數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

1、數(shù)列、數(shù)列的概念(1) 數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作an，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第 1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為 n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作 an ；數(shù)列的一般形式：ai, a2, a3,an ,，簡(jiǎn)記作例：判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省參加高考的考生人數(shù)。(2)通項(xiàng)公式的定義：式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 , 2 , 31 1 1：1丄1 1如果數(shù)列,4,1，2，3，45數(shù)列的通項(xiàng)公式是an數(shù)列的通項(xiàng)公式是anan的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可

2、以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公n( n <7, n 丄(n N .)。nN ),說(shuō)明： 玄餐表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an= f n表示數(shù)列的通項(xiàng)公式;I _1 n = 2k _1 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，an= (-1)n='(kZ)；f n = 2k 不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3) 數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號(hào)：1 2 3 4 5 6項(xiàng)：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N .(或它的有限子集

3、)的函數(shù) f(n)當(dāng)自變量n從1開(kāi)始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1), f(2), f(3),f (n),通常用an來(lái)代替f n ,其圖象是一群孤立點(diǎn)。例：畫出數(shù)列an =2n 1的圖像.(4) 數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大 小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？(1) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,；S1(n = 1)Sn -SUn > 2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a

4、, a, a,(5) 數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系:2例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =2 n 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式練習(xí)：1 根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式:(1) 1, 3 , 5 , 722 _132 T2,342 _152 T4'5(3)11111*22*33*4，4*5(4)9, 99,999, 9999-(5)7, 77,777, 7777,（6）8, 88, 888, 8888 22 數(shù)列:an /中，已知an =- 匸n- N .）3（1） 與岀 ai, , a2 , a3 , an 1， an2 ；2（2）79 是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？33

5、.（ 2003京春理14，文15）在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi)。4、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng)：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫岀點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式5.觀察下列各圖，并F面的文字，像這樣,10條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（），其通項(xiàng)公式（1）（4）:二、等差數(shù)列）個(gè)DA. 40 個(gè) B . 45 個(gè) C。用遞推公式表示為刖d2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它題 一義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 訥22）或時(shí)-西條直線相交）。最多脊ng個(gè)點(diǎn)

6、an 二 a1 （n -1）d ；A P數(shù)列）的單調(diào)性：d頁(yè)的差等于同一個(gè)常數(shù),例最多等差數(shù)個(gè)交an = 2n 一 1， 題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 八、說(shuō)明：數(shù)列。例：等差數(shù)列（通?？煞Q為4條直線相交，-最多有6個(gè)交占八、0為遞增數(shù)列，d = 0為常數(shù)列，d ： 0為遞減1.已知等差數(shù)列 Sn 中，a7 a9 =16, a4 =1,.30 C . 31 D . 64則a12等于（）A. 15 B2. an是首項(xiàng)3=1，公差d = 3的等差數(shù)列，如果an =2005，則序號(hào)n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D)670等差數(shù)列an =2n -1,b3.或“遞減數(shù)列”）題型三、等

7、差中項(xiàng)的概念:=-2 n1，則 an 為bn為（填“遞增數(shù)列”定義：如果a， A， b成等差數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中A， b 成等差數(shù)列A即: 2anan ' an .22（06全國(guó)I）設(shè) 訂鳥是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1 a2 a3 =15，2an an -man m)a!a2a3 = 80，則 a11(120.105.90.752. 設(shè)數(shù)列an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為 48,則它的首項(xiàng)是（A. 1B.2C.4D.8題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1 ）在等差數(shù)列 n 中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列:an 中，相

8、隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；（3） 在等差數(shù)列 0 中，對(duì)任意 m , n N .， an = am （n - m）d， d =引_am （m = n）；n -m（4） 在等差數(shù)列 玄中，若 m , n , p， q N .且 m n = p q，則 am a ap aq ；題型五、等差數(shù)列的前 n和的求和公式：sn =n（ai an） =-凹=1 n2 （a1）n2 2 2 2（Sn二An2 Bn （代B為常數(shù)）= 是等差數(shù)列）遞推公式：&二=（兒乜心心川2 2例：1.如果等差數(shù)列an/中，a3a4a5=12，那么a1a2.a7=（A） 14（ B）21（ C）28（ D）35

