絕對(duì)值與一元一次方程(含答案)-

1、絕對(duì)值與一元一次方程知識(shí)縱橫絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)最活躍的概念之一,?能與數(shù)學(xué)中許多知識(shí)關(guān)聯(lián)而生成新的問題，我們把絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫含絕對(duì)值符號(hào)的方程，簡稱絕對(duì)值方程 ?解絕對(duì)值方程的基本方法有：一是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為常見的方程求解 ；一是數(shù)形結(jié)合 ，借助于圖形的直觀性求解?前者是通法 ，后者是技巧 ?解絕對(duì)值方程時(shí) ，常常要用到絕對(duì)值的幾何意義，去絕對(duì)值的符號(hào)法則 ，?非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值常用的基本性質(zhì)等與絕對(duì)值相關(guān)的知識(shí)、技能與方法例題求解【例 1】方程 | 5x+6 |=6x-5 的解是 _ .（ 2000 年重慶市競賽題 ）思路點(diǎn)撥設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原方程

2、化為一般的一元一次方程來求解?解 :x=11提示 ：原方程 5x+6= ± （6x-5 ）或從 5x+6 > 0、 5x+6<0 討論 .【例 2】適合 | 2a+7 |+ |2a-1 |=8 的整數(shù) a 的值的個(gè)數(shù)有 （）.A.5B.4C.3D.2（第11屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥用分類討論法解過程繁瑣，仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)特征 ，借助數(shù)軸也許能找到簡捷的解題途徑 .解:選 B提示 ：由已知即在數(shù)軸上表示2a 的點(diǎn)到 -7 與+1 的距離和等于8，?所以 2a 表示 -7 到 1之間的偶數(shù) .【例 3】解方程 ：|x- |3x+1 | |=4; （天津市競賽題 ）思路點(diǎn)撥

3、從內(nèi)向外，根據(jù)絕對(duì)值定義性質(zhì)簡化方程.53解 :x=-或 x= 提示：原方程化為x- |3x+1=4 或 x- |3x+1 |=-442【例 4】解下列方程(1)I x+3 |- |x-1 |=x+1;( 北京市 " 迎春杯”競賽題 )(2)|x-1 |+ |x-5 |=4.(" 祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥解含多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的方程最常用也是最一般的方法是將數(shù)軸分段進(jìn)行討論 ,采用前面介紹的“零點(diǎn)分段法”分類討論；有些特殊的絕對(duì)值方程可利用絕對(duì)值的幾何意義迅速求解 ?解 : 提示 ：當(dāng) x<-3 時(shí) ，原方程化為 x+3+(x-1)=x+1, 得 x=-5;當(dāng) -3

4、 < x<1 時(shí) ,原方程化為 x+3+x-1=x+1, 得 x=-1; 當(dāng) x > 1 時(shí)，原方程化為 x+3-(x-1)=x+1, 得 x=3.綜上知原方程的解為x=-5,-1,3.(2) 提示 ：方程的幾何意義是 ，數(shù)軸上表示數(shù) x 的點(diǎn)到表示數(shù) 1 及 5 的距離和等于 4,畫 出數(shù)軸易得滿足條件的數(shù)為1W x< 5,此即為原方程的解?【例 5】已知關(guān)于 x 的方程 |x-2 |+ |x-3 |=a,研究 a 存在的條件 ，對(duì)這個(gè)方程的解進(jìn)行討論 .思路點(diǎn)撥方程解的情況取決于a 的情況 ,a 與方程中常數(shù)2、3 有依存關(guān)系 ，這種關(guān)系決定了方程解的情況，因此 ，

5、探求這種關(guān)系是解本例的關(guān)鍵,?運(yùn)用分類討論法或借助數(shù)軸是探求這種關(guān)系的重要方法與工具，讀者可從兩個(gè)思路去解.解 ：提示 :數(shù)軸上表示數(shù)x 的點(diǎn)到數(shù)軸上表示數(shù)2,3 的點(diǎn)的距離和的最小值為1,由此可得方程解的情況是：(1)當(dāng)a>1時(shí) 原方程解為x=,2當(dāng) a=1 時(shí) ,原方程解為2W x< 3;當(dāng) a<1 時(shí) ,原方程無解學(xué)力訓(xùn)練、基礎(chǔ)夯實(shí)1.方程3（|x | -1） = 兇 +1的解是 _ ;方程 | 3x-1 |= | 2x+1 | 的解是 _ .52.已知 |3990x+1995 |=1995, 那么 x= _ .3.已知 |x |=x+2, 那么19x99 +3x+27

6、 的值為 _ .4. 關(guān)于 x 的方程 |a |x= |a+1 |-x 的解是 x=0, 則 a 的值是 _ ;關(guān)于 x 的方程 |a |x=|a+1 |-x 的解是 x=1, 則有理數(shù) a 的取值范圍是_ .5.使方程 3|x+2 | +2=0 成立的未知數(shù)x 的值是 （）.2十卄亠A.-2 B.O C.3D. 不存在6.方程 | x-5 |+x-5=0 的解的個(gè)數(shù)為 （） .A.不確定B. 無數(shù)個(gè)C.2 個(gè) D.3 個(gè)（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）17. 已知關(guān)于 x 的方程 mx+2=2 （m-x ）的解滿足 | x- 卜仁 0, 則 m 的值是 （） .2A.10 或2 255B.10 或

