高中全程復(fù)習(xí)方略配套：77空間直角坐標(biāo)系向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理ppt課件

1、第七節(jié) 空間直角坐標(biāo)系、向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理三年三年4 4考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位置，了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式. .2.2.了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示及其坐標(biāo)表示. .3.3.掌握空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示掌握空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示. .4.4.掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示. .1.1.空間直角坐標(biāo)系是用向量法解決立體幾何問

2、題的基礎(chǔ)空間直角坐標(biāo)系是用向量法解決立體幾何問題的基礎(chǔ), ,屬了解屬了解內(nèi)容內(nèi)容, ,一般不單獨(dú)命題一般不單獨(dú)命題. .2.2.空間向量的坐標(biāo)表示是用空間向量解決空間平行、垂直、夾空間向量的坐標(biāo)表示是用空間向量解決空間平行、垂直、夾角、距離問題的基礎(chǔ)角、距離問題的基礎(chǔ). .3.3.通過(guò)求空間點(diǎn)的坐標(biāo)考查空間想象能力通過(guò)求空間點(diǎn)的坐標(biāo)考查空間想象能力, ,通過(guò)求兩點(diǎn)間距離考通過(guò)求兩點(diǎn)間距離考查計(jì)算能力查計(jì)算能力. .4.4.空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算，是高考考查的重點(diǎn)，多以空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算，是高考考查的重點(diǎn)，多以選擇題或填空題為主選擇題或填空題為主. .1.1.空間直角坐標(biāo)系空間直

3、角坐標(biāo)系(1)(1)空間直角坐標(biāo)系的建立空間直角坐標(biāo)系的建立( (如圖如圖) )()()坐標(biāo)系為坐標(biāo)系為_系系; ;右手右手()()指指_,_,記為記為_;_;()()指指_軸軸, ,指指_軸軸, ,指指_軸軸; ;()()和和, ,和和, ,和和確定的平面分別指確定的平面分別指_平面平面, _, _平面平面, _, _平面平面. .(2)(2)空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)表示類似于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)表示類似于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)表示, ,在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中, ,用一個(gè)三元有序數(shù)組來(lái)刻畫空間點(diǎn)的位置用一個(gè)三元有序數(shù)組來(lái)刻畫空間點(diǎn)的位置

4、, ,任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)P P的坐標(biāo)記的坐標(biāo)記為為_._.原點(diǎn)原點(diǎn)O Ox xy yz zxOyxOyyOzyOzxOzxOz(x,y,z)(x,y,z)【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)考慮考慮: :空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面把空間分成幾部分？空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面把空間分成幾部分？提示：三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分為八部分提示：三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分為八部分. .(2)xOz(2)xOz平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是_._.【解析】點(diǎn)在【解析】點(diǎn)在xOzxOz平面內(nèi)平面內(nèi), ,故點(diǎn)在故點(diǎn)在y y軸上的射影一定是坐標(biāo)原點(diǎn)軸上的射影一定是坐標(biāo)原點(diǎn), ,其縱坐標(biāo)為其縱坐標(biāo)為0,0,橫坐標(biāo)

5、、豎不確定橫坐標(biāo)、豎不確定. .答案：縱坐標(biāo)為答案：縱坐標(biāo)為0 0(3)(3)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(-5,3,1)M(-5,3,1)關(guān)于關(guān)于x x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為_._.【解析】關(guān)于【解析】關(guān)于x x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)不變，其余坐標(biāo)變?yōu)橄噍S的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)不變，其余坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)反數(shù). .答案：答案：(-5,-3,-1)(-5,-3,-1)2.2.空間兩點(diǎn)間的距離公式空間兩點(diǎn)間的距離公式(1)(1)如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a a、b b、c c，那么對(duì)角線長(zhǎng)，那么對(duì)角線長(zhǎng)d=_.d=_.(2)(2)空間兩點(diǎn)空間兩

6、點(diǎn)A(x1,y1,z1)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)B(x2,y2,z2)間的距離間的距離|AB|=_.|AB|=_.222abc222212121xxyyzz【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)考慮考慮: :在平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，在平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，那么在空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么呢那么在空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么呢? ?提示：是以定點(diǎn)為球心，以定長(zhǎng)為半徑的球面提示：是以定點(diǎn)為球心，以定長(zhǎng)為半徑的球面. .(2)(2)已知空間兩點(diǎn)已知空間兩點(diǎn)A(2,0,4),B(-6,2,-2)A(2