9、2. （2009湖南卷文）設(shè)Sn是等差數(shù)列（an?的前n項(xiàng)和，已知a3，a11，則S等于（）A. 13B. 35C. 49D. 633. （2009全國(guó)卷I理）設(shè)等差數(shù)列an?的前n項(xiàng)和為Sn，若Sg = 72 ,則82*4*9=4. （2010重慶文）（2）在等差數(shù)列 心中，a1 a9 =10，則a5的值為（）（A） 5（ B） 6（ C） 8（ D） 105. 若一個(gè)等差數(shù)列前 3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（）A.13 項(xiàng)B.12 項(xiàng)C.11 項(xiàng)D.10 項(xiàng)6. 已知等差數(shù)列 a 的前n項(xiàng)和為Sn，若S12=21，則a2a5a8an二7. （20

10、09全國(guó)卷n理）設(shè)等差數(shù)列：an /的前n項(xiàng)和為Sn，若a5 = 5a3則$ =S58.（ 98全國(guó)）已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（I）求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)bn；9.已知*an *數(shù)列是等差數(shù)列，a10=10，其前10項(xiàng)的和Sw =70，則其公差d等于（）1D.310. （2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn,若36二S3=12,則an11.（ 00全國(guó)）設(shè) an為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，已知 S = 7，S5= 75，T；為數(shù)列Sn 的前n項(xiàng)和，求Tn求通項(xiàng)an ;若Sn =242，求n13.在等差數(shù)列an中, 已知 a3 ai5

11、=40,求 S17 題型六.對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列：(1)已知S8= 48,S2=168,求印和 d ； (2)已知 a6=10, S5=5, 求a8和 S8 ；（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有（2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n項(xiàng)，則S偶- S奇二nd ；§奇丑；S 偶 an 1S奇n2n -1項(xiàng)，則S奇- S偶二an = a中； '奇-題型七.對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列，例：1.等差數(shù)列 an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（）C.210D.2602n項(xiàng)的和為60,則前3 n項(xiàng)的和為 Sn , S2n - Sn , Ssn - S?n仍成等差數(shù)列。A.130B.1702. 一

12、個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前3 已知等差數(shù)列a 的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)和為4.設(shè)Sn為等差數(shù)列n ?的前n項(xiàng)和,S4 =14, S10 S7 =30,貝V S9 =5. （ 06全國(guó)II ）設(shè)S是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，若 色=1，則魚 =S63 S12A.B.D.10題型八判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法: 定義法:an -an = d（常數(shù)）（n N ） - ： an f是等差數(shù)列 中項(xiàng)法：2an 1 - an an，2（ n N ） = ；an 匚是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法：an = k n（k, b為常數(shù)）="-an是等差數(shù)列 前n項(xiàng)和公式法

13、：Sn =An2 - Bn （A, B為常數(shù)）=”an 是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列an滿足an -an4 =2，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷已知數(shù)列 an的通項(xiàng)為an=2n5，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 2n2 4，則數(shù)列an為（)A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷4.已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=2n?，則數(shù)列 an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷5.已知一個(gè)數(shù)列an

14、滿足an .2 -2an 1 an = 0，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷6.數(shù)列 1an滿足 a1 =8，a4 = 2，且 an .2 -2an 1 a 0（ n N ”）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;7.（ 01天津理，2）設(shè)S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列題型九.數(shù)列最值（1） a1 0， d : 0 時(shí)，Sn 有最大值；?。?，d2且 Sn=n，則 an是（）等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列0時(shí)，Sn有最小值;2（2） Sn最值的求法：若已知 Sn，Sn的最值可求二次

15、函數(shù) Sn =an bn的最值;可用二次函數(shù)最值的求法（n N .）；或者求岀an?中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即:若已知an，則Sn最值時(shí)n的值（nN .）可如下確定內(nèi)一°或。迢佔(zhàn)蘭0=0例：1 等差數(shù)列'an丿中，印S9 = S12，則前項(xiàng)的和最大。2 .設(shè)等差數(shù)列：an 的前n項(xiàng)和為Sn,已知求出公差d的范圍,指岀S2/，S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。3.（ 02上海）設(shè) an（ n N是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且 Sv S,S?>S,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.d v 0B. a7= 0C.Q > S5D.S6與S7均為Sn的最大值4 .已知數(shù)列an /的通

16、項(xiàng)n - 98:一 （n N "）,則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是n -995.已知an是等差數(shù)列，其中ai = 31，公差d = -8。（1）數(shù)列an從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于 0?（2）求數(shù)列an前n項(xiàng)和的最大值，并求岀對(duì)應(yīng)n的值.6.已知an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中ai0,公差d ：0，若$0=0,求數(shù)列an前n項(xiàng)和的最大值.7.在等差數(shù)列an中，a = 25 , S7二S9，求Sn的最大值.題型十.利用an =（n 一1）求通項(xiàng).® -&斗（n >2） 1. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn二n 1.（ 1）試寫岀數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？（3

