第四章維納濾波和卡爾曼濾波PPT課件

1、1第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波2第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 信道信道s(n)x(n)( )ns(n)：原始輸入（發(fā)射）信號(hào)，隨機(jī)平穩(wěn)：原始輸入（發(fā)射）信號(hào)，隨機(jī)平穩(wěn)信道噪聲（測(cè)量噪聲）信道噪聲（測(cè)量噪聲）x(n)：接收（測(cè)量）信號(hào)，：接收（測(cè)量）信號(hào)， 隨機(jī)平穩(wěn)隨機(jī)平穩(wěn)問題提出：?jiǎn)栴}提出：3第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波準(zhǔn)則：最大后驗(yàn)準(zhǔn)則。均方準(zhǔn)則，最大似然準(zhǔn)則，準(zhǔn)則：最大后驗(yàn)準(zhǔn)則。均方準(zhǔn)則，最大似然準(zhǔn)則，濾波器濾波器 h(n)( )( )y ns nx(n)s(n)FIR,IIR逼近（準(zhǔn)則）逼近（準(zhǔn)則）已知：已知：

2、s(n), (n) 的統(tǒng)計(jì)特性，要求：的統(tǒng)計(jì)特性，要求：設(shè)計(jì)線性移不變?yōu)V波器設(shè)計(jì)線性移不變?yōu)V波器 h(n), 從從x(n)中恢復(fù)中恢復(fù)s(n)線性均方準(zhǔn)則（最小二乘濾波）線性均方準(zhǔn)則（最小二乘濾波）4第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波( )( )()()T11nu nu nu nM輊=-+臌uL( )nu( )u n2.2.橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu)橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu)5第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波iw*wT011Mwww-=wL( )d n( )d n( )e n( )( )( )e nd nd n=-( )()( )( )1HT0Miid nw u ninn-*

3、=-=w uuw6第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波假設(shè)假設(shè) 由信號(hào)由信號(hào) 與噪聲與噪聲 組成組成 如果如果 ，上圖的系統(tǒng)稱為濾波，上圖的系統(tǒng)稱為濾波（filteringfiltering）；）； 如果如果 ，上圖的系統(tǒng)稱為預(yù)測(cè)，上圖的系統(tǒng)稱為預(yù)測(cè)（predictionprediction）；）； 如果如果 ，上圖的系統(tǒng)稱為平滑，上圖的系統(tǒng)稱為平滑 （smoothingsmoothing）。）。( )( )( )unsnvn=+( )u n( )s n( )v n( )( )dns n=( )()00,0d ns nnn=+( )()00,0d ns nnn=+7第四章第四

4、章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波4.2 4.2 維納濾波器的離散形式維納濾波器的離散形式時(shí)域解時(shí)域解 22( )( )( )( )( )( ) ()( )( )( )( )( ),( ) ( )( ) ix ns nv ny ns nh i x nix nh ne ns ns nE e nE s ns n誤差，平穩(wěn)隨機(jī)）均方誤差：(n)最小均方誤差準(zhǔn)則：最小均方誤差準(zhǔn)則：2op尋求h (n)使 (n)=Ee (n)取最小值（加性干擾）（加性干擾）d(n)=s(n)8第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波為此令為此令2( )( )2 ( )( )0( )( )( )(

5、 ) ( )( ) ()(),( )( ) ( ) ()0,(inE e nEe ne nh jh jh je ns nh j x nix njjh jh jE e n x njj 正交標(biāo)量方程組）一、維納一、維納霍夫方程霍夫方程 正交性原理：正交性原理：使代價(jià)函數(shù)最小化的充要條件是使代價(jià)函數(shù)最小化的充要條件是 n 時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)誤差正交于時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)誤差正交于n 時(shí)刻濾波器的每個(gè)時(shí)刻濾波器的每個(gè)輸入值，或者說正交于輸入值，或者說正交于n時(shí)刻的輸入信號(hào)空間。時(shí)刻的輸入信號(hào)空間。9第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波推論：推論： n時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)誤差正交于時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)誤差正

6、交于n時(shí)時(shí)刻濾波器的最優(yōu)輸出值刻濾波器的最優(yōu)輸出值0)()(00nenyE000)()(kkknxhny一、維納一、維納霍夫方程霍夫方程10第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波由正交方程可得： ( ) () ( )( ) () () ( ) () () () ( )0iiE e n x njEs nh i x nix njE s n x njE x ni x nj h i ( ) ()( ) () ()iE s n x njh i E x ni x nj即：一、維納一、維納霍夫方程霍夫方程11第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波定義定義( ) ( ) ()(

7、 ), ( )( ) ( ) ()( )sxxxRmE s n x nms n x nRmE x n x nmx n的互相關(guān)的自相關(guān)可得可得(),sxxxiRmh iRmim（ ）（）維納維納霍夫（霍夫（Wiener-Holf)方程或標(biāo)準(zhǔn)方程方程或標(biāo)準(zhǔn)方程求和范圍（求和范圍（i）隨濾波器的不同取不同區(qū)間）隨濾波器的不同取不同區(qū)間:0 1:0 FIRMIIR（非因果）；（因果）一、維納一、維納霍夫方程霍夫方程12第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波FIR 維納濾波器維納濾波器令令 (0)(1)(1)( ) ( )(1)(1)Hhhh NX nx nx nx nN10( )( )