7、,0,4),B(-6,2,-2)，則線段，則線段ABAB的中點(diǎn)到原的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為_._.【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段ABAB的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為(-2,1,1),(-2,1,1),故到原故到原點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為 答案：答案： 2222116.6(3)(3)已知點(diǎn)已知點(diǎn)P(1,1,1),P(1,1,1),其關(guān)于其關(guān)于xOzxOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為平面的對(duì)稱點(diǎn)為PP，那么，那么 =_.=_.【解析】由題意得【解析】由題意得P(1P(1，-1-1，1),1),答案：答案：2 2222PP1 11 11 12. PP 3.3.空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解、坐標(biāo)表示及

8、空間向量基本定理空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解、坐標(biāo)表示及空間向量基本定理(1)(1)在給定的空間直角坐標(biāo)系中，在給定的空間直角坐標(biāo)系中，i,j,ki,j,k分別為分別為x x軸軸,y,y軸軸,z,z軸正方軸正方向上的單位向量向上的單位向量, ,對(duì)于空間任意向量對(duì)于空間任意向量a,a,存在唯一一組三元有序?qū)嵈嬖谖ㄒ灰唤M三元有序?qū)崝?shù)數(shù)(x,y,z)(x,y,z)，使得，使得a=_.a=_.把把_叫作叫作a a的標(biāo)準(zhǔn)正交的標(biāo)準(zhǔn)正交分解，把分解，把_叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基. _. _叫作空間向量叫作空間向量a a的坐的坐標(biāo)，記作標(biāo)，記作a=(x,y,z). _a=(x,y,z). _叫作向量叫作向量a

9、 a的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示. . xi+yj+zkxi+yj+zka=xi+yj+zki,j,k(x,y,z)(x,y,z)a=(x,y,z)(2)(2)若若b0b0為為b b的單位向量，稱的單位向量，稱_為向量為向量a a在向量在向量b b上的投影上的投影. .向量的坐標(biāo)等于它在向量的坐標(biāo)等于它在_上的投影上的投影. .(3)(3)空間向量基本定理空間向量基本定理如果向量如果向量e1,e2,e3e1,e2,e3是空間三個(gè)是空間三個(gè)_的向量，的向量，a a是空間任一向是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)1,2,31,2,3，使得，使得a=1e1+2e2+3e3.a=1e1

10、+2e2+3e3.空間中不共面的三個(gè)向量空間中不共面的三個(gè)向量e1,e2,e3e1,e2,e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)叫作這個(gè)空間的一個(gè)_. _. ab0=|a|cosa,b坐標(biāo)軸正方向坐標(biāo)軸正方向不共面不共面基底基底【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)考慮考慮: :空間中的任意三個(gè)向量都可以作為空間向量的一個(gè)基空間中的任意三個(gè)向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底嗎？底嗎？提示：不可以提示：不可以. .只有當(dāng)三個(gè)向量不共面時(shí)才可以只有當(dāng)三個(gè)向量不共面時(shí)才可以. .(2)(2)已知已知a=(2a=(2，-1,3)-1,3)，b b(-1,4(-1,4，-2)-2)，c c(7,5(7,5，)，假設(shè)，假設(shè)a

11、,b,ca,b,c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)=_=_【解析】由于【解析】由于a,b,ca,b,c三向量共面，所以存在實(shí)數(shù)三向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m,nm,n使得使得c=ma+nbc=ma+nb，即，即解得解得答案：答案： 72mn5m4n3m2n ，331765m,n,.777657(3)(3)已知向量已知向量a,b,ca,b,c是空間的一個(gè)單位正交基底，向量是空間的一個(gè)單位正交基底，向量a+b,a+b,a-b,ca-b,c是空間的另一組基底，若向量是空間的另一組基底，若向量p p在基向量在基向量a+b,a-b,ca+b,a-b,c下的下的坐標(biāo)為坐標(biāo)為 則向量則向量p p在基底在