17、）你能寫岀數(shù)列an的通項(xiàng)公式嗎?2已知數(shù)列 a 的前n項(xiàng)和 Sn二n2 -4n - 1則23. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S=2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；4. 已知數(shù)列 沖，ai =3,前門和Sn (n - 1)(an 1)-1 求證：數(shù)列 n ?是等差數(shù)列 求數(shù)列;an /的通項(xiàng)公式5. ( 2010安徽文)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn = n2，則a8的值為()(A) 15(B) 16(C) 49( D) 64等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q = 0)，即：an

18、 1: a. =q(q = 0)。一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式1 在等比數(shù)列an /中，a1=4,q=2，則an二2 在等比數(shù)列 <an中，a? = 12,q = 2 ,則 a19 =.3. (07重慶文)在等比數(shù)列an中，a2= 8， a1 = 64，則公比q為()(A) 2( B) 3( C) 4( D) 84. 在等比數(shù)列 匕 沖，a? - -2， a5 =54，則a8 =5. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1 = 3，前三項(xiàng)和為21，則a3 a4 a5 =()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則稱 b為a與c的等比中項(xiàng)，且為 b

19、 = - ：. ac,注：b2 =ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1. 2亠3和2 - 的等比中項(xiàng)為()2. (2009重慶卷文)設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，a2且a1.a3.a5成等比數(shù)列，則的前n項(xiàng)和Sn=()2 2 2A n 7nn 5nn 3n2a.b.c.d. n n443324三、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1. (1)若 m n = p q,貝 V am a. =ap aq (其中 m,n, p, q N )(2)am2an 二 an_manm(n N )（3）；an 為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列（4）?既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列：二an 是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列例：1

20、 在等比數(shù)列：an /中，ai和aio是方程2x 5x 0的兩個(gè)根,則a° a（）2.在等比數(shù)列'an，已知a =5, a9a10 =100，則a18 =3. 在等比數(shù)列 gn 中，a1 a6 =33, a3a4 =32, an - an ,求an若 Tn =lgai lg a?亠 Tg an,求Tn4.等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，且a§a6 玄4玄7 =18,則 logsajlogsa? |( log3a10 二A 12 B 10 C 8 D 2+log3 5an滿足 an >0, n=1,2，川，且曰2心=2勿（n 啟3）則當(dāng)n 一 1時(shí)，log2a<

21、log2a|+log2a2nj =()A. n(2n 一1)B.2(n 1)C.2 nD5. （ 2009廣東卷理）已知等比數(shù)列(n-1)22.前n項(xiàng)和公式例：1.已知等比數(shù)列 an的首相a1 = 5，公比q = 2，則其前n項(xiàng)和Sn =12. 已知等比數(shù)列an的首相a1 =5，公比q ，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n趨近與無(wú)窮大時(shí)，其前 n項(xiàng)2和Sn3. 設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，已a(bǔ)2 = 6, 6a1 a 30，求an和Sn4. （ 2006 年北京卷）設(shè)f（n） =2 24 27 210 |1, 23n，10（nN），則 f（n）等于（）A. 2（8n -1）B. 2（8n1-1）C 2（8n 3-

22、1） D -（8n 1）77775. （ 1996全國(guó)文，21）設(shè)等比數(shù)列 an2的前n項(xiàng)和為S,若S3 + S6 = 2S,求數(shù)列的公比 q;6設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為S,若S+1,Sn, Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為.3.若數(shù)列 & :是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN*，那么Sk , S2k -Sk , S3k -S2k成等比數(shù)列 如下圖所示：S魚例：1. （2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，若=3 ,則S6 =78A. 2B.3 C.3D.32. 一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前2n項(xiàng)的和為60,則前3n項(xiàng)的和為（)A. 83 B .108 C

23、 .75D. 633.已知數(shù)列 a 是等比數(shù)列，且Sm =10, S?m = 30,則S3m =4. 等比數(shù)列的判定法（1 ）定義法:空二q （常數(shù)）-ana ?為等比數(shù)列;（2）中項(xiàng)法：an=an an半（an式0）二 右n 為等比數(shù)列;（3）通項(xiàng)公式法：an = k qn （k,q為常數(shù)）=an ?為等比數(shù)列;（4）前n項(xiàng)和法：Sn二k（1-qn） （ k,q為常數(shù)）=Sn 為等比數(shù)列。Sn=k-kqn （k,q為常數(shù)）=為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列 an的通項(xiàng)為an = 2n,則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷22.已知數(shù)列a.滿足a