8、( )( )( ) ()( )( )MkTy ns nx nh nh k x nkH X nXn H( )( )( )( )( )( )( )( )( )Te hs ns ns ny ns nXn Hs nH X n對(duì)對(duì)FIR結(jié)構(gòu)，假設(shè)其長(zhǎng)度為結(jié)構(gòu)，假設(shè)其長(zhǎng)度為N,期望信號(hào)為期望信號(hào)為s(n)13第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波22( )( )( )2 ( )( )( )( )ThE e nE snE s n Xn HH E X n Xn H22( ) ( )( ) ( )( )( )2 ( )( )( )( )Te ns nXn Hs nH X nsns n Xn HH

9、 X n Xn H14第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) (1) (1) ( ) (1) (1) (1) (1) (1) ( ) (1) (1) (1) (1)ExnxnExnxnExnxn NExnxnExnxnExnxn NExn NxnExn NxnExn Nxn N ToeplitzToeplitz矩陣矩陣,N,NXN N對(duì)稱半正定對(duì)稱半正定( )( )RE X n Xn(0)(1)(1)(1)(0)(2)(1)(2)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxrrrNrrrNrNrNr令令15第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波

10、維納濾波和卡爾曼濾波令令22( )sE sn( ) ( )(0) ( ) ( )(1) (1) ( )(1) (1) ( )sxsxsxPE X n s nrE x n s nrE x ns nrNE x nNs n2( )2(shP HH RH 二次型問題）代入可得：代入可得：16第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波則則222d P Hd H RHPRHHdHdH （） （）令令0H(0)(1)(1)(0)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)(1)(1)xxxxxxsxxxxxxxsxxxxxxxsxrrr Nrhrrr Nrhr Nr Nrr Nh NR

11、HP（維納-霍夫方程）1OPHR P其解為：，且17第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波22122()222,()OPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPTTsTTsTTsTTTsHP HH RHP HH R R PP HH PH PP HH P可以看出，均方誤差與濾波器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)可以看出，均方誤差與濾波器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)h(n) 為為M維向量，維向量，因此均方誤差是一個(gè)超橢圓拋物形曲面，該曲面有極因此均方誤差是一個(gè)超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點(diǎn)存在。當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，均方誤差取小點(diǎn)存在。

12、當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，均方誤差取得最小值。得最小值。18第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 上式表明已知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)函上式表明已知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過矩陣求逆數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。同時(shí)可以看到，運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。同時(shí)可以看到，直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器，當(dāng)選擇的濾波直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器，當(dāng)選擇的濾波器的長(zhǎng)度器的長(zhǎng)度M較大時(shí)，計(jì)算工作量很大，并且需要計(jì)較大時(shí)，計(jì)算工作量很大，并且需要計(jì)算算Rxx 的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，的

13、逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)來確定的，在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)來確定的，如果想通過增加長(zhǎng)度提高逼近的精度，就需要在新如果想通過增加長(zhǎng)度提高逼近的精度，就需要在新N基礎(chǔ)上重新進(jìn)行計(jì)算。因此，從時(shí)域求解維納濾基礎(chǔ)上重新進(jìn)行計(jì)算。因此，從時(shí)域求解維納濾波器，并不波器，并不是一個(gè)有效的方法。是一個(gè)有效的方法。 12()OPOPOPTsHRPHH P即即19第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波圖圖 期望信號(hào)、期望信號(hào)、 估計(jì)值與誤差信號(hào)的幾何關(guān)系估計(jì)值與誤差信號(hào)的幾何關(guān)系 ( )( )( )ooe nd nd n=-由正交方程可知：

14、誤差與輸入信號(hào)矢量正交，可推得其與估計(jì)值也正交，用下圖表示。幾何解釋：幾何解釋：20第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波圖表明在濾波器處于最佳工作狀態(tài)時(shí)， 估計(jì)值加上估計(jì)偏差等于期望信號(hào)， 即 d nynenoptopt( )( )( )注意我們所研究的是隨機(jī)信號(hào)，圖中各矢量的幾何表示應(yīng)理解為相應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)平均或者是數(shù)學(xué)期望。再?gòu)哪芰康慕嵌葋砜?，假定輸入信?hào)和期望信號(hào)都是零均值, 應(yīng)用正交性原理，則, 因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值的能量總是小于等于期望信號(hào)的能量。 dyE eopt222opt| 21第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波非因果性考慮非因果

15、性考慮 可以證明：非因果可以證明：非因果WienerWiener濾波器的性能濾波器的性能( (誤差誤差方差性能方差性能) )要優(yōu)于因果要優(yōu)于因果WienerWiener濾波器濾波器( (參見鄭南寧編參見鄭南寧編數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理) )。所以，在實(shí)際。所以，在實(shí)際FIRFIR濾波器中，濾波器中，常用時(shí)延方法用可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)逼近非因果系統(tǒng)。常用時(shí)延方法用可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)逼近非因果系統(tǒng)。MMkkknxwny)()(0令令Mki22第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波MiiMiiiMnxwMinxwny200200)()()(MiiinxwMny200)()(n 因果系統(tǒng)因果