12、基底a,b,ca,b,c下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為_【解析】由條件得【解析】由條件得p= (a+b)- (a-b)+3c=a+2b+3cp= (a+b)- (a-b)+3c=a+2b+3c，故向量，故向量p p在在基底基底a,b,ca,b,c下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為(1,2,3)(1,2,3)答案：答案：(1,2,3)(1,2,3)31,3)22(，32124.4.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).(1)a+b=_;(1)a+b=_;(2)a-b=_;(2)a-b=_;(3) a= _(

13、R);(3) a= _(R);(4)ab=_;(4)ab=_;(5)|a|=_=_;(5)|a|=_=_;(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(x1,y1,z1)(x1,y1,z1)x1x2+y1y2+z1z2x1x2+y1y2+z1z2222111xyza a(6)cos(6)cosa,ba,b=_;=_;(7)ab(b0)(7)ab(b0)_ _; _;(8)ab(8)ab_._.121212222222111222x xy yz z(,)xyzxyza0 b0a=b1212

14、12xxyy ,zzRab=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)已知空間三點(diǎn)已知空間三點(diǎn)A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，那么，那么 的夾角的夾角的大小是的大小是_(2)(2)已知已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，那么，那么b-ab-a的最小值為的最小值為_._.(3)(3)已知已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2)a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2)，若，若aba

15、b，那么，那么=_=_(4)(4)已知向量已知向量a=(1,1,0)a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)b=(-1,0,2)且且ka+bka+b與與2a-b2a-b互相垂直，互相垂直，則則k=_. k=_. ABCA 與【解析】【解析】(1)(1)由題意知由題意知 =(-2,-1,3)=(-2,-1,3)， =(-1,3,-2)=(-1,3,-2)，故，故所以所以= = (2)(2)由題意得：由題意得：b-a=(1+t,2t-1,0)b-a=(1+t,2t-1,0)，b-ab-a= =當(dāng)當(dāng)t= t= 時(shí)，時(shí)，b-ab-a取得最小值為取得最小值為 . .AB CA AB CA71cos,14

16、2ABCA 23221t2t102195(t)55 ，153 55(3)(3)由由abab得得a=kba=kb，從而得，從而得 解得解得=k= ,= ,=k= ,= ,故故= = (4)(4)由題意得，由題意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2，-2)-2)所以所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-2(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=02=5k-7=0，解得，解得k= k= 答案：答案：16k0k 21 ,22k 151211075 23 517123435105 求空間相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)求空間相

17、關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】 1.1.建立恰當(dāng)坐標(biāo)系的原則建立恰當(dāng)坐標(biāo)系的原則(1)(1)合理利用幾何體中的垂直關(guān)系，特別是面面垂直；合理利用幾何體中的垂直關(guān)系，特別是面面垂直；(2)(2)盡可能地讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上盡可能地讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上. .2.2.求空間中點(diǎn)求空間中點(diǎn)P P的坐標(biāo)的方法的坐標(biāo)的方法(1)(1)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作與作與x x軸垂直的平面，垂足在軸垂直的平面，垂足在x x軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)即為點(diǎn)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)即為點(diǎn)P P的的橫坐標(biāo)；同理可求縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)橫坐標(biāo)；同理可求縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo). . (2)(2)從點(diǎn)從點(diǎn)P P向三個(gè)坐標(biāo)平面作垂線，所得點(diǎn)向三個(gè)坐標(biāo)平面作垂

18、線，所得點(diǎn)P P到三個(gè)平面的距離等到三個(gè)平面的距離等于點(diǎn)于點(diǎn)P P的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值，再判斷出對(duì)應(yīng)數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)而可的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值，再判斷出對(duì)應(yīng)數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)而可求得點(diǎn)求得點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo). .3.3.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律已知點(diǎn)已知點(diǎn)P(x,y,z)P(x,y,z)，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P關(guān)于點(diǎn)、線、面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為：關(guān)于點(diǎn)、線、面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為：點(diǎn)線面點(diǎn)線面對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)(-x,-y,-z)(-x,-y,-z)x x軸軸(x,-y,-z)(x,-y,-z)y y軸軸(-x,y,-z)(-x,y,-z)z z軸軸(-x,-y,z)(-x,-y