7、 -C.-10或2D.-10或-(2000年山東省競賽題 ）558.若 |2000X+2000 | =20X 2000, 則 x 等于 ().A.20 或-21B.-20或 21C.-19 或 21D.19或-21(2001年重慶市競賽題 ）9. 解下列方程 ：(1)| |3x-5 |+4 |=8;(2)4x-3 | -2=3x+4;(3) |x- |2x+1| |=3;(4)2x-1 | + | x-2 | = |x+110. 討論方程 I | x+3 |-2 |=k 的解的情況二、能力拓展11. 方程 I | x-2 |-1 |=2 的解是 _ .12. 若有理數(shù) x 滿足方程 | 1-x

8、 |=1+ |x |,則化簡 | x-1 | 的結(jié)果是_ .13. 若 a>0,b<0, 則使 |x-a |+ |x-b |=a-b 成立的 x 的取值范圍是_ .（武漢市選撥賽試題）14. 若 0<x<10, 則滿足條件 |x-3 |=a? 的整數(shù) a?的值共有_ ?個(gè),?它們的和是15. 若 m 是方程 |2000-x |=2000+ |x |的解 , 則 |m-2001 |等于（）.A.m-2001B. -m-2001C. m+2001D. -m+200116. 若關(guān)于 x 的方程 | 2x-3 |+m=0無解 ，|3x-4 |+n=0 只有一個(gè)解 ，|4x-5

9、|+?k=0有兩個(gè)解 , 則 m n 、k 的大小關(guān)系是 （）.A.m >n>k B.n >k>mC.k> m>nD.m>k >n17. 適合關(guān)系式 | 3x-4 |+ |3x+2 |=6 的整數(shù) x 的值有 （） 個(gè).A.0B.1C.2 D.大于 2 的自然數(shù)18. 方程 | x+5 | - | 3x-7 | =1 的解有 （） . A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D. 無數(shù)個(gè)19. 設(shè) a、b 為有理數(shù) ，且|a |>0, 方程 | |x-a |-b |=3 有三個(gè)不相等的解,?求 b 的值 .（ “華杯賽”邀請(qǐng)賽試題）20. 當(dāng)

10、a 滿足什么條件時(shí) ，關(guān)于 x 的方程 |x-2 |- |x-5 |=a 有一解 ？有無數(shù)多個(gè)解 ？無解 ？三、綜合創(chuàng)新21. 已知| x+2 |+ |1-x |=9- |y-5 |- |1+y |,求 x+y 的最大值與最小值.(第 15 屆江蘇省競賽題 )22.(1) 數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、b,求這兩點(diǎn)之間的距離；(2)是否存在有理數(shù)x,使 | x+1 |+ |x-3 |=x?(3)是否存在整數(shù)x,使|x-4 |+ |x-3 |+ |x+3 |+ |x+4 |=14? 如果存在 ,?求出所有的整數(shù) x;如果不存在 ，說明理由 .【學(xué)力訓(xùn)練】 ( 答案 )1. ±巴 、2或

11、02.0或-1 3.574.-1,a >0提示 ：由 a+1 | = | a |+1 得 a x 1 > 0, 即 a > 05.D 6.B7.A 8.D9.(1)x=3或1 x=;3(2)x=9或 3 x=-;7(3)x=-4或 x=2;311(4)提示 ：分 x<-1 、-1< x< 、？ 一 <x< 2、x>2 四種情況分別去掉絕對(duì)值符號(hào)解方程,221當(dāng)考慮到 丄< x< 2 時(shí),? 原方程化為 ( 2x-1)-(x-2)=x+1,即 仁 1,這是一個(gè)恒等式 ，說明2凡是滿足 1 < x<2 的 x 值都是方程

12、的解 .210. 當(dāng) k<0 時(shí),原方程無解 ；當(dāng) k=0 時(shí) ，原方程有兩解 :x=-1 或 x=-5;當(dāng) 0<k<2 時(shí) ，原方程化為 | x+3 | =2 ± k, 此時(shí)原方程有四解 ：x=-3 ± (2 ± k);當(dāng) k=2 時(shí) ，原方程化為 | x+?3 | =2± 2,此時(shí)原方程有三解 :x=1 或 x=-7 或 x=-3;當(dāng) k>2 時(shí) ，原方程有兩解 :x+3= ± 2(?2+k).11. ± 5 12.1-x 13.bw x< a 提示 ：利用絕對(duì)值的幾何意義解.14.7 、21提示 ：

13、當(dāng) 0<x<3 時(shí) ，則有 | x-3 |=3-x=a,a 的解是 1,2;當(dāng) 3 w x<10 時(shí) ，則有 | x-3 | =x-3=a,a 的解為 0,1,2,3,4,5,615.D 提示 :m w 0 16.A 17.C提示 :-2 w 3x w 4 18.B19. 提示 ：若 b+3 、 b-3 都是非負(fù)的 ，而且如果其中一個(gè)為零 ，則得 3 個(gè)解 ；如果都不是零 ，則得 4 個(gè)解 ,故 b=3.20. 提示：由絕對(duì)值幾何意義知 ：當(dāng)-3<a<3 時(shí),方程有一解當(dāng) a=± 3 時(shí) ,?方程有無窮多個(gè)解 ；當(dāng) a>3 或 a<-3 時(shí) ，方程無解 .21. 提示 ：已知等式可化為 ：丨