24、n 4an an-2n =0)，則數(shù)列an為()A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn=2 -2n 1，則數(shù)列an為（)A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷£(n = 1)5.利用a求通項(xiàng).lSn -Sn(n A 2)1例：1. （2005北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且ai=l,an彳Sn,n=1, 2, 3,，求a?,a3,a3的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2. （2005山東卷）已知數(shù)列an ?的首項(xiàng)a1=5,前n項(xiàng)和為Sn，且SnSn - n 5（n N*），證明數(shù)列玄朮是

25、等比數(shù)列.四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）.公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列an滿足：a3 =7,a5 a7 =26,求an ；2.已知數(shù)列an滿足a1 =2, an-an4 = 1（n-1），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；3. 數(shù)列 a*'滿足 *1 =8, a - 2, 且 an _ 2an 1 a - 0 （ n N ），求數(shù)列'a* 匚的通項(xiàng)公式;1 14. 已知數(shù)列an滿足ai =2,2，求數(shù)列 9n 的通項(xiàng)公式；an 申 an1 15. 設(shè)數(shù)列an滿足a1 = 0且1，求an的通項(xiàng)公式1 an 書 1 an6.已知數(shù)列 an滿足an 1上,a

26、1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an 227. 等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2a1 3a2 =1, a3 = 9a2a6，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式8. 已知數(shù)列an滿足a1 =2,an =3an,n _ 1)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；9. 已知數(shù)列a.滿足a1 =2，a? = 4且an-e a =an(n = N")，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式;10.已知數(shù)列an滿足a1 =2,且an卑5訐=2(an 5n)( n n )，求數(shù)列 Sn f 的通項(xiàng)公式;11.已知數(shù)列an滿足a1 =2,且a.卑+5汽2宀+2 =3 +5Tn +2) ( n丘N*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;12.數(shù)列已知數(shù)列(2)累

27、加法1、an滿足耳二*" =4an1(n 1).則數(shù)列ian?的通項(xiàng)公式1、累加法 適用于：an1 =an f(n)a2 - a1 = f (1)a3 a： = f (2)若 an1 -an =f( n)( n 一2)，則 山 小an 1 一 an = f (n)n兩邊分別相加得 an 1 - a1八，f (n)1 1例：1.已知數(shù)列an滿足a ,an1 =an2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式24n T2. 已知數(shù)列an滿足an1 =an2n1,a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列an滿足an an - 2 3n 1，a3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4. 設(shè)數(shù)列an滿足a1 =2，a. 1

28、 - a. =3 22n4，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(3) 累乘法適用于：an 1 二 f (n)an若an 1ana2a3=f( n)，則更二 f(1)，至二 f(2)，山川，魚！ = f( n)a1a2an兩邊分別相乘得,a n亠7 i【f(k)3k 4例：1.已知數(shù)列an滿足 an 1 =2(n 1)5n a.印=3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2.已知數(shù)列 a 滿足a2，anan3 n +13.已知 a1 =3， an .勺3n -1/ 八亠an (n 1)，求 an。3n 2(4) 待定系數(shù)法適用于 an i = qan - f (n)解題基本步驟:1、確定f(n)2、設(shè)等比數(shù)列'a

29、1f( n)，公比為3、列岀關(guān)系式an 1'1f (n 1) = '2【an '2 f (n)4、比較系數(shù)求1， ' 25、解得數(shù)列、an/(n)?的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式例：1.已知數(shù)列an中，a1 =1,an = 2an 4 1(n _ 2)，求數(shù)列'anf的通項(xiàng)公式。2. ( 2006，重慶，文,14)在數(shù)列玄1中，若印=1,an 1 =2an 3(n 1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an =3. (2006.福建.理22.本小題滿分14分)已知數(shù)列：an滿足a 1,an d = 2an'1(n，N ).求數(shù)列：anf的通項(xiàng)公式；4. 已