19、,z)xOyxOy平面平面(x,y,-z)(x,y,-z)yOzyOz平面平面(-x,y,z)(-x,y,z)xOzxOz平面平面(x,-y,z)(x,-y,z)【例【例1 1】(1)(1)空間直角坐標(biāo)系中空間直角坐標(biāo)系中, ,點(diǎn)點(diǎn)P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x軸上的射影的坐軸上的射影的坐標(biāo)為標(biāo)為_._.(2)(2)已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為的各棱長(zhǎng)均為2 2，以，以A A為坐標(biāo)原點(diǎn)建為坐標(biāo)原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求其各頂點(diǎn)的坐標(biāo)立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求其各頂點(diǎn)的坐標(biāo). .(3)(3)如圖如圖, ,已知長(zhǎng)方體已知長(zhǎng)方體ABC

20、D-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，交的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)平面，頂點(diǎn)于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)平面，頂點(diǎn)A(-2,-3,A(-2,-3,-1)-1)，求其他七個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求其他七個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo). .【解題指南】【解題指南】(1)(1)空間直角坐標(biāo)系中空間直角坐標(biāo)系中, ,點(diǎn)在點(diǎn)在x x軸的射影的坐標(biāo)滿足軸的射影的坐標(biāo)滿足橫坐標(biāo)相同橫坐標(biāo)相同, ,縱、豎坐標(biāo)均為零縱、豎坐標(biāo)均為零.(2).(2)注意空間直角坐標(biāo)系的建立注意空間直角坐標(biāo)系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小以及三棱柱底面三角形角的大小.(3).(3)由

21、題意知，長(zhǎng)方體的各頂由題意知，長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O O和三個(gè)坐標(biāo)平面及三條坐標(biāo)軸具有對(duì)稱性，據(jù)此可和三個(gè)坐標(biāo)平面及三條坐標(biāo)軸具有對(duì)稱性，據(jù)此可寫出其他七個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)寫出其他七個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo). .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)點(diǎn)點(diǎn)P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x軸上的射影的橫坐標(biāo)與點(diǎn)軸上的射影的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P P相同相同, ,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均為縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均為0.0.故射影坐標(biāo)為故射影坐標(biāo)為(2,0,0).(2,0,0).答案：答案：(2,0,0)(2,0,0)(2)(2)以以A A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ACAC、AA1AA1所在所在直線分別為直線分別為y y軸

22、、軸、z z軸建立空間直角軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖坐標(biāo)系，如下圖. .設(shè)設(shè)ACAC的中點(diǎn)是的中點(diǎn)是D D，連接，連接BDBD，則，則BDyBDy軸，軸，且且BD= BD= ，3A(0,0,0),B( ,1,0),C(0,2,0)A(0,0,0),B( ,1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1( ,1,2),C1(0,2,2).A1(0,0,2),B1( ,1,2),C1(0,2,2).(3)(3)由題意得，點(diǎn)由題意得，點(diǎn)B B與點(diǎn)與點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于xOzxOz面對(duì)稱，故點(diǎn)面對(duì)稱，故點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-2,3,-1)(-2,3,-1)；點(diǎn)；點(diǎn)D D與點(diǎn)與點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于

23、yOzyOz面對(duì)稱，故點(diǎn)面對(duì)稱，故點(diǎn)D D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,-3,(2,-3,-1);-1);點(diǎn)點(diǎn)C C與點(diǎn)與點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于z z軸對(duì)稱，故點(diǎn)軸對(duì)稱，故點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,3,-1)(2,3,-1)；由于點(diǎn)；由于點(diǎn)A1,B1,C1,D1A1,B1,C1,D1分別與點(diǎn)分別與點(diǎn)A,B,C,DA,B,C,D關(guān)于關(guān)于xOyxOy面對(duì)稱，故點(diǎn)面對(duì)稱，故點(diǎn)A1,B1,C1,D1A1,B1,C1,D1的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,

24、1).33【互動(dòng)探究】本例【互動(dòng)探究】本例(2)(2)中若以中若以ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)D D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DCDB,DC所所在直線分別為在直線分別為x x軸、軸、y y軸建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，試寫出各軸建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，試寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)頂點(diǎn)的坐標(biāo). .【解析】建立空間直角坐標(biāo)系【解析】建立空間直角坐標(biāo)系, ,如下圖，那么如下圖，那么A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0)A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0)，A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2).A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2)