16、系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出可以逼近非因果系統(tǒng)時(shí)刻的輸出可以逼近非因果系統(tǒng)(n-M)的輸出。的輸出。23第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波2),(8( )( ),( )x nv nv nns(n)=sin(周期為 的確定信號(hào)）4nsin(（為方差的白噪聲）4例例1 1：設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)N=4N=4的的FIRFIR最佳濾波器最佳濾波器已知：已知：24第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波解：解：2222111022 22 2(0)(1)(2)(3)1110(1)(0)(1)(2)22 22 2(2)(1)(0)(1)11102(3)(2)(1)(0)2 22 2111022 22

17、 2xxxxxxxxxxxxxxxxrrrrrrrrrrrrrrrr( )RE XnT（n)X82222181121(0)( )sin ()8821221(1) ( ) (1sin()sin(1)08882 2xnxnrE xnnE vrE x n x nnn注 ：，25第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波12 2PE X121（n)s(n)=，2 20222min222min2min2min11( )22(1)2(1)0,0,(1126114TXopE e nH P確定），(0分貝信噪比） ，同樣：同樣：121112 2opHRP1212 2026第四章第四章 維納濾波和卡

18、爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 例例 設(shè)設(shè)y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪聲，方差是一白噪聲，方差22=0.1。期望信號(hào)。期望信號(hào)x1(n)的信號(hào)模型如圖的信號(hào)模型如圖(a)所示，所示，其中白噪聲其中白噪聲v1(n)的方差的方差21=0.27，且，且b0=0.8458。x(n)的信號(hào)模型如圖（的信號(hào)模型如圖（b）所示，）所示，b1=0.9458。假定。假定v1(n)與與v2(n)、x1(n)與與y(n)不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器，得到該信號(hào)的最佳估計(jì)，設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器，得到該信號(hào)的最佳估計(jì)，要求濾波器是一長(zhǎng)度為要求濾波器是一長(zhǎng)度為 2 的的

19、FIR濾波濾波器。器。 27第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波圖圖 輸入信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型輸入信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型 解解 這個(gè)問題屬于直接應(yīng)用維納這個(gè)問題屬于直接應(yīng)用維納-霍夫方程的典型問題，霍夫方程的典型問題，其關(guān)鍵在于求出觀測(cè)信其關(guān)鍵在于求出觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)信號(hào)與號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。 圖圖 維納濾波器的框圖維納濾波器的框圖 28第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波根據(jù)題意，畫出這個(gè)維納濾波器的框圖，如圖所示。根據(jù)題意，畫出這個(gè)維納濾波器的框圖，如圖所示。 用用H1(z)和和H2(z)分別表示

20、分別表示x1(n)和和x(n)的信號(hào)模型，那么濾的信號(hào)模型，那么濾波器的輸入信號(hào)波器的輸入信號(hào)x(n)可以看作是可以看作是v1(n)通過通過H1(z)和和H(z)級(jí)聯(lián)后的輸出，級(jí)聯(lián)后的輸出， H1(z)和和H(z)級(jí)聯(lián)后的等效系統(tǒng)用級(jí)聯(lián)后的等效系統(tǒng)用H(z)表示，輸出信號(hào)表示，輸出信號(hào)y(n)就等于就等于x(n)和和v2(n)之和。因此求出之和。因此求出輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣Ryy和輸出信號(hào)與期望信號(hào)的和輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)矩陣互相關(guān)矩陣Ryd是解決問題的關(guān)鍵。相關(guān)函數(shù)矩陣由相關(guān)是解決問題的關(guān)鍵。相關(guān)函數(shù)矩陣由相關(guān)函數(shù)值組成，函數(shù)值組成，已知已知x(n)與與v2

21、(n)不相關(guān)，那么不相關(guān)，那么 2 2()()()yyxxv vrmrmrm29第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波(1) 求出期望信號(hào)的方差。根據(jù)圖求出期望信號(hào)的方差。根據(jù)圖 (a)，期望信號(hào)的，期望信號(hào)的時(shí)間序列模型所對(duì)應(yīng)的差分時(shí)間序列模型所對(duì)應(yīng)的差分方程為方程為 x1(n)=v1(n)-b0 x1(n-1) 這里，這里，b0=0.8458, 由于由于x1(n)的均值為零，其方差與自的均值為零，其方差與自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的值相等相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的值相等。 11122122210 111122210(0)( )( )2( )(1)(1)xxxRE x nE v nb v n x

22、 nb x nb 122212200.270.948611(0.8458)dxb 30第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 (2) 計(jì)算輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣。根據(jù)自計(jì)算輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和時(shí)間序列信號(hào)模型的等價(jià)關(guān)系，已知相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和時(shí)間序列信號(hào)模型的等價(jià)關(guān)系，已知時(shí)間序列信號(hào)模型，時(shí)間序列信號(hào)模型，就可以求出自相關(guān)函數(shù)。這里，信號(hào)的模就可以求出自相關(guān)函數(shù)。這里，信號(hào)的模型型H(z)可以通過計(jì)算得到。可以通過計(jì)算得到。 12111( )( )( )(10.8458)(10.9458)H zH z H zzz 這

