(guān)系，選擇正確的判定方法來解決相關(guān)問題。知識(shí)點(diǎn)四：全等三角形判定 4例6:已知:BC = EF,BC / DEC 。求證:AF = DC。思路分析:1）題意分析：要證明 AF=DC,就要先證明 ABFA DEC,而已知中證明這兩個(gè)三 角形全等的條件是/ A = Z D, / ABF = / DEC，但還缺少一組邊，如何找到這組邊呢？根 據(jù)BC=EF, BC/EF,想到連接 BE,從而證明 BFEA ECB,進(jìn)一步得到 BF=EC,再利用AAS來判定兩個(gè)三角形全等。2）解題思路：要證明線段相等，我們可以考慮先證明

10、三角形全等， ABF和4DEC中 有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，要使它們?nèi)?，只要證得BF = EC即可。于是連接BE證 BFEA ECB , 即可證得BF = EC。解答過程：連接BE BC / EF ./ FEB = Z CBE在 BFE和 ECB中,EF BCFEB CBEBE=EBBFEA ECB (SAS)BF=CE在 ABF和 DEC中，A DABF DECBF=ECABFA DEC (AAS) . AF = DC解題后的思考：證明三角形全等是證明線段相等的一種重要方法，解答時(shí)要結(jié)合圖形, 分析已知條件與求證的結(jié)論，尋找溝通二者的橋梁。例 7：在4ABC 中，ZACB = 90°,

11、AC BC，直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C ,且 AD MN 于 D , BE MN 于 E。(1)當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖 a的位置時(shí)，求證： ADC色 CEB ; DE AD BE ;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖b的位置時(shí)，求證： DE AD BE;(3)當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時(shí)，試問 DE、AD、BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。思路分析:1)題意分析：要證明一條線段等于兩條線段之和，或證明一條線段等于兩條線段之差，就要想這條線段與兩條線段之間有何關(guān)系，以及兩條線段AD、BE與CE、DC之間有何關(guān)系。這就需要我們用三角形全等來證明線段相等，從而實(shí)現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)

12、化。2)解題思路：(1) AD MN 于 D,BE MN 于 E ,又 ACB 90 ,在 Rt ADC 與Rt CEB中，直角對(duì)應(yīng)相等，斜邊對(duì)應(yīng)相等。又 DAC與 BCE同為 ACD的余角， 自然也是相等的，所以可得到ADCCEB。進(jìn)一步可推出 DE AD BE。(2)第(3)問中，與(1)的證明思路類似， 先證明 ADC CEB,再來證明DE、AD、BE 三條線段間的數(shù)量關(guān)系。解答過程：(1)ADC ACB 90 ,CADACD 90。BCEACD 90。CAD BCE。AC BC , ADC CEB。圖a ADC 省 CEB , CE AD,CD BE。 DE CE CD AD BE。(

13、2)ADC CEB ACB 90 ,ACD CBE。又 AC BC, ACD CBEo CE AD,CD BE。 DE CE CD AD BE 。圖b(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是 DE BE-AD (或 AD = BE DE, BE AD DE 等)。ADC CEB ACB 90 ,ACD CBE°又 AC BC, ACD CBEoAD CE, CD BE。DE CD CE BE AD。圖c解題后的思考：在運(yùn)動(dòng)變換問題中，不管運(yùn)動(dòng)變換前后的圖形、結(jié)論是否發(fā)生變化，解題的基本思路不 變，一般情況下，運(yùn)動(dòng)前的解題思路及方法是為解答運(yùn)動(dòng)后的相關(guān)問題作鋪

14、墊。小結(jié)： 本題組主要考查如何運(yùn)用全等三角形判定4:兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。以及在運(yùn)動(dòng)變換問題中如何準(zhǔn)確地運(yùn)用三角形全等實(shí)現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)換。知識(shí)點(diǎn)五：全等三角形判定 5例8：已知：如圖AD為 ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F,且有BF AC,FD CD。求證：BE AC。思路分析：1）題意分析：要證BE垂直于 AC,需證 BEC 90 ,由題意可知 12 90 ,若能證明1 C 90 ,就可得BE垂直于 AC ,這就要證 C 2。這可由已知條件證明 ACD BFD ,便可知 C 2。再由/ 1 + /2=90°和/ 1 + /2+/BEC = 180°, 得到/ BEC =90。從而得到 BE AC。2）解題思路：運(yùn)用直角三角形全等的判定方法：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，證明ACD色 BFD ,進(jìn)一步得到 C 2。解答過程：ADC 90。AC BF, CD FD,證明： AD BC , BDA在 Rt ACD 和 Rt BFD 中，Rt AC