25、.33【反思【反思感悟】感悟】1.1.建立坐標(biāo)系時(shí)，常常利用或構(gòu)造兩兩垂直的三條直線來(lái)解題，建立坐標(biāo)系時(shí)，常常利用或構(gòu)造兩兩垂直的三條直線來(lái)解題，特別是所給圖形中的垂直關(guān)系，更要合理利用特別是所給圖形中的垂直關(guān)系，更要合理利用. .2.2.對(duì)同一幾何體，建立的坐標(biāo)系不同，所得點(diǎn)的坐標(biāo)也不對(duì)同一幾何體，建立的坐標(biāo)系不同，所得點(diǎn)的坐標(biāo)也不同為方便起見常將盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上同為方便起見常將盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上. .3.3.求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)要看點(diǎn)是關(guān)于軸對(duì)稱還是關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)要看點(diǎn)是關(guān)于軸對(duì)稱還是關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，明確哪些坐標(biāo)發(fā)生了變化，哪些沒變，一定要記清變化的規(guī)明確哪些坐標(biāo)發(fā)生了

26、變化，哪些沒變，一定要記清變化的規(guī)律律4.4.記清各類對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)間的特征關(guān)系是正確解題的關(guān)鍵記清各類對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)間的特征關(guān)系是正確解題的關(guān)鍵. .【變式備選】已知正四棱錐【變式備選】已知正四棱錐V-ABCDV-ABCD，O O為底面中心，若為底面中心，若AB=2,VO=3.AB=2,VO=3.試建立空間直角坐標(biāo)系，并確定各頂點(diǎn)的坐標(biāo)試建立空間直角坐標(biāo)系，并確定各頂點(diǎn)的坐標(biāo). .【解析】方法一：【解析】方法一：正四棱錐正四棱錐V-ABCDV-ABCD，O O為底面中心，為底面中心，四邊形四邊形ABCDABCD為正方形，為正方形，ACBD,ACBD,且且VOVO底面底面ABCD,ABCD,以射線以射

27、線CACA為為x x軸的正方向，射線軸的正方向，射線DBDB為為y y軸的正方向，軸的正方向，O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系，射線射線OVOV即為即為z z軸的正方向軸的正方向AB=2,VO=3,AC=BD=2 ,AB=2,VO=3,AC=BD=2 ,于是于是A( ,0,0),B(0, ,0),C(- ,0,0),D(0,- ,0),V(0,0,3).A( ,0,0),B(0, ,0),C(- ,0,0),D(0,- ,0),V(0,0,3).22222方法二：分別以射線方法二：分別以射線DA,DCDA,DC為為x x軸和軸和y y軸的正方向，軸的正方向，

28、D D為原點(diǎn)建立為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，空間直角坐標(biāo)系，射線射線OVOV的方向即為的方向即為z z軸的軸的正方向正方向, ,ABAB2 2，VOVO3,3,AD=CD=2,AC=BD=2 ,AD=CD=2,AC=BD=2 ,于是于是A(2,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),O(1,1,0),C(0,2,0),O(1,1,0),D(0,0,0),V(1,1,3).D(0,0,0),V(1,1,3).2 空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.求空間兩點(diǎn)間距離的步驟求空間兩點(diǎn)間距離的步驟(1)(1)建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐

29、標(biāo)；建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)(2)利用公式求出兩點(diǎn)間的距離利用公式求出兩點(diǎn)間的距離. .2.2.兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用(1)(1)求兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度；求兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度；(2)(2)已知兩點(diǎn)間距離，確定坐標(biāo)中參數(shù)的值；已知兩點(diǎn)間距離，確定坐標(biāo)中參數(shù)的值；(3)(3)根據(jù)已知條件探求滿足條件的點(diǎn)的存在性根據(jù)已知條件探求滿足條件的點(diǎn)的存在性. . 【例【例2 2】(1)(1)已知點(diǎn)已知點(diǎn)B B是點(diǎn)是點(diǎn)A(3,7,-4)A(3,7,-4)在在xOzxOz平面上的射影，那么平面上的射影，那么|OB|OB|等于等于( )( )(A)(9,0,16) (B)2