23、是一個(gè)二階系統(tǒng)，所對(duì)應(yīng)的差分方程為這是一個(gè)二階系統(tǒng)，所對(duì)應(yīng)的差分方程為 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n) 式中，式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于。由于v1(n)、v2(n)的均值為零，因此，的均值為零，因此， x(n)的均值為的均值為0。將方程兩邊同乘以。將方程兩邊同乘以x*(n-m)，并取數(shù)學(xué)期望，得，并取數(shù)學(xué)期望，得 rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx (m-2)=0 m0 (1)rxx(0)+ a1rxx(1)+a2rxx(2)=21 m=0 (2) 31第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波對(duì)方程（對(duì)方程（1）?。┤=1,

24、 2，得到，得到 rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0 (3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0(4) 方程方程(2)、(3)、(4)聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得 222122222211211 0.80.27(0)11(1)1 0.8 (1 0.8)( 0.1) 0.1(1)0.511 0.8xxxxxaraaaara 至此，至此， 輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣Rxx可以寫出：可以寫出： (0)(1)1 0.5(1)(0)0.5 1xxxxxxxxxxrrRrr 32第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波v2(n)是一個(gè)零均值的白噪聲

25、，它的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)零均值的白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)矩陣呈對(duì)角形，矩陣呈對(duì)角形， 且且 ，2 222(0)v vr 2 22 22 22 22 2(0)(1)0.1 0(1)(0)00.1v vv vv vv vv vrrRrr 因此，輸出信號(hào)的自相關(guān)因此，輸出信號(hào)的自相關(guān)Ryy為為 2 22 22 22 2(0)(1)(1)(0)(1)1.1 0.5(1)(0)(1)(0)(0)0.5 1.1xxv vxxv vyyyyyyyyyyxxv vxxv vrrrrrrRrrrrrr 33第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波(3) 計(jì)算輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)矩陣。計(jì)算輸出

26、信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)矩陣。 由于兩個(gè)信號(hào)都是實(shí)信號(hào)，故由于兩個(gè)信號(hào)都是實(shí)信號(hào)，故 ryd(m)=Ey(n)d(n-m)=Ey(n)x1(n-m) =E(x(n)+v2(n)x1(n-m) =Ex(n)x1(n-m) m=0, 1 根據(jù)系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)H2(z)的輸入與輸出的關(guān)系，有的輸入與輸出的關(guān)系，有 x1(n)-b1x(n-1)=x(n) 推出推出 x1(n)=x(n)+b1x(n-1) 這樣這樣 ryd(m) =Ex(n)x1(n-m) =Ex(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m) =rxx(m)+b1rxx(m-1) 34第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波將將

27、m=0, m=1代入上式代入上式, 得得 ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.94580.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+ b1rxx(0)=0.5-0.94581=-0.4458 因此，輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)因此，輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)Ryd為為 (0)0.5272(1)0.4458ydydydrRr 求出輸出信號(hào)自相關(guān)的逆矩陣求出輸出信號(hào)自相關(guān)的逆矩陣, 并乘以并乘以Ryd, 就可以得到就可以得到維納濾波器的最佳解維納濾波器的最佳解Wopt:1122(0)(1)(0)(1)1(0)(1)(1)(0)(1)(0)1.14560.52080.5208 1

28、.1456yyrrrrRrrrrrr 35第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波11.14560.5208 0.52720.83600.4580.78530.54281.1456optyyydWR R 可以計(jì)算出該維納濾波達(dá)到最佳狀態(tài)最小可以計(jì)算出該維納濾波達(dá)到最佳狀態(tài)最小值值E|e(n)|2min： 22*Tminopt| ( )| ()0.83600.94860.52720.44580.75830.1579dydE e nRW 36第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的 z 域解域解標(biāo)準(zhǔn)方程：標(biāo)準(zhǔn)方程： 雙邊雙邊Z Z

29、變換變換一、非因果一、非因果IIR 維納濾波器維納濾波器37第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波假設(shè)信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即假設(shè)信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，則，則 Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 則有則有 opt( )( )( )( )( )( )xsssxxssvvSzSzHzSzSzSz 當(dāng)噪聲為當(dāng)噪聲為0時(shí)，信號(hào)全部通過；當(dāng)信號(hào)為時(shí)，信號(hào)全部通過；當(dāng)信號(hào)為0時(shí)，時(shí)， 噪聲噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。把信號(hào)的頻譜用把信號(hào)的頻譜用Pss(ej)表示，噪聲的頻譜用表示

30、，噪聲的頻譜用Pvv(ej)表示，那么非因果的維納濾波器的表示，那么非因果的維納濾波器的傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)Hopt(ej)的幅頻特性的幅頻特性如圖所示如圖所示。 38第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波jopt1(e)10H Pss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv(ej) 0 圖圖 非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性 39第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 然而實(shí)際的系統(tǒng)都是因果的。對(duì)于一個(gè)然而實(shí)際的系統(tǒng)都是因果的。對(duì)于一個(gè)因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求