30、知數(shù)列an滿足an2an 3 5n，a6，求數(shù)列 訂的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1 x 5n 2(an - x 5n)5. 已知數(shù)列an滿足an.1=3an 5 2n -4,a1，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an#+xx2n# + y =3(an + xx2n + y)f5ii6. 已知數(shù)列 a 沖，a1,an1an ( )n'，求 an63227. 已知數(shù)列an滿足an.i =2a“，3n 4n 5,印=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2 2解：設(shè) an 1 x(n 1) y(n 1) z 二 2(an xn yn z)8. 已知數(shù)列an滿足an1 =2an 4 3n J，a1，求數(shù)列 站

31、/的通項(xiàng)公式。遞推公式為an 2 = pan 1 qan (其中P，q均為常數(shù))。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an 2 -san彳=t(an “ -san)其中 s，t滿足盧"=p $t = -q9.已知數(shù)列 an 滿足an七=5an卅6an, a = 1, a = 2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(5 )遞推公式中既有 SnS n =1分析：把已知關(guān)系通過(guò)an='轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。nSn-Sn,n2n11. (2005北京卷)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S，且a1=1，an dSn，n=1，2，3，求a3，a4的值3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2. (2005山

32、東卷)已知數(shù)列、an 1的首項(xiàng)a5,前n項(xiàng)和為Sn，且Sn d = Sn - n 5(n N*)，證明數(shù)列an 1是等比數(shù)列.3已知數(shù)列 & 中，a3,前n和Sn二扌1)(an 1)-1 求證：數(shù)列 an 是等差數(shù)列 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式14.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn(an 1)(an 2)，且a2,a4,ag成等比數(shù)列，求6(6)根據(jù)條件找 n 1與n項(xiàng)關(guān)系151例1.已知數(shù)列a*中，ai=1,ani=C，若C, bn，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式an2an 21 n +1a a1 =han = (1+ )an +2. ( 2009全國(guó)卷I理)在數(shù)列 M中，n 2b

33、n =玉(I )設(shè)n n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(7) 倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)2a例：1.已知數(shù)列an滿足an 1 ,a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an+2(8) 對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列消項(xiàng)得到第n 1與n項(xiàng)的關(guān)系例：1. ( 2004年全國(guó)I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列an滿足a1 =1, an = a1 2a2 3a3 J| (n - 1)an d(n _ 2)，求an的通項(xiàng)公式。2.設(shè)數(shù)列：an餐滿足a1 3a232a33n'an= n，a ：二N .求數(shù)列an /的通項(xiàng)；3(9) 、迭代法例: 1已知數(shù)列an滿足an 1 =a；(n 1)2； q =5,求數(shù)列

34、an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍m二a；(n1)2"，所以n (n3n_1n I 22又a1 =5，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 51。(10) 、變性轉(zhuǎn)化法1、對(duì)數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式n5例：已知數(shù)列an滿足an1 =2 3 a*， a 7，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。n 5解：因?yàn)?an 1 =2 3 an，a 7，所以 an 0，an d 0。兩邊取常用對(duì)數(shù)得|g an !二5lg an ' n Ig3 lg 22、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系1 例：已知數(shù)列an滿足an 1(1 4an ,1 24an), a =1，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式1 2解：令 bn1 24務(wù)，

35、則 a.(b. -1)v24五、數(shù)列求和1 直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。02皿呼d2 2nd (q 二 1)& 才印(1qn)公比含字母時(shí)一定要討論1_q心常見(jiàn)拆項(xiàng):n(n 1) n n 1(2n - 1)(2n1)數(shù)列3n 是等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和(理)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列時(shí)，S = 1 q例：1.已知等差數(shù)列an滿足a1 =1, a2 =3，求前n項(xiàng)和Sn2.等差數(shù)列an中，a1=1, a3+a5=14，其前 n 項(xiàng)和 S=100,則 n=()A. 9 B 10 C 11 D 123. 已知等比數(shù)列a*滿足a1 =1, a2 = 3，求前n項(xiàng)和Sn4. 設(shè) f(n) =2 2

36、4 27 210 Tl( - 23n10(n N)，則f(n)等于()A. 2(8n -1)B.2(8n 1 -1) C.|(8n 裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。 -1) D.#(8n 41)2 錯(cuò)位相減法求和：如：an 等差，"bn 等比，求a1b1 a2b -anbn的和.例：1 求和 S! =1 2x 3x| nxnJ123n2.求和：Sn23na a aa3.設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1= bi= 1，a3bs= 21，asb =13(i)求an，bn的通項(xiàng)公式；(H)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn bnL_an an 十1 ，則Ss等于(n(n 1)A. 1 B302.已知數(shù)列an的