30、5 (C)5 (D)13(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13(2)(2)如下圖，以棱長(zhǎng)為如下圖，以棱長(zhǎng)為a a的正方體的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸的正方體的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P P在正方體的體對(duì)角線在正方體的體對(duì)角線ABAB上，點(diǎn)上，點(diǎn)Q Q在棱在棱CDCD上當(dāng)點(diǎn)上當(dāng)點(diǎn)P P為對(duì)角線為對(duì)角線ABAB的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)Q Q在棱在棱CDCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|PQ|PQ|的最小值的最小值. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)根據(jù)空間點(diǎn)在根據(jù)空間點(diǎn)在xOzxOz平面上的射影的特點(diǎn)及距離平面上的射影的特點(diǎn)及距離公式求

31、解公式求解.(2).(2)確定點(diǎn)確定點(diǎn)P P、Q Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到|PQ|PQ|，然后利用函數(shù)知識(shí)解決，然后利用函數(shù)知識(shí)解決. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.由題意得點(diǎn)由題意得點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,0,-4),(3,0,-4),故故(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)锽(0,0,a),A(a,a,0)B(0,0,a),A(a,a,0)，P P為為ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,所以所以P( ).P( ).又點(diǎn)又點(diǎn)Q Q在棱在棱CDCD上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)Q(0,a,z0)Q(0,a,z0)，其中其中z0z00,a0,a，故故因

32、此當(dāng)因此當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|PQ|PQ|的最小值為的最小值為 a.a.222OB3045. a a a,2 2 22222200aaaaaPQ(0)(a)(z )(z)222220az222【互動(dòng)探究】本例【互動(dòng)探究】本例(2)(2)中中, ,若將若將“點(diǎn)點(diǎn)P P為對(duì)角線為對(duì)角線ABAB的中點(diǎn)改為的中點(diǎn)改為“當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在對(duì)角線在對(duì)角線ABAB上運(yùn)動(dòng)時(shí)上運(yùn)動(dòng)時(shí)”, ,其余條件不變其余條件不變, ,則結(jié)果如何則結(jié)果如何? ?【解析】顯然，當(dāng)點(diǎn)【解析】顯然，當(dāng)點(diǎn)P P在在ABAB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P P到坐標(biāo)平面到坐標(biāo)平面xOzxOz、yOzyOz的距離相等，且的距離相等，且P P在第一象限，所

33、以可設(shè)在第一象限，所以可設(shè)P(t,t,a-t),tP(t,t,a-t),t0,a0,a，又又Q Q在在CDCD上運(yùn)動(dòng)，上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)所以可設(shè)Q(0,a,z0)Q(0,a,z0)，z0z00,a0,a. .所以所以|PQ|=|PQ|=故當(dāng)故當(dāng)z0=t= z0=t= 時(shí)，時(shí)，|PQ|PQ|有最小值為有最小值為 a.a.2220t0taatz 222022202t2ataatzaazta2(t),22 a222【反思【反思感悟】感悟】1.1.解此類問題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的坐標(biāo)，常出現(xiàn)解此類問題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的坐標(biāo)，常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將坐標(biāo)求錯(cuò)的錯(cuò)誤是將坐標(biāo)求錯(cuò). .2.2.利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以求

34、兩點(diǎn)間的距離或某線段利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以求兩點(diǎn)間的距離或某線段的長(zhǎng)度，只要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算即可解的長(zhǎng)度，只要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算即可解決決. .【變式備選】【變式備選】1.1.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(1A(1，a a，-5)-5)、B(2aB(2a，7 7，2)2)(aR)(aR)，則，則ABAB的最小值是的最小值是( )( )(A)3 (B)3 (C)2 (D)2 (A)3 (B)3 (C)2 (D)2 【解析】選【解析】選B.B.|AB|AB|當(dāng)當(dāng)a=-1a=-1時(shí)時(shí),|AB|,|AB|取最小值取最小值3 .3 .36362221 2aa752 25