31、解的原因是因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的原因是由于輸入信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)序列是一由于輸入信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)序列是一個(gè)因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的個(gè)因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問題轉(zhuǎn)化為非因果問題，求解方法將大求解問題轉(zhuǎn)化為非因果問題，求解方法將大大簡(jiǎn)化。那么怎樣把一個(gè)因果序列轉(zhuǎn)化為一大簡(jiǎn)化。那么怎樣把一個(gè)因果序列轉(zhuǎn)化為一個(gè)非因果序列呢個(gè)非因果序列呢？ 因果情況處理思路：因果情況處理思路：40第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波標(biāo)準(zhǔn)方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：v(n)x(n)S(n) 信道信道s(n) h(n)s(n)IIR一般情況下直接求解比較困難。但如果濾

32、波器輸入一般情況下直接求解比較困難。但如果濾波器輸入是白噪聲，則維納是白噪聲，則維納- -霍夫方程容易求解；而任何平穩(wěn)霍夫方程容易求解；而任何平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)可變換為等效的白噪聲過程，故借助譜分解隨機(jī)信號(hào)可變換為等效的白噪聲過程，故借助譜分解定理可找到一種簡(jiǎn)單解決方法。定理可找到一種簡(jiǎn)單解決方法。二、因果二、因果IIR IIR 維納濾波器維納濾波器41第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 回顧前面講到的時(shí)間序列信號(hào)模型，假設(shè)回顧前面講到的時(shí)間序列信號(hào)模型，假設(shè)x(n)的信號(hào)模型的信號(hào)模型B(z)已知（如圖已知（如圖 (a)所示），求出信號(hào)模所示），求出信號(hào)模型的逆系統(tǒng)型的逆系統(tǒng)B

33、-1(z)， 并將并將x(n)作為輸入，那么逆系統(tǒng)作為輸入，那么逆系統(tǒng)B-1(z)的輸出的輸出(n)為白噪聲，白化濾波器（如圖為白噪聲，白化濾波器（如圖 (b)所示）。所示）。 圖圖 x(n)的時(shí)間序列信號(hào)模型及其白化濾波器的時(shí)間序列信號(hào)模型及其白化濾波器 (a)(b)42第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波（1 1）若濾波器的輸入是白噪聲時(shí)）若濾波器的輸入是白噪聲時(shí)20( )( ):x nw n2( )( )( )xxwwwrmrmm 2200( )()()()()( ),0sxwwwwiiR mhi Rm ihim ih mm 21( )( ),0swwh nRnn對(duì)應(yīng)傳

34、遞函數(shù)：對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)：( )( )swswSzSz表示取的因果部分（極點(diǎn)在單位園內(nèi)）21( )( )swwH zSz43第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波（2 2）若濾波器的輸入是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí)）若濾波器的輸入是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí)則則x(n)x(n)可看作是由白噪聲可看作是由白噪聲w(n)w(n)激勵(lì)一個(gè)線性移不變系激勵(lì)一個(gè)線性移不變系統(tǒng)的輸出統(tǒng)的輸出)zB zzN（D（1( )B z( )Gz白化白化信號(hào)模型信號(hào)模型濾波器濾波器w(n)w(n)y(n)y(n)w(n)w(n)x(n)x(n)b(n)b(n)20,s(n)s(n)1( )( )( )CHzGzB zB(z) B

35、(z) 為有理分式，為有理分式，N(z),D(z)N(z),D(z)為最小為最小相位多項(xiàng)式相位多項(xiàng)式問題轉(zhuǎn)化為求問題轉(zhuǎn)化為求 的問題的問題( ),( )B zGz44第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波111( )( )()( )( )()( )( )()( )()()( )( )() ()swswsxsxRns nwnSzS z W zRns nxns nwnbnSzS z W zB z 1( )( )()sxswSzSzB z即由（由（1 1）221( )11( )( )()sxswwwSzGzSzB z21( )1( )( )()sxCwSzHzB zB z11( )(

36、 )2ncCh nHz zdzj其中其中211( ),( )( )( )()()wxxsxsxB zSzSzSzB zB z可由的譜分解得到可由進(jìn)行因果、逆因果分解得到45第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 具體思路如圖所示。用白噪聲作為待求的維納濾具體思路如圖所示。用白噪聲作為待求的維納濾波器的輸入，設(shè)定波器的輸入，設(shè)定1/B(z)為信號(hào)為信號(hào)x(n)的白化濾波器的的白化濾波器的傳輸函數(shù)，那么維納濾波器的傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)，那么維納濾波器的傳輸函數(shù)G(z)的關(guān)系為的關(guān)系為 ( )( )( )G zH zB z 因此，維納濾波器的傳輸函數(shù)因此，維納濾波器的傳輸函數(shù)H(z)的求

37、解轉(zhuǎn)化為的求解轉(zhuǎn)化為G(z) 的求解。的求解。 圖圖 維納濾波解題思路維納濾波解題思路 2、46第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波假設(shè)待求維納濾波器的單位脈沖響應(yīng)為假設(shè)待求維納濾波器的單位脈沖響應(yīng)為g(n)，期望信號(hào)，期望信號(hào)d(n)=s(n)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(n)=s(n)，g(n)是是G(z)的逆的逆Z變換，變換， 則輸出則輸出信號(hào)可表示為信號(hào)可表示為( )( )( )( )( ) ()ky ns nng ng knk 47第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波222*22*ss| ( )| ( )( ) ()| ( )| ( ) (

