3.1.1-空間向量及其加減運算

1、第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運算3.1.1 空間向量及其加減運算 生命之燈因熱情而點燃，生命之舟因拼搏而前行.定義：定義： 既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 幾何表示法：幾何表示法：用有向線段表示用有向線段表示. .字母表示法：字母表示法：用字母用字母a a, ,b b等或者等或者用有向線段用有向線段的起點與終點字母的起點與終點字母 表示表示ABAB相等的向量：相等的向量： 長度相等且方向相同的向量長度相等且方向相同的向量 ABCD引入引入 復(fù)習(xí)平面向量復(fù)習(xí)平面向量向量的加法：向量的加法：平行四邊形法則平行四邊形法則三角形法則三角

2、形法則( (首尾相連首尾相連) )平面向量的平面向量的加減加減法運算法運算baababba向量的減法向量的減法三角形法則三角形法則 減向量減向量終點指向終點指向被減向量被減向量終點終點baab減向量減向量被減向量被減向量看下面建筑看下面建筑 這個建筑鋼架這個建筑鋼架中有很多向量，但中有很多向量，但它們有些并不在同它們有些并不在同一平面內(nèi)一平面內(nèi)這就這就是我們今天要學(xué)習(xí)是我們今天要學(xué)習(xí)的的.1. 1. 經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程. .2. 2. 了解空間向量的概念了解空間向量的概念. .3. 3. 掌握空間向量的加減運算掌握空間向量的加減運算.

3、. （重點）（重點） 1. 1. 空間向量空間向量 在空間，我們把在空間，我們把具有大小和方向具有大小和方向的量叫做的量叫做空間向量（空間向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的長度長度或或模模 (modulus).探究點探究點1 1 概念概念2. 2. 空間向量的表示空間向量的表示AB 向量向量 的起點是的起點是A，終點是，終點是B，則向量，則向量 也可以記作也可以記作AB，其，其模記為模記為| |或或|AB|aaaa （1 1）我們規(guī)定，長度為）我們規(guī)定，長度為0 0的向量叫做的向量叫做零向量零向量（zero vectorzero vector），記為

4、），記為 . .當(dāng)有向線段的起點當(dāng)有向線段的起點A A與與終點終點B B重合時，重合時，AB AB = = . . （2 2）模為）模為1 1的向量稱為的向量稱為單位向量單位向量（unit vectorunit vector）. . （3 3）兩個向量不能比較大小兩個向量不能比較大小，因為決定向量的兩，因為決定向量的兩個因素是大小和方向，其中個因素是大小和方向，其中方向不能比較大小方向不能比較大小. .提升總結(jié)提升總結(jié)00 3. 3. 相反向量相反向量 與向量與向量 長度相等而方向相反的向量長度相等而方向相反的向量,稱為稱為 的相反向量，記為的相反向量，記為 . 4. 4. 相等向量（相等向量

5、（equal vectorequal vector） 方向相同且模相等的向量稱為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量.aaa （1 1）空間的一個平移就是一個向量）空間的一個平移就是一個向量. . （2 2）向量一般用有向線段表示）向量一般用有向線段表示, ,同向等長的同向等長的有向線段表示同一或相等的向量有向線段表示同一或相等的向量 . . （3 3）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示兩條有向線段來表示. . 提升總結(jié)提升總結(jié) 結(jié)論：結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示所以

6、它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示.bAOBaba1. 1. 空間向量的加減運算空間向量的加減運算 由于任意兩個空間向量都能平移到同一由于任意兩個空間向量都能平移到同一空間，所以空間向量的加減運算與平面向量空間，所以空間向量的加減運算與平面向量的加減運算相同的加減運算相同. .AoabB探究點探究點2 2 空間向量的加減運算空間向量的加減運算aoACa+bbBa-b加法加法: : OB=OA+AB=a+bOB=OA+AB=a+b，減法：減法：CA=OA-OC=a-b.CA=OA-OC=a-b.b2. 2. 空間向量的加法運算律空間向量的加法運算律 （1 1）加法交換律加法交換律 a + b