35、a 1543 6.62.2.在在xOyxOy平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線x+y=1x+y=1上確定一點(diǎn)上確定一點(diǎn)M M，使，使M M到點(diǎn)到點(diǎn)N(6,5,1)N(6,5,1)的的距離最小，則此最小距離為距離最小，則此最小距離為_._.【解析】由已知，可設(shè)【解析】由已知，可設(shè)M(x,1-x,0),M(x,1-x,0),那么那么|MN|=|MN|=|MN|min= .|MN|min= .答案：答案： 222x61x50 122 x151.5151 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.求空間向量數(shù)量積的方法求空間向量數(shù)量積的方法(1)(1)定義法：設(shè)向量定義法：設(shè)向量a,b

36、a,b的夾角為的夾角為，則，則ab=ab=a ab bcoscos；(2)(2)坐標(biāo)法：設(shè)坐標(biāo)法：設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，那么，那么a b =x1x2+y1y2+z1z2a b =x1x2+y1y2+z1z2解題時(shí)可根據(jù)條件靈活選擇方法解題時(shí)可根據(jù)條件靈活選擇方法2.2.求向量模的方法求向量模的方法(1)|a|= ;(1)|a|= ;(2)(2)若若a=(x,y,z),a=(x,y,z),那么那么|a|=|a|=2 a222xyz .【例【例3 3】已知向量】已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),a=

37、(1,-3,2),b=(-2,1,1),點(diǎn)點(diǎn)A(-3A(-3，-1-1，4)4)，B(-2B(-2，-2-2，2).2).(1)(1)求求|2a+b|.|2a+b|.(2)(2)在直線在直線ABAB上，是否存在一點(diǎn)上，是否存在一點(diǎn)E E，使得，使得 (O(O為原點(diǎn)為原點(diǎn)).).【解題指南】【解題指南】(1)(1)若若m=(x,y,z),m=(x,y,z),那么那么|m|=|m|=(2)(2)假設(shè)存在點(diǎn)假設(shè)存在點(diǎn)E E在直線在直線ABAB上，可由上，可由 設(shè)出點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)E E的坐標(biāo)，由的坐標(biāo)，由 列方程求解列方程求解. .OE b222xyz ;AEAB OE0 b【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)a

38、=(1,-3,2),b=(-2,1,1)(1)a=(1,-3,2),b=(-2,1,1)，2a+b=(0,-5,5)2a+b=(0,-5,5)，|2a+b|= |2a+b|= (2)(2)假設(shè)存在點(diǎn)假設(shè)存在點(diǎn)E E，其坐標(biāo)為，其坐標(biāo)為E(x,y,z),E(x,y,z),則存在實(shí)數(shù)則存在實(shí)數(shù)，使得，使得即即(x+3,y+1,z-4)=(1,-1,-2)(x+3,y+1,z-4)=(1,-1,-2) E(-3,-1,-2+4) E(-3,-1,-2+4)，2220555 2. AEAB ，x3y1z24 ， =(-3,-1,-2+4) =(-3,-1,-2+4)，又又b=(-2,1,1), bb=

39、(-2,1,1), b， b=-2(-3)+(-1)+(-2+4) b=-2(-3)+(-1)+(-2+4)=-5+9=0=-5+9=0，= = ，E E ，在直線在直線ABAB上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)E E ，使，使 b.b.OE OE OE 95614 2(, )55 5614 2(, )55 5OE 【反思【反思感悟】感悟】1.1.類比平面直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系類比平面直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系從二維平面到三維空間，相應(yīng)的結(jié)論也會(huì)發(fā)生變化，如平面直從二維平面到三維空間，相應(yīng)的結(jié)論也會(huì)發(fā)生變化，如平面直角坐標(biāo)系中角坐標(biāo)系中A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2

40、),線段線段ABAB中點(diǎn)的坐標(biāo)為中點(diǎn)的坐標(biāo)為 其兩點(diǎn)間的距離公式為其兩點(diǎn)間的距離公式為 而在而在空間直角坐標(biāo)系中空間直角坐標(biāo)系中A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),線段線段ABAB中點(diǎn)的坐中點(diǎn)的坐標(biāo)為標(biāo)為 其兩點(diǎn)間的距離公式為其兩點(diǎn)間的距離公式為12xx(,212yy)2，222121ABxxyy,121212xxyyzz(,).222 在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，方程方程x2+y2=1x2+y2=1表示以原點(diǎn)為圓心表示以原點(diǎn)為圓心,1,1為半徑的圓，而在空間直角坐為半徑的圓，而在空間直角坐標(biāo)系中，方程標(biāo)系中，方程x2+y

41、2+z2=1x2+y2+z2=1表示以原點(diǎn)為球心，表示以原點(diǎn)為球心，1 1為半徑的球面等為半徑的球面等. .2.2.類比平面向量及其運(yùn)算性質(zhì)學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算性質(zhì)類比平面向量及其運(yùn)算性質(zhì)學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算性質(zhì)空間向量基本定理，向量的加、減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，兩向量的空間向量基本定理，向量的加、減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，兩向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，都和平面向量中數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，都和平面向量中的相關(guān)內(nèi)容完全一致的相關(guān)內(nèi)容完全一致. .有區(qū)別的是兩個(gè)基本定理中構(gòu)成基底的向有區(qū)別的是兩個(gè)基本定理中構(gòu)成基底的向量及向量的坐標(biāo)由二維擴(kuò)展到三維量及向量的坐標(biāo)由二維擴(kuò)展到三

42、維. .222212121ABxxyyzz;【變式訓(xùn)練】已知空間三點(diǎn)【變式訓(xùn)練】已知空間三點(diǎn)A(0A(0，2 2，3)3)，B(-2B(-2，1 1，6)6)，C(1C(1，-1-1，5).5).(1)(1)求以求以 為邊的平行四邊形的面積；為邊的平行四邊形的面積；(2)(2)假設(shè)假設(shè)|a|= |a|= ，且，且a a分別與分別與 垂直，求向量垂直，求向量a a的坐標(biāo)的坐標(biāo). .【解析】【解析】(1)(1)由題意可得：由題意可得： =(-2=(-2，-1-1，3)3)， =(1=(1，-3-3，2)2)，ABAC ，3ABAC ，AB AC AB AC23671cosABAC1421414AB

43、 AC ， ，3sinABAC2 ， ，以以 為邊的平行四邊形的面積為邊的平行四邊形的面積(2)(2)設(shè)設(shè)a=(xa=(x，y y，z)z)，由題意得由題意得 解得解得 或或向量向量a a的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,1,1)(1,1,1)或或(-1,-1,-1). (-1,-1,-1). ABAC ，13S2|AB| |AC| sinABAC147 3.22 ， 222xyz32xy3z0 x3y2z0，x1y1z1x1y1,z1 【易錯(cuò)誤區(qū)】求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)忽略解的討論而致誤【易錯(cuò)誤區(qū)】求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)忽略解的討論而致誤【典例】【典例】(2019(2019臨沂模擬臨沂模擬) )已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P在在z z

44、軸上，且滿足軸上，且滿足|OP|=1(O|OP|=1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)) )，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)A(1,1,1)A(1,1,1)的距離為的距離為_._.【解題指南】先確定點(diǎn)【解題指南】先確定點(diǎn)P P的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可解即可. .【規(guī)范解答】設(shè)點(diǎn)【規(guī)范解答】設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,0,z)(0,0,z)，由由|OP|=1|OP|=1得得 =|z|=1=|z|=1，故，故z=z=1.1.當(dāng)當(dāng)z=1z=1時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,0,1),(0,0,1),當(dāng)當(dāng)z=-1z=-1時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(

45、0,0,-1),(0,0,-1),答案：答案：2z222PA0 10 11 12;222PA0 10 11 16. 26或【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤區(qū)警示和備考建議：誤誤區(qū)區(qū)警警示示在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失誤：在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失誤：(1)(1)忽視對(duì)點(diǎn)忽視對(duì)點(diǎn)P P坐標(biāo)的討論而丟失一個(gè)解；坐標(biāo)的討論而丟失一個(gè)解；(2)(2)不能分析點(diǎn)不能分析點(diǎn)P P的特點(diǎn)，導(dǎo)致引入的參數(shù)較多而無(wú)法解題的特點(diǎn)，導(dǎo)致引入的參數(shù)較多而無(wú)法解題 備備考考建建議議本節(jié)的主要內(nèi)容為空間坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識(shí)，高考對(duì)這部分本節(jié)的主要內(nèi)容為空間坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識(shí)，高考對(duì)這部分