38、)() ()( )() ( )( ) () ( )(0)| ( )|( )( )(kkkkkskE e nE s ng knkE s nEg k g rnknrEg knk s ng knk s nrg kg k rkg k *22ss2)( )( )|(0)( )skksskkrkrkrrg k 48第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 可以看出，均方誤差的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)都是非負(fù)可以看出，均方誤差的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)數(shù), 要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng)要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng) ( )( )0srkg k -k 因此因此g(n)的最佳值為的最佳值為 opt2( )(

39、)srkgk -k 對(duì)上式兩邊同時(shí)做對(duì)上式兩邊同時(shí)做Z變換，得到變換，得到 opt2( )( )sSzGz 49第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波這樣，非因果維納濾波器的最佳解為這樣，非因果維納濾波器的最佳解為 optopt2( )( )1( )( )( )sGzSzHzB zB z 因?yàn)橐驗(yàn)閟(n)=s(n)*(n)，且，且x(n)=(n)*b(n)，根據(jù)相，根據(jù)相關(guān)卷積定理，得關(guān)卷積定理，得到到 rxs(m)=rs(m)*b(-m) 對(duì)上式兩邊做對(duì)上式兩邊做Z變換，得到變換，得到 Sxs (z)=Ss(z)B(z-1) 因此因此 1( )( )()xssSzSzB z

40、50第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波根據(jù)根據(jù)x(n)的信號(hào)模型，得到非因果的維納濾波器的信號(hào)模型，得到非因果的維納濾波器的復(fù)頻域的復(fù)頻域最佳解的一般表達(dá)式最佳解的一般表達(dá)式 opt21( )( )11( )( )()( )xsxsxxSzSzHzB z B zSz 假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即當(dāng)假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即當(dāng)Es(n)v(n)=0時(shí)，有時(shí)，有 rxs(m)=E(s(n)+v(n)*s(n+m)=rss(m)rxx(m)=E(s(n)+v(n)*(s(n+m)+v(n+m) =rss(m)+rvv(m) 對(duì)上邊兩式做對(duì)上邊兩式做Z變換，得到變換，得到 Sxs(z)=

41、Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 51第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波1( )( )()sssSzSzB z 信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí)，非因信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí)，非因果維納濾波器的復(fù)果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解和頻率響應(yīng)分別為頻域最佳解和頻率響應(yīng)分別為 xsssxxssvvSzSzHzSzSzSzopt( )( )( )( )( )( ) jjoptjj(e )( )(e )(e )(e )( )( )ssssssvvssvvSPHSSPP 52第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波濾波器的最小均方誤差濾波器的最小均方誤差E|e(n)|2min

42、的計(jì)算，的計(jì)算，22min2|( )| ( )| (0)ssskrkE e nr 根據(jù)圍線積分法求逆根據(jù)圍線積分法求逆Z變換的公式變換的公式，rss(m)用下式表示用下式表示: 11()( )d2jmssssCrmSz zz 得出得出 11(0)( )d2jssssCrSz zz 53第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波由復(fù)卷積定理由復(fù)卷積定理 *11d( )( )( )2jCnzx n y nX z Yzz 取取y(n)=x(n)，有有 211d|( )|( )2jCnzx nX z X zz 因此因此 211d|( )|( )()2jsssCnzrkSz Szz 21mi

43、n211d| ( )| ( )( )()2jsssCzE e nSzSz Szz 54第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波12min211( )()11d| ( )| ( )2j()( )1d( )( )()2jsssssCssoptssCSz SzzE e nSzB zB zzzSzHz Szz 因?yàn)閷?shí)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即因?yàn)閷?shí)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即rss(m)=rss(-m)， 因此因此 Sss(z)=Sss(z-1) 假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，Es(n)v(n)=0， 則則 21min( )1d| ( )| ( )()2j( )( )(

44、)1d2j( )ssssssCxxssvvCxxSzzE e nSzSzSzzSz SzzSzz 55第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 若維納濾波器是一個(gè)因果濾波器，若維納濾波器是一個(gè)因果濾波器， 要求要求 g(n)=0 n0 則濾波器的輸出信號(hào)則濾波器的輸出信號(hào) 0( )( )( )( )( ) ()ky ns nng ng knk 估計(jì)誤差的均方值估計(jì)誤差的均方值 E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2 得到得到 222200( )1| ( )| (0)( )|( )|sssskkrkE e nrg krk 因果維納濾波器的求解因果維納濾波器的求解56第四章第四

45、章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波要使均方誤差取得最小值，要使均方誤差取得最小值， 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 2opt2( )0( )00( )( )ssrnngnnrnu n 令令 0optopt2( )( ) ( )( )1( )ZT( )( )nnsssnnsSzrn u n zrn zGzgnSz 57第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波opt21( )1( )()xsSzGzB z 所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為 optopt21( )( )11( )( )( )()xsGzSzHzB zB zB z 58第四章第四章 維納濾

46、波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波的最小均方誤差為維納濾波的最小均方誤差為 22min20*212121|( )| ( )| (0)1(0)( ) ( )( )11d(0)( )()2j( )()11d( )2j()( )1( )2jsssksssskssssCxsxsssCssCrkE e nrrrk u k rkzrSzSzzSzSzzSzB zB zzSz 1optd( )()xszHz Szz 59第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 比較可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維比較可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維納濾波器的最小均方誤差的形

47、式相同，但公式中的納濾波器的最小均方誤差的形式相同，但公式中的Hopt(z)的的表達(dá)式不同。表達(dá)式不同。 前面已經(jīng)導(dǎo)出，前面已經(jīng)導(dǎo)出， 對(duì)于非因果情況，對(duì)于非因果情況，22min2|( )| ( )| (0)ssskrkE e nr 對(duì)于因果情況，對(duì)于因果情況， 22min20|( )| ( )| (0)ssskrkE e nr 比較兩式，它們的第二項(xiàng)求和域不同，因?yàn)橐蚬闆r比較兩式，它們的第二項(xiàng)求和域不同，因?yàn)橐蚬闆r下下,k=0+， 因此可以說明非因果情況的因此可以說明非因果情況的E|e(n)|2min一定一定小于等于因果情況小于等于因果情況E|e(n)|2min。在具體計(jì)算時(shí)。在具體計(jì)算

48、時(shí),可以選擇可以選擇單位圓作為積分曲線，單位圓作為積分曲線， 應(yīng)用留數(shù)定理，應(yīng)用留數(shù)定理， 計(jì)算積分函數(shù)在單計(jì)算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)的留數(shù)來得到。位圓內(nèi)的極點(diǎn)的留數(shù)來得到。 60第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟：因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟： (1) 根據(jù)觀測(cè)信號(hào)根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x(n)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。具。具體方法為體方法為Sxx(z)=2B(z)B(z-1)，把單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)分，把單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)分配給配給B(z)，單位

49、圓外的零極點(diǎn)分配給，單位圓外的零極點(diǎn)分配給B(z-1)，系數(shù)分配，系數(shù)分配給給2。 (2)求求 的的Z反變換，取其因果部分再做反變換，取其因果部分再做Z變換，變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得 (3) 計(jì)算計(jì)算Hopt(z)， E|e(n)|2min。 xsSzB z1( )() xsSzB z1( )() 61第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波例例 已知已知 10.36( )(10.8)(10.8 )ssSzzz 信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，噪聲，噪聲v(n)是零均值、是零均值、單位功率的白噪聲（單位功率的白噪聲（2v=1

50、，mv=0)，求，求Hopt(z)和和E|e(n)|2min。 解解 根據(jù)白噪聲的特點(diǎn)得出根據(jù)白噪聲的特點(diǎn)得出Svv(z)=1，由噪聲和信，由噪聲和信號(hào)不相關(guān)，號(hào)不相關(guān)， 得到得到 rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。 對(duì)上式兩邊做對(duì)上式兩邊做Z變換，并代入已知條件，對(duì)變換，并代入已知條件，對(duì)x(n)進(jìn)行功率譜分解進(jìn)行功率譜分解:11211( )( )( )0.361(10.8)(10.8 )1.6(10.5)(10.5 )( ) ()(10.8)(10.8 )xxssvvSzSzSzzzzzB z B zzz 62第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波考慮到考慮到B(z

51、)必須是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到連必須是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到連 12110.5( ),1.610.8zB zz (1) 首先分析物理可實(shí)現(xiàn)情況，應(yīng)用公式（首先分析物理可實(shí)現(xiàn)情況，應(yīng)用公式（2.3.38）:1opt2111( )111 0.80.36( )( )()1.6 (1 0.5)(1 0.8)(1 0.5 )xsSzzHzB zB zzzz 令令 F(z)的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為0.8和和2，考慮到因果性、穩(wěn)定性，僅取，考慮到因果性、穩(wěn)定性，僅取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)單位圓內(nèi)的極點(diǎn)zi=0.8，f(n)為為F(z)的的Z反變換。用反變換。用Res表示留數(shù)，應(yīng)用留數(shù)定理，有表示留數(shù)，應(yīng)用留數(shù)定理，有 110.

52、360.36( ),( )(10.8)(10.5 )(10.8)(10.5 )F zF zzzzz 63第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波11110.80.36( )Re,0.8(10.8)(10.5 )0.36(0.8)0.6 0.8(10.8)(10.5 )nnnzf nszzzzzzz 取因果部分，取因果部分， f+(n)=0.60.8nu(n) 11opt1110.6( )Z( )Z0.60.8( )10.810.80.631( )1.6(10.5)10.8810.5nFzfnu nzzHzzzz 64第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波2min1

53、opt1111| ( )| 1d( )( )()2j310.360.36d82j(1 0.8)(1 0.8 )1 0.5(1 0.8)(1 0.8 )10.36d2j(1 0.8)(1 0.8 )ssxsCCCE e nzSzHz Szzzzzzzzzzzz z 令令 150.3618( )(10.8 )(10.5)E zzzz 65第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波單位圓內(nèi)只有極點(diǎn)單位圓內(nèi)只有極點(diǎn)zi=0.5，2min10.5| ( )| Res ( ), 0.50.361(0.5)(1 0.8 )(1 0.5)38zE e nE zzzzz 未經(jīng)濾波器的均方誤差未經(jīng)濾波

54、器的均方誤差 2222| ( )| |( )( )| ( )| 1vE e nEx ns nE v n 66第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波(2) 對(duì)于非物理可實(shí)現(xiàn)情況對(duì)于非物理可實(shí)現(xiàn)情況，有有 opt1( )( )( )( )( )( )0.225(10.5)(10.5 )xsssxxssvvSzSzHzSzSzSzzz 21minopt1111111d| ( )| ( )( )()2j10.360.2250.36d2j (1 0.8)(1 0.8 )(1 0.5)(1 0.5 ) (1 0.8)(1 0.8 )10.36 (1.025 0.50.5 )d2j(1 0.

55、8)(1 0.8 )(1 0.5)(1 0.5 )ssxsCCzE e nS zHz Szzzzzzzzzzzzzzzz zz67第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波令令 1110.36 (1.0250.50.5 )( )(10.8)(10.8 )(10.5)(10.5 )zzF zzzzz 單位圓內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)單位圓內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)0.8和和0.5，應(yīng)用留數(shù)定理，有應(yīng)用留數(shù)定理，有 2min3( )Res ( ),0.8Res ( ),0.510E e nF zF z 比較兩種情況下的最小均方誤差比較兩種情況下的最小均方誤差, ,可以看出非物理可以看出非物理可實(shí)現(xiàn)情況的最小均方誤

56、差小于物理可實(shí)可實(shí)現(xiàn)情況的最小均方誤差小于物理可實(shí)現(xiàn)情況現(xiàn)情況的均方誤差。的均方誤差。 68第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波一、一、 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的計(jì)算 在維納濾波中，期望的輸出信號(hào)在維納濾波中，期望的輸出信號(hào) yd(n)=s(n)，實(shí)際的，實(shí)際的輸出為輸出為y(n)=s(n)。在維納預(yù)測(cè)中，期望的輸出信號(hào)。在維納預(yù)測(cè)中，期望的輸出信號(hào)yd(n)=s(n+N)，實(shí)際的輸出，實(shí)際的輸出y(n)=s(n+N)。前面已經(jīng)推。前面已經(jīng)推導(dǎo)得到維納濾波的最佳解為導(dǎo)得到維納濾波的最佳解為 opt( )( )( )( )( )dxyxsxxxxSzSzHzSzSz其中其中,S

57、xx(z)是觀測(cè)數(shù)據(jù)的功率譜是觀測(cè)數(shù)據(jù)的功率譜;Sxyd(z)是觀測(cè)數(shù)據(jù)與期是觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互功率譜，即互相關(guān)函數(shù)望信號(hào)的互功率譜，即互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)的傅里葉變換的傅里葉變換 *( )( )()dxykdrE x n ynk69第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 對(duì)應(yīng)于維納預(yù)測(cè)器，其輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)于維納預(yù)測(cè)器，其輸出信號(hào)y(n)和預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差信號(hào)誤差信號(hào)e(n+N)分別為分別為 0( )()() ()()()()my ns nNh m x nNme nNs nNs nN 同理，要使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小，須滿足同理，要使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小，須滿足 2| (

58、)| 0kE e nNh 其中，其中，hk表示表示h(k)。 70第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望的輸出的互相關(guān)函數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望的輸出的互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)和和互譜密度互譜密度Sxyd(z)分別為分別為 *( )( )()( ) ()()( )( )ddxydxsNxyxsrkE x n y nkE x n s nNkrNkSzSz z 這樣，非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為這樣，非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為 opt( )( )( )( )( )dNxyxsxxxxSzz SzHzSzSz因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為 opt2121( )

59、( )1111( )( )()( )()dNxyxsSzz SzHzB zB zB zB z 71第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波維納預(yù)測(cè)的最小均方誤差為維納預(yù)測(cè)的最小均方誤差為 21minopt1opt1| ()| ( )( )()2j1( )( )()2jdssxyCssxsCdzE e nNSzHz SzzdzSzHz Szz 從上面分析可以看出，從上面分析可以看出， 維納預(yù)測(cè)的求解和維納濾維納預(yù)測(cè)的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。波器的求解方法是一致的。 72第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波 假設(shè)假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，式中，式

60、中v(n)是噪聲，且是噪聲，且v(n)=0，期望信號(hào)為期望信號(hào)為s(n+N)，N0，此種情況稱為純預(yù)測(cè)。，此種情況稱為純預(yù)測(cè)。 假定維納預(yù)測(cè)器是因果的，仍設(shè)假定維納預(yù)測(cè)器是因果的，仍設(shè)s(n)與與v(n)不相關(guān)，不相關(guān)，純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)的功率譜及維納預(yù)測(cè)器的最純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)的功率譜及維納預(yù)測(cè)器的最佳解分別為佳解分別為 21opt21( )( )( )( ) ()( )111( )( )( )()( )xxxsssNNxsSzSzSzB z B zz SzHzz B zB zB zB z 73第四章第四章 維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波和卡爾曼濾波純預(yù)測(cè)器的最小均方誤差為純預(yù)測(cè)器的最