7、= b + a （2 2）加法結(jié)合律加法結(jié)合律 (a + b) + c = a + (b + c) 你能證明你能證明下列性質(zhì)嗎？下列性質(zhì)嗎？證明加法交換律證明加法交換律: :aa+baboABCb因為因為 OA = CB = a， AB = OC = b，所以所以 a + b = b + a.證明加法結(jié)合律證明加法結(jié)合律: :abca + b + c a + b ABCO因為因為 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以所以 (a + b) + c = a + (b + c). (1) (1)空間向量的運算就是平面向

8、量運算的推廣空間向量的運算就是平面向量運算的推廣. . (2) (2)兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立成立. . (3) (3)空間向量的加法運算可以推廣至若干個向量空間向量的加法運算可以推廣至若干個向量相加相加. .3.3.對空間向量的加減法的說明對空間向量的加減法的說明4.4.擴展擴展 （1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的量起始向量的起點指向末尾向量的終點的量即：即： 122334n 1n1nA AA AA AAAA A （2 2）首尾相接的若干向量構(gòu)成一個封閉圖）首尾相接

9、的若干向量構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：形，則它們的和為零向量即： 122334n1A AA AA AA A0例例 已知平行六面體已知平行六面體ABCDABCD- -A A B B C C D D ，化簡下列向量，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.ABCDA B C D . (1)ABBC. (2)ABADAAAC ACAACCAC AC提升總結(jié)提升總結(jié) 始點相同的三個不共面向量之和始點相同的三個不共面向量之和，等于，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的體對角線所表示的向量點為始點的體對角線所表

10、示的向量. .ABCDA B C D . (2)ABADAA ACAACCAC AC1.1.給出以下命題：給出以下命題：（1 1）兩個空間向量相等，則它們的起點、終點相同）兩個空間向量相等，則它們的起點、終點相同. .（2 2）若空間向量）若空間向量 滿足滿足 ，則，則 . .（3 3）在正方體）在正方體 中，必有中，必有 . .（4 4）若空間向量）若空間向量 滿足滿足 ，則則 . .（5 5）空間中任意兩個單位向量必相等）空間中任意兩個單位向量必相等. .其中其中不正確不正確命題的個數(shù)是（命題的個數(shù)是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4ab ，ab| |a

11、b11111111ABCD-A B C DABCD-A B C D 1111AC = A CAC = A C m n p, , m = n,n = pm = n,n = pmp C CD D提升總結(jié)提升總結(jié)1.1.兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量不確定，即兩個向量( (非零向量非零向量) )的模相等是兩個向的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件量相等的必要不充分條件2.2.熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法滿熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法滿足的運算法則及運算律是解決好這類問題的關(guān)鍵足的運算法則及運算律是解決好

12、這類問題的關(guān)鍵一、回顧本節(jié)課你有什么收獲？一、回顧本節(jié)課你有什么收獲？1.1.空間向量的概念空間向量的概念. . 在空間，具有大小和方向的量在空間，具有大小和方向的量. .2.2.空間向量的加減運算空間向量的加減運算. . 空間向量的加減運算空間向量的加減運算: :三角形法則和平行三角形法則和平行四邊形法則四邊形法則. .3.3.空間向量的加法符合交換律，結(jié)合律空間向量的加法符合交換律，結(jié)合律. .4.4.平面向量與空間向量平面向量與空間向量. . 空間任意兩個向量都可平移到同一個平面內(nèi)，空間任意兩個向量都可平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量成為同一平面內(nèi)的向量. . 因此凡是涉及空間任

13、意兩個向量的問題，平因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們. . 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小定義定義表示法表示法向量的模向量的模aABAB aaABaAB 平面向量平面向量空間向量空間向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量在空間，具有大小和方在空間，具有大小和方向的量向的量 幾何表示法幾何表示法幾何表示法幾何表示法字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小二、空間向量的基本概念二、空間向量的基本概念相等向量相等向量相反向量相反向量單位向量單位向量零向量零向量平面向量平面向量空間向量空間向量 長度為零的向量長度為零的向量 長度為零的向量長度為零的向量模為模為1 1的向量的向量模為模為1 1的向量的向量長度相等且方向長度相等且方向相反的向量相反的向量長度相等且方向長度相等且方向相反的向量相反的向量方向相同且模相等的方向相同且模相等的向量向量方向相同且模相等的向方向相同且模相等的向量量平面向量平面向量空間向量